胡毅立, 趙永波, 陳 勝, 曹成虎

(西安電子科技大學(xué)雷達(dá)信號處理國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 陜西 西安 710071)

0 引 言

共形陣的天線單元通過依附在載體的幾何表面,增加了天線分布的自由度,并且不改變載體的空氣動力學(xué)特性,極大降低了雷達(dá)的截面積,在未來戰(zhàn)場有重要應(yīng)用價值。但是共形陣面對的環(huán)境特別復(fù)雜,即使陣元間沒有交叉極化,但是受到載體幾何表面曲率的影響也會產(chǎn)生交叉極化,由于各陣元對交叉極化的貢獻(xiàn)不同,導(dǎo)致極化方式和參數(shù)很難精確獲得,因此共形天線陣在盲極化情況下的波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計有重要的研究價值。在DOA估計方法中,除了搜索類[1-3]的DOA估計可以適用任意共形天線陣的排布以外,大多數(shù)免搜索類[4-5]算法和共形陣結(jié)合時都需要考慮天線陣的排布影響。

常見的盲極化DOA估計方法的天線結(jié)構(gòu)都是基于圓柱陣[6-7]或圓錐陣[8-10],然后利用免搜索算法實(shí)現(xiàn)DOA的估計。圓柱陣的DOA估計方法主要是結(jié)合旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計信號參數(shù)(estimation of signal parameters via rotational invariance techniques, ESPRIT)的思想,選擇滿足旋轉(zhuǎn)不變特性的子陣,由于圓柱陣的單曲率特性,可以很容易得到極化參數(shù)相同的子陣,因此圓柱陣很容易實(shí)現(xiàn)極化和二維角度信息解耦合[6]。借助這種思想,圓錐陣也可以選擇多條母線上的天線單元,劃分出極化影響相同的子陣,然后再結(jié)合免搜索DOA估計算法實(shí)現(xiàn)盲極化的DOA估計[8]。但是現(xiàn)有文獻(xiàn)的盲極化DOA估計方法大多是基于固定且單調(diào)的母線曲率結(jié)構(gòu),鮮有針對像拋物面陣這樣曲率變化的情況進(jìn)行盲極化DOA估計。

本文針對盲極化共形陣DOA估計的特點(diǎn),在拋物面陣中通過引入插值擬合思想,再結(jié)合ESPRIT算法,實(shí)現(xiàn)二維角度信息與極化參數(shù)的解耦合,實(shí)現(xiàn)了盲極化下的DOA估計,并且給出了盲極化下利用插值擬合思想的克拉美羅邊界(Cramer-Rao bound, CRB)[11-12],最后通過仿真驗(yàn)證了本文算法的有效性。

1 拋面共形天線陣及插值算法

共形天線陣的形式由載體幾何表面決定,在天線布陣上有很大的自由度。但是如果天線是完全任意的布陣,很容易出現(xiàn)遮擋、繁瑣坐標(biāo)轉(zhuǎn)換、極化等問題[8]。不僅讓共形陣信號處理變得復(fù)雜,還可能導(dǎo)致模糊、目標(biāo)二維角度信息和極化信息相互耦合的問題,極大地影響了共形陣?yán)走_(dá)的DOA估計。

常見的圓柱陣、圓錐陣都能很容易找到固定曲率的子陣,但是拋物面陣由于每條母線上天線單元的法線方向不一致,導(dǎo)致拋物面陣需考慮回波的交叉極化。圖1繪制了全局坐標(biāo)系下天線單元位置函數(shù)z=x2/2+y2/2的拋物面陣。

圖1 拋面共形陣幾何結(jié)構(gòu)

其中,帶有方向的短橫線是天線單元的法線指向。從圖1中看到每個天線單元的指向都不同,導(dǎo)致交叉極化的影響變得復(fù)雜,不能像常見的圓柱陣、圓錐陣那樣獲得極化條件影響相同的子陣,從而忽略交叉極化和目標(biāo)二維角度之間的耦合。拋面共形陣的導(dǎo)向矢量為

a(θ,φ,γ,η)=[r1ejk0P1u,r2ejk0P2u,…,rMejk0PMu]T

(1)

u=xcosθsinφ+ysinθsinφ+zcosφ

(2)

式中：θ是方位角；φ是俯仰角;Pm是第m(m=1,2,…,M)個陣元的位置矢量;rm由第m個陣元方向圖在正交基矢量uθ和uφ上的分量gm θ、gm φ，以及目標(biāo)回波極化狀態(tài)在uθ和uφ上的分量kθ、kφ決定,具體關(guān)系如圖2所示。

圖2 回波極化與陣元方向圖關(guān)系

根據(jù)圖2可知:

rm=|gm||ki|cosθi m=gm θki θ+gm φki φ

(3)

式中:i=1,2,…,R,R為目標(biāo)個數(shù)。極化分量ki θ、ki φ由極化參數(shù)γi和ηi決定,用來體現(xiàn)電場矢量的正交分量之間的幅度比值和相位差值[8],且有關(guān)系式:

(4)

由于天線陣常以單個陣元自身坐標(biāo)為參考,而gm θ、gm φ是全局坐標(biāo)下的分量,因此陣元方向圖需要全局坐標(biāo)和局部坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換[13],具體的轉(zhuǎn)換關(guān)系流程圖如圖3所示。圖3對應(yīng)的具體步驟如下。

圖3 全局坐標(biāo)與局部坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系

步驟 1.1將目標(biāo)在全局極坐標(biāo)下的二維角度(θ,φ)轉(zhuǎn)變成全局直角坐標(biāo)[x,y,z]：

(5)

(6)

(7)

式中:Dm,Em,Fm分別是歐拉三次旋轉(zhuǎn)對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角度。

(8)

(9)

(10)

步驟 2.3全局直角坐標(biāo)[gm x,gmy,gm z]與全局極坐標(biāo)gm(θm,φm)的關(guān)系為

(11)

通過建模過程可知,陣元的極化形式受到載體的曲率影響,表現(xiàn)為經(jīng)過歐拉旋轉(zhuǎn)變換后的極化復(fù)雜,不同陣元的極化形式多樣。因此,對于拋物面陣而言,不同天線單元的極化結(jié)果不再像圓柱陣、圓錐陣那樣有很強(qiáng)的規(guī)律性,于是未知的極化問題導(dǎo)致拋物面陣的DOA估計變得復(fù)雜和不確定。

插值擬合是一種經(jīng)典的擬合方法[14-15],常見的形式是通過最小二乘的思想,利用插值矩陣將實(shí)際的數(shù)據(jù)矩陣轉(zhuǎn)換成期望得到的數(shù)據(jù)矩陣形式。插值矩陣形式為

(12)

(13)

(14)

2 拋面共形陣盲極化DOA估計

2.1 基于插值擬合的盲極化DOA估計

由于拋物面陣的陣列流形可以通過插值擬合后轉(zhuǎn)變成斜線陣列流形的形式,相當(dāng)于變成了圓錐陣。因此，本文基于插值擬合的思想將拋物面陣擬合成圓錐陣,同時通過讓插值擬合時的期望導(dǎo)向矢量不考慮極化信息,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)拋物面陣的盲極化DOA估計。

在圖4(a)中體現(xiàn)了全局坐標(biāo)系XYZ和陣元在O′處的局部坐標(biāo)系X′Y′Z′之間的關(guān)系,其中Z′軸垂直于O′點(diǎn)處的載體橫截面,X′軸平行于載體橫截面。假設(shè)拋物面陣每一圈有N1個等間距分布的陣元,一條弧線(母線)上有N2個陣元,則天線單元的歐拉旋轉(zhuǎn)角為

(15)

圖4 基于插值擬合的拋物面陣幾何關(guān)系圖

(16)

式中:S是回波幅度；N1，N2，N3是3個子陣對應(yīng)的高斯噪聲。由于極化參數(shù)和目標(biāo)二維角度耦合在一起,因此高精度免搜索的DOA估計ESPRIT方法不再適用。幸運(yùn)的是借助插值擬合思想可以避免極化的影響,實(shí)現(xiàn)極化參數(shù)和目標(biāo)二維角度的解耦合。

再對式(16)的觀測區(qū)域Θ進(jìn)行分塊,需要考慮到極化參數(shù)(γ,η),因此對Θ的分塊需要擴(kuò)展成四維的劃分了,具體形式為

Θ=[(θ,φ,γ,η)1,(θ,φ,γ,η)2,…,(θ,φ,γ,η)D]

(17)

式中:D=DθDφDγDη,Dθ是方位角θ的插值擬合數(shù),Dφ是俯仰角φ的插值擬合數(shù),Dγ是極化幅度比γ的插值擬合數(shù),Dη是極化相位差η的插值擬合數(shù)。在實(shí)際工程應(yīng)用中,(θ,φ,γ,η)的選取范圍可以通過信號檢測時的波位信息進(jìn)行預(yù)估,確定感興趣的大概觀測區(qū)域,然后再對感興趣的觀測區(qū)域進(jìn)行如式(17)所示的劃分。

然后考慮到真實(shí)的導(dǎo)向矢量是由拋物面陣結(jié)構(gòu)決定的,而為了測角方便,期望的導(dǎo)向矢量可以通過插值矩陣進(jìn)行調(diào)整,因此可以讓期望的導(dǎo)向矢量是圓錐陣的陣列流形形式,如圖4(b)和圖4(c)所示,對應(yīng)導(dǎo)向矢量為

(18)

(19)

因此,經(jīng)過插值擬合后的回波數(shù)據(jù)為

(20)

對應(yīng)的協(xié)方差矩陣為

(21)

(22)

子陣l12上的數(shù)據(jù)為

(23)

(24)

式中:T是唯一的非奇異矩陣[16],進(jìn)而

(25)

(26)

式中:Us21是Us的L+1至2L-1行數(shù)據(jù)；Us22是Us的L+2至2L行數(shù)據(jù)；Us31是Us的2L+1至3L-1行數(shù)據(jù)；Us32是Us的2L+2至3L行的數(shù)據(jù)。得到Ψ1、Ψ2、Ψ3后,再對其進(jìn)行特征值分解,可得

(27)

β1+β2=π,β3∈(β1,β2)

(28)

再結(jié)合式(27)可得

(29)

[tan(φ)(cos(β1-θi)-cos(β3-θi))·

(30)

2.2 補(bǔ)償插值擬合誤差

(31)

(32)

然后建立真值與補(bǔ)償誤差的對應(yīng)關(guān)系,并且將其作為預(yù)處理的一部分。最終求解的二維DOA估計值可以表示成

(33)

需要說明的是,當(dāng)目標(biāo)的方位角和俯仰角都相同而極化條件不同時,不可避免存在無法完全正確補(bǔ)償角度誤差的情況,但是在設(shè)計插值矩陣時保證滿足式(14)的約束以及式(17)對極化可能區(qū)域的覆蓋,那么角度誤差不一致的問題產(chǎn)生的影響是可以忽略的。

基于插值擬合的拋面共形陣盲極化DOA估計算法具體步驟如下。

步驟 1選取滿足式(28)的3個子陣,然后獲得拋物面上子陣對應(yīng)的陣列流形結(jié)構(gòu)。

步驟 3根據(jù)式(21),獲得經(jīng)過插值矩陣作用后的協(xié)方差矩陣R。

步驟 4對R進(jìn)行奇異值分解獲得信號子空間Us,然后利用期望的天線陣結(jié)構(gòu)劃分出3個子陣對對應(yīng)的信號子空間,再結(jié)合式(25)和式(26)得到Ψl(l=1,2,3)。

步驟 6根據(jù)式(29)和式(30)得到目標(biāo)存在插值誤差時的二維角度;根據(jù)式(33)獲得補(bǔ)償了插值誤差后的方位角和俯仰角。

2.3 基于插值擬合的CRB

本節(jié)將推導(dǎo)多目標(biāo)時多參數(shù)的CRB。由于第2.1節(jié)的方法通過插值擬合避免了極化的影響,因此經(jīng)過第2.1節(jié)的插值擬合思想作用后的未知參數(shù)只有目標(biāo)的方位角θ和俯仰角φ了。假定有B個目標(biāo),則協(xié)方差矩陣R中的未知參數(shù)是B個未知方位角和B個未知俯仰角。將未知參數(shù)用矢量c表示,則有

c=[θ1,φ1,θ2,φ2,…,θB,φB]T

(34)

矢量參數(shù)c的第b個參數(shù)的CRB下限為

var(cb)≥[F-1]b b

(35)

F為2B×2B的Fisher信息矩陣[11],且分塊后的形式為

(36)

式中:Fθ θ是方位角的分塊；Fφ φ是俯仰角的分塊。F的第bi行第bj列值為

(37)

3 仿真分析

為了比較所提方法的有效性,本節(jié)通過蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)仿真了檢測概率與信噪比(signal to noise ratio, SNR)的關(guān)系;插值擬合誤差補(bǔ)償前后的角度估計差異;SNR、脈沖數(shù)變化時與均方根誤差(root mean square error, RMSE)的關(guān)系。其中二維DOA估計的RMSE的定義為

(38)

圖5 檢測概率隨著SNR變化的情況

在圖5中實(shí)線是補(bǔ)償了插值誤差后的圖形,而虛線是沒有補(bǔ)償插值誤差后的對比結(jié)果。從圖5中可以看到,在補(bǔ)償了插值誤差后的檢測概率明顯比沒有補(bǔ)償?shù)臋z測概率高。在高SNR時噪聲誤差可以忽略,此時檢測概率主要由插值誤差決定,然后對比補(bǔ)償前Δ=2°和Δ=3°的曲線,可以發(fā)現(xiàn)插值誤差導(dǎo)致的二維DOA估計誤差在2°～3°之間,而通過補(bǔ)償算法可以有效彌補(bǔ)DOA估計誤差,極大提高了目標(biāo)的檢測概率。

圖6仿真了SNR=15 dB時二維目標(biāo)的散點(diǎn)圖。經(jīng)過統(tǒng)計,插值誤差在補(bǔ)償前是1.60°,補(bǔ)償后是0.62°,說明所提的補(bǔ)償算法對二維DOA估計有較大提升。

圖6 二維目標(biāo)的散點(diǎn)圖

在拋物面陣天線結(jié)構(gòu)、陣元方向圖、插值擬合后的子陣結(jié)構(gòu)都不變的情況下,假定目標(biāo)仍然是兩個,對應(yīng)的(θ,φ,γ,η)分別為(75°,55°,35°,45°)和(85°,65°,45°,50°),插值擬合門限值δ′=0.15,按照第2.2節(jié)的設(shè)計步驟重新設(shè)計插值矩陣及補(bǔ)償角度后,仿真了二維DOA的RMSE與SNR的關(guān)系圖,如圖7所示。從圖7中可以看到在低SNR時所提方法的RMSE和理想的CRB曲線相比有很大的損失,這是由于此時不僅有噪聲導(dǎo)致的測角誤差,還有插值擬合導(dǎo)致的測角誤差聯(lián)合影響測角精度。而在高SNR時只用考慮插值擬合的誤差,所提方法由于補(bǔ)償了插值損失使性能有明顯改善。

圖7 RMSE與SNR的關(guān)系

接下來分析存在插值擬合誤差時隨著脈沖數(shù)的變化對二維測角RMSE的影響。在圖8中仿真了SNR分別取10 dB,15 dB,20 dB,25 dB時隨著脈沖數(shù)變化的RMSE圖形。

圖8 RMSE與脈沖數(shù)的關(guān)系

圖8中虛線對應(yīng)補(bǔ)償前,實(shí)線對應(yīng)補(bǔ)償后。從圖8可知在高SNR時只有插值擬合誤差需要考慮,此時隨著脈沖數(shù)的變化,補(bǔ)償了插值擬合損失的RMSE比補(bǔ)償前有明顯提升,說明第2.2節(jié)所提的補(bǔ)償方法能有效提高DOA估計精度。

本文方法是將4個未知參數(shù)的拋物面陣列流形擬合成兩維的圓錐陣列流形,雖然損失了目標(biāo)的極化信息,但是保留了目標(biāo)參數(shù)估計時最重要的二維角度信息。同時由于本文算法的插值矩陣是預(yù)處理過程,不占用實(shí)時處理計算量,因此本文算法的計算復(fù)雜度和常規(guī)的圓柱陣、圓錐陣DOA估計情況并無差別。

在插值擬合時,為了保證擬合后的插值誤差不會過大,期望擬合的陣列流形選擇了和拋物面陣結(jié)構(gòu)最接近的圓錐陣。但是為了實(shí)現(xiàn)盲極化測角而在期望陣列流形中不考慮極化信息,將不可避免增大擬合誤差的影響,特別是在低SNR時,RMSE結(jié)果受到了噪聲和插值擬合誤差的聯(lián)合影響,導(dǎo)致在低SNR時的RMSE偏大,而在高SNR時通過補(bǔ)償方法彌補(bǔ)了插值擬合損失,因此高SNR時DOA估計精度有明顯提升且接近CRB值。

4 結(jié) 論

本文分析了拋物面陣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及交叉極化對DOA估計的影響,提出了基于插值擬合的拋面共形陣盲極化DOA估計方法,通過插值矩陣實(shí)現(xiàn)了將拋物面陣的四維陣列流形擬合成只有方位角和俯仰角的二維圓錐陣列流形,然后結(jié)合ESPRIT方法實(shí)現(xiàn)了二維DOA估計,并且估計的二維角度能夠?qū)崿F(xiàn)自動配對?？紤]到擬合誤差對測角精度的影響,設(shè)計了一種補(bǔ)償插值擬合損失的方法提高了DOA估計精度,最后給出了本文模型的CRB結(jié)果。

通過仿真實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)本文方法在極化參數(shù)未知的情況下,能有效地估計拋面共形陣的目標(biāo)二維DOA信息,特別是高SNR時,測角精度接近CRB。但是在低SNR時受到噪聲和插值擬合誤差的聯(lián)合影響,導(dǎo)致低SNR時RMSE偏大,因此如何提高在低SNR時的DOA估計精度將是后續(xù)研究工作的重點(diǎn)。