江蘇省高郵中學(xué) (225600) 黃桂君 江蘇省高郵市城北中學(xué) (225600) 陸永宏 桂 楚

本文是筆者在特級教師牽手鄉(xiāng)村(高郵市三垛中學(xué))教育活動中送培送教的一節(jié)公開課教學(xué)設(shè)計與課堂真實情況的回顧記錄，有意將課前準(zhǔn)備(備課)的與課堂中真實發(fā)生的做一次比較，并穿插談點感受以及正余弦定理哪一個先安排講授“好”的體會.

一、教學(xué)目標(biāo)

1.掌握正弦定理及其證明；

2.能夠運用正弦定理解決一些簡單的三角形邊角度量問題以及與測量有關(guān)的實際問題.

二、教學(xué)過程

1.問題情境

如圖1，要測量一個不可逾越障礙物兩側(cè)且相互看不見的兩點A、B間的距離，已知點A在觀察點C南偏東60°方向，點B在C南偏西45°方向，AB為東西方向，BC=10，則A、B兩點間的距離是多少？(情境選的是該學(xué)校旁邊的著名的河流與建筑，學(xué)生感覺親切.同時也是蘇教版新教材例1的問題)

圖1

緊接著設(shè)問：能否不通過解直角三角形而由已知△ABC的邊和角直接求出AB呢？說明為什么要學(xué)習(xí)這個新知識的必要性，導(dǎo)入新課.(注：最后再回過頭來重新解，前后呼應(yīng))

2.討論

圖2

下面的問題盡量的讓學(xué)生說或?qū)?(在黑板左右對應(yīng)圖形下方分別板書)

(1)關(guān)于角：任何三角形中A+B+C=π(180°)(共性)(這里指出三角形中角與邊的簡寫，如果先學(xué)的是余弦定理就不再提)

直角三角形中，A、B互余，sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1.(學(xué)生沒有說到的三角關(guān)系式尤其是正切，老師提問，效果還好)

思考：若C是△ABC中最大(小)的角，則C的取值范圍是.

結(jié)論是60°≤C<180°(0°

(2)關(guān)于邊：任何三角形中，a+b>c，a-b

直角三角形中，c2=a2+b2(勾股定理).

思考：非直角三角形中，c2=a2+b2+?(告訴學(xué)生將在后面探究學(xué)習(xí)，引起興趣.如果先學(xué)的是余弦定理就不設(shè)計了)

以上兩點快速而過，重點是下面的邊角關(guān)系.

(3)邊角關(guān)系(探索)：任何三角形中，C>A?c>a，b

注：課前不要求學(xué)生預(yù)習(xí)，課上也不允許學(xué)生翻看教科書(在蘇教版新教材中也沒有上述內(nèi)容).老師接著在黑板右邊斜三角形圖形的下方寫上一個醒目的“？”(觸及課題).

3.引導(dǎo)學(xué)生在直角三角形中發(fā)現(xiàn)

猜想：對于一般的三角形也能成立嗎？

圖3

引導(dǎo)學(xué)生證明.假設(shè)猜想成立，則有asinB=bsinA，csinB=bsinC.

設(shè)問(循序漸進)：在圖形中能找到asinB，bsinA；csinB，bsinC的幾何意義嗎？讓學(xué)生思考并上黑板上畫(添加輔助線).這里教學(xué)重點得到了體現(xiàn)，難點得到了突破.

引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系初中熟悉的直角三角形，構(gòu)造直角三角形，類比發(fā)現(xiàn).(實際情況是，在銳角三角形中學(xué)生能很快畫出高線，在鈍角三角形中有了難度，但在老師的啟發(fā)下，還是畫出來了.要多讓學(xué)生動腦、動手，積極參與)

“等高法”(證法1)：csinB=bsinC，……(注意對角C分類討論)其它同理可得.事實上，根據(jù)圖形我們還能發(fā)現(xiàn)什么？引導(dǎo)學(xué)生大膽探究，發(fā)現(xiàn)：a=ccosB+bcosC，……(射影定理)(順便帶出的副產(chǎn)品，本節(jié)課不討論)得出

正弦定理(文字語言)：三角形的各邊和它所對的角的正弦之比相等.

我們的教學(xué)要“以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心來組織教學(xué)”.重結(jié)果，也要重過程！講推理，更要講道理！讓學(xué)生思考探究一些他們的能力能夠“夠得著”的問題，注意重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.應(yīng)用

例1(蘇教版新教材P90)在△ABC中，A=30°，C=100°，a=10，求b，c(精確到0.01).(解答需要用到計算器)

變式將100°改為105°？讓學(xué)生板演，即開始的情境問題，前后呼應(yīng).教師板書詳解示范.

例2(蘇教版新教材P91例2的變式，僅僅改了數(shù)據(jù)，目的方便學(xué)生不需要用計算器就能得出結(jié)果，但問題的教學(xué)功能沒有變)根據(jù)下列條件解三角形(指出解三角形的概念).

讓學(xué)生板演、分組練習(xí)比較.

先讓學(xué)生獨立思考求解，發(fā)現(xiàn)問題后再和學(xué)生一道尋找出錯原因(本節(jié)課不要急于討論三角形有幾解的問題).

5.思考

(1)幾何畫板演示.指出教科書P95第10題幾何畫板得到的相同的比值7.33有什么幾何意義？

注：到這個時候才利用多媒體演示驗證，鞏固新知，而非一開始就給出.因為重要的是引導(dǎo)學(xué)生怎么發(fā)現(xiàn)的，驗證或直接告知結(jié)論過于簡單直接.

(2)嘗試用其它方法證明正弦定理：

①幾何法(證法2，由上述比值始終相同激發(fā)思維而產(chǎn)生)

a=2RsinA

另，對于余弦定理可自然的啟發(fā)性設(shè)問：求兩點間的距離(線段的長度)在你印象中有哪些數(shù)學(xué)思想方法？在這些方法中自然想到有一種方法向量法——轉(zhuǎn)化為求向量的模.(以上思考課堂上先提出來，后安排作業(yè)中課外自主探索)有時候拋棄思維定勢圍繞核心又結(jié)合實際的做法，誰說不也是一種創(chuàng)新呢？

6.小結(jié)

本節(jié)課讓我們感悟到，要學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光去觀察(看世界)；會用數(shù)學(xué)的思維去思考；會用數(shù)學(xué)的語言去表達；會用數(shù)學(xué)的知識去解決.

(這正是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的特質(zhì))

三、課外作業(yè)

1.江蘇鳳凰教育出版社《普通高中教科書 數(shù)學(xué)必修第二冊》(2020年7月第1版)P92練習(xí)1，2，4；P94習(xí)題11.2.1，7.

2.嘗試用向量證明正弦定理.

結(jié)語：在教學(xué)設(shè)計中，要抓住數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、了解學(xué)生的認知規(guī)律，創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫?、提出合適的問題，啟發(fā)學(xué)生獨立思考、鼓勵學(xué)生交流表達，在掌握知識技能的同時理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).我們教學(xué)工作的重心是努力“將課本上知識的學(xué)術(shù)形態(tài)轉(zhuǎn)化為教師的教育形態(tài)、學(xué)生的學(xué)習(xí)形態(tài)”，即“喚醒”數(shù)學(xué)知識，而不是給予，一個好的老師，就是這樣把知識喚醒給學(xué)生看.這種轉(zhuǎn)化工作誰做的好，誰的教學(xué)就有效！