陳笑芳

一、案例主題及其內涵

1.案例主題

如果學生掌握一些基本數(shù)學思想方法，能使數(shù)學知識更易于理解與記憶。根據(jù)本節(jié)課的教學內容和教學目標，本案例主要體現(xiàn)數(shù)形結合思想、模型思想的培養(yǎng)。

2.分數(shù)乘分數(shù)內涵闡述

數(shù)形結合就是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的關系，運用“數(shù)”來刻畫、研究形，把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來考慮，通過“以形助數(shù)”或“以數(shù)解形”使抽象思維與形象思緒結合起來，將復雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到解決問題的目的。

數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結構。從廣義角度講，數(shù)學的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質、數(shù)量關系式、圖表、程序等都是數(shù)學模型。

二、案例描述與分析

1.案例描述

（1）看算式，猜想積是多少

師：你是怎么想的？怎么列算式解決？

師：=？這個算式你們猜一猜積是多少呢？你是怎么猜的？

生：因為分數(shù)乘整數(shù)的方法是分子乘整數(shù)做積的分子，分母不變。所以我猜這里是分子乘分子做積的分子，分母乘分母做積的分母，這個算式的積是。

師：那這個答案到底對不對呢？我們需要驗證。

【設計意圖：通過這個猜想情節(jié)，立即把學生思維進入新知學習的開端，好像把學生領到了新知的入門口，一下子把學生的思維喚醒了。分數(shù)乘分數(shù)到底是怎樣計算呢？和分數(shù)乘整數(shù)的計算方法一樣嗎？學生的認知情趣油然而生】

（2）嘗試畫圖，體會算理

師：借助學具，小組合作探討這個算式的積是多少？

學生小組合作：拿出準備好的長方形紙，用它表示1公頃的面積，涂出公頃的面積。接著再用折一折、涂一涂探索公頃的是多少。

生：我們先把這個長方形看成是1公頃，把它平均分成 2 份，涂出其中的一份就是公頃，然后再把畫出的部分平均分成 5 份，涂出其中的 1 份。我們涂出的結果是。

【設計意圖：通過讓學生動手涂一涂，感受每次畫圖表示的分數(shù)是什么，表示什么意思。第一次畫圖，學生不明白怎樣畫出一個分數(shù)乘分數(shù)的圖形，教師重點指導學生畫圖的方法，并理解每一步所畫的分數(shù)表示的意義?！?/p>

師：從涂色的結果看出公頃的是公頃，根據(jù)涂色的過程你是怎么得出×的結果呢？

生：×就是把平均分成5份，取其中的1份。也就是1平均分成（2×5）份，取其中的1份，即×1==。

師：像這樣利用幾何圖形理解和解決分數(shù)乘分數(shù)的方法，在數(shù)學上叫數(shù)形結合的數(shù)學思想方法。這種方法在我們日常的數(shù)學學習新知識或者解決比較難的題目時都會用到。

【設計意圖：先引導學生逐步掌握用畫圖的方法表示兩個分數(shù)相乘，接著結合圖形對相關計算過程和結果的比較，再歸納總結分數(shù)乘分數(shù)的計算方法。在這個過程中，構造圖形表示分數(shù)乘分數(shù)，是學生建立數(shù)感的重要環(huán)節(jié)。最后回顧解決過程教師點撥與介紹數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，讓學生知道數(shù)學思想方法在我們日常學習中常常用到，它們并不是離我們遙不可及的。這對培養(yǎng)學生的形象思維和數(shù)感很有促進作用】

（3）再次畫圖，理解算理

師：那么種玉米的面積有多少公頃？怎么列式？

師：×的積是多少？請同學們仿照第一小題的解決方法獨自畫圖算出算式的積。

生：×就是把平均分成5份，取其中的1份。也就是1平均分成（2×5）份，取其中的3份，即×3==。

【設計意圖：學生理解畫圖的方法后，嘗試獨立畫圖，既是對畫圖方法的熟悉，更是對分數(shù)乘分數(shù)的算理的再次理解。在這過程中，充分展示學生畫的圖進行分析理解，明確算理?！?/p>

（4）小結算法，建立模型

師：結合兩道題的計算過程，分數(shù)乘分數(shù)怎樣計算的？

生：分數(shù)乘分數(shù)，用分子相乘的積做分子，用分母相乘的積做分母。也就是×。

【設計意圖：通過使用數(shù)形結合，讓算理有依據(jù)。通過數(shù)形結合，讓學生建立計算分數(shù)乘分數(shù)的模型，使其看到分數(shù)乘分數(shù)，就能想起圖形的樣子，知道結果是怎樣得來的，這樣很好地培養(yǎng)了學生的形象思維和數(shù)感】

2.案例分析

整節(jié)課以畫圖理解新知，數(shù)形結合，把抽象新知轉化為直觀的幾何圖形，體現(xiàn)幾何直觀的作用，并充分發(fā)揮學生的主體作用。在理解算理后教師幫助學生建立模型，使學生日后能更好地運用。

（1）數(shù)形結合，理解算理

教學×時，因為分數(shù)乘分數(shù)是一項比較抽象的知識，這個知識點的數(shù)感建立尤其困難，學生第一次接觸都會比較抵觸，不知從何入手。書本的插圖學生也不好理解，最好的辦法是讓學生自主操作探究出方法來理解新知。首先，教師引導學生把長方形設為1公頃，在長方形上畫出，這里教師需要讓學生說一說表示什么意思，單位“1”是多少？然后再理解公頃的是什么意思，現(xiàn)在的單位“1”又是什么？理解后學生下筆畫圖。在這個過程中，構造圖形表示分數(shù)乘分數(shù)，再通過圖形與算式的計算過程和結果的比較，歸納總結分數(shù)乘分數(shù)的計算方法。

教學×時，學生已有了初步的畫圖體驗，這里可以放手讓學生獨立嘗試畫圖得出試算結果。這時，教師的工作主要在學生操作時，給予畫圖有困難的學生適當?shù)膸椭涂梢粤?。通過兩次畫圖理解，充分調動學生原有的知識經(jīng)驗，在畫圖中深刻理解算理，引導學生多種方法地探索算理的形成過程，充分體現(xiàn)了“數(shù)形結合”思想。

最后在兩個小題的教授完畢后適當?shù)攸c撥、提升出“數(shù)形結合”思想，讓學生明確知道我們在解題過程中使用的方法是什么，以后在什么情況下可以使用，從而有效地滲透了“數(shù)形結合”思想，避免把滲透數(shù)學思想變成形式化，真正地做到學以致用。

（2）歸納并建立模型

利用畫圖的方法表示兩個分數(shù)相乘，建立形與數(shù)的聯(lián)系，最后總結歸納構建計算分數(shù)乘分數(shù)的直觀模型是。在小學階段，模型思想是學生很常用的一種數(shù)學思想方法，是學生把所學知識學以致用的一種學習支撐。所以，在“數(shù)的運算”這一板塊教學中滲透并使用數(shù)學模型的思想方法具有重要意義。

本案例的實施效果比較好，其運用的數(shù)學思想方法有多種，如，數(shù)形結合、轉化、猜想、符號化思想等，但如果每個思想都讓學生理解并知道，這樣對學生來說比較吃力，也讓教學過程變得重點不突出。所以，教師主要以滲透數(shù)形結合這一數(shù)學思想方法，主次突出，讓滲透數(shù)學思想方法不流于形式，意在讓學生可以學以致用。