曹智睿，董吉洪

（中國科學(xué)院 長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所 空間三部，吉林 長春130000）

1 引 言

在首次火星探測任務(wù)高分辨率相機(jī)的研制過程中，加工了許多具有精密三維形貌要求的結(jié)構(gòu)件用于高精度的標(biāo)定、測試和試驗(yàn)等工作。為了檢測這些結(jié)構(gòu)件的加工精度，通常使用三坐標(biāo)測量設(shè)備，以接觸測量的方式獲取若干采樣點(diǎn)的空間位置信息，并進(jìn)一步擬合待測表面的三維形貌。受待測表面三維形貌特點(diǎn)和測量效率等因素的制約，通過三坐標(biāo)測量三維形貌時的采樣點(diǎn)密度難以大幅度提高，從而制約了復(fù)雜三維形貌的測量精度；另外，通過有限采樣點(diǎn)擬合得到的三維形貌無法有效反應(yīng)待測表面局部位置的凸點(diǎn)、凹點(diǎn)等加工誤差，而這些加工誤差將嚴(yán)重影響火星高分辨率相機(jī)的標(biāo)定、測試和試驗(yàn)精度，甚至破壞相機(jī)精密的光機(jī)結(jié)構(gòu)位置關(guān)系。結(jié)構(gòu)光編碼測量技術(shù)具有非接觸、高密度和高效率等優(yōu)點(diǎn)，被廣泛應(yīng)用在工業(yè)測量、模具制造、醫(yī)學(xué)影像、文物重建等領(lǐng)域［1-4］，可有效解決三坐標(biāo)測量設(shè)備存在的上述技術(shù)問題。

結(jié)構(gòu)光的編碼方法是結(jié)構(gòu)光編碼測量技術(shù)的重要基礎(chǔ)，隨著DLP數(shù)字投影技術(shù)的發(fā)展，結(jié)構(gòu)光編碼的靈活性和多樣性大大增加，現(xiàn)有的結(jié)構(gòu)光編碼方法主要包括格雷碼［5-6］、正弦相移［7-9］、梯形相移［10-12］、三角相移［13-14］以及格雷碼與相移結(jié)合［15-18］等。其中，格雷碼與正弦相移結(jié)合的編碼方法因其高采樣密度和易于相位展開等優(yōu)點(diǎn)應(yīng)用最為廣泛。傳統(tǒng)的格雷碼與正弦相移的結(jié)合方式為對稱式結(jié)合，該編碼方法要求正弦相移周期與格雷碼最小編碼周期相等，且邊界對齊。在實(shí)際應(yīng)用過程中，受被測物體形狀、表面材質(zhì)、測試環(huán)境照明和格雷碼二值化閾值等因素的影響，格雷碼和正弦相移周期邊界產(chǎn)生周期錯位，從而導(dǎo)致周期邊界位置的絕對相位解算誤差。為了解決這個問題，研究人員提出了多種不同的方法。第一類方法的核心思想是通過優(yōu)化濾波算法、自動閾值設(shè)置方法、亞像素邊界定位算法和非線性誤差校正算法等方法提高格雷碼和正弦相移周期邊界的定位精度［19-23］，從而一定程度地減小了周期錯位誤差產(chǎn)生的范圍和概率，但是此類方法并不能徹底消除周期錯位誤差。第二類方法的核心思想是通過相鄰像素的比較來識別格雷碼或正弦相移絕對相位的變異點(diǎn)，然后根據(jù)具體情況確定周期錯位誤差的校正方案［24］，此類方法復(fù)雜且具有一定的局限性。例如，當(dāng)周期錯位誤差的范圍超過一個像素時，某些位置的解碼錯誤無法得到糾正；當(dāng)被測物體表面形貌變化劇烈時，一些正常的相位突變可能被誤判為周期錯位誤差，從而導(dǎo)致錯誤的校正。第三類方法的核心思想是通過改進(jìn)編碼方法從原理上消除周期錯位誤差。例如，F(xiàn)u X和Yu X等人提出的梯形相移非對稱結(jié)合格雷碼的方法［25］，通過格雷碼與梯形相移區(qū)域碼的雙重約束減小周期錯位誤差，但是梯形相移在采樣密度和測量精度上的固有缺陷使其無法取代格雷碼結(jié)合正弦相移的重要地位；Zhang Q提出了一種格雷碼與正弦相移的互補(bǔ)編碼方法［26］，通過投射額外的格雷碼圖像（正弦周期與附加格雷碼周期相同，但邊界對應(yīng)關(guān)系發(fā)生偏置），獲取兩個互補(bǔ)的絕對相位值來消除周期錯位誤差，但是投影額外的格雷碼會在一定程度上降低測量效率，難以適用于高精度動態(tài)三維測量等應(yīng)用場景。

本文提出對四步正弦相移進(jìn)行區(qū)域編碼的概念和方法，并將具有區(qū)域編碼的正弦相移與格雷碼進(jìn)行非對稱結(jié)合，通過格雷碼和區(qū)域碼的雙重約束，從原理上消除了格雷碼結(jié)合正弦相移的周期錯位現(xiàn)象。本文提出的方法與梯形相移非對稱結(jié)合格雷碼的方法相比較，具有更好的采樣密度；與Zhang Q提出的互補(bǔ)編碼方法相比較，不需要增加額外的格雷碼投影數(shù)量，有利于提高投影測量效率。

2 基本原理

2.1 正弦相移區(qū)域編碼與相對相位編碼

在以往的應(yīng)用中，正弦相移只存在相位編碼，不存在區(qū)域編碼。本文提出了正弦相移區(qū)域編碼的概念和四步正弦相移區(qū)域編碼的方法，目的是將具有區(qū)域編碼的正弦相移與格雷碼進(jìn)行非對稱結(jié)合，通過格雷碼碼值和正弦區(qū)域碼的雙重約束最大限度地減小周期邊界處的解碼誤差。

四步正弦相移的間隔為1/4正弦周期，每個正弦相移周期均可劃分為四個區(qū)域，區(qū)域編碼N分別取值0，1，2，3，如圖1所示。

圖1 影像測量系統(tǒng)原理圖Fig.1 Block diagram of image measuring system

四步正弦相移區(qū)域編碼的規(guī)則如表1所示，表中I1~I4分別代表第1幅至第4幅正弦編碼圖案中特定像元位置的灰度值。

表1 四步正弦相移區(qū)域碼編碼規(guī)則Tab.1 Region encoding rules of the four step sinusoidal phase-shifting

四步正弦相移相對相位φ的解碼方法如公式（1）所示，式中fix表示向下取整運(yùn)算，例如：

2.2 格雷碼非對稱結(jié)合正弦相移

格雷碼非對稱結(jié)合正弦相移編碼方法改變了格雷碼最小編碼周期與正弦相移周期之間的周期對應(yīng)關(guān)系和位置對應(yīng)關(guān)系。在新的編碼方法中，正弦相移周期大于格雷碼最小編碼周期，且格雷碼最小編碼周期邊界分別位于正弦相移兩個區(qū)域的中間位置。該方法的核心思想是避免格雷碼碼值k與正弦相移區(qū)域碼碼值N同時變化，即使一個編碼的判讀產(chǎn)生了誤差，仍可通過另一個不變的編碼抑制周期錯位誤差的產(chǎn)生。

格雷碼與四步正弦相移非對稱結(jié)合的具體方法如下：首先，設(shè)置正弦相移周期占據(jù)4m像元位置（數(shù)字4代表四步正弦相移所劃分的4個區(qū)域），格雷碼最小編碼周期占據(jù)4n像元位置；為了保證格雷碼最小編碼周期邊界分別位于正弦相移兩個區(qū)域的中間位置，則m和n應(yīng)滿足公式（2）所示的數(shù)學(xué)關(guān)系。

為了便于下文的討論，在滿足公式（2）的條件下對m和n進(jìn)行任意賦值，本文取m=8，n=6，即格雷碼圖像的最小編碼周期占24個像元，而正弦相移周期占32個像元，此時，格雷碼與正弦相移的非對稱結(jié)合關(guān)系如圖2所示。圖中，所有格雷碼周期邊界均位于正弦相移區(qū)域中心位置，格雷碼周期邊界與正弦相移區(qū)域邊界之間存在±4個像元的周期錯位容錯范圍，用于避免格雷碼碼值與正弦相移區(qū)域碼碼值同時變化。需要指出的是，由于正弦相移和格雷碼的非對稱結(jié)合關(guān)系，k=0的格雷碼周期邊界并未與Pixel 0對齊，而是對應(yīng)于N=0的正弦區(qū)域中間位置。

圖2 展示了k=0～3的格雷碼周期與正弦相移的非對稱結(jié)合關(guān)系。k≥4時，格雷碼周期與正弦相移的非對稱結(jié)合關(guān)系依此循環(huán)。格雷碼周期邊界與正弦相移區(qū)域碼的對應(yīng)關(guān)系如表2所示。

表2 格雷碼周期邊界與正弦相移區(qū)域碼的對應(yīng)關(guān)系Tab.2 Correspondence between the cyclic code boundar?ies and the region codes

圖2 格雷碼與正弦相移的非對稱結(jié)合關(guān)系Fig.2 Asymmetric combination of Gray code and sinusoidal phase-shift

格雷碼非對稱結(jié)合四步正弦相移絕對相位Φ的解碼需要考慮兩者之間的非對稱關(guān)系，解碼方法如公式（3）所示，式中，k為格雷碼碼值，k=0，1，2…..31，N為正弦相移區(qū)域碼，N=0，1，2，3，fix表示向下取整運(yùn)算。

3 誤差分析

3.1 ΔN和Δφ的關(guān)系

本文提出了正弦相移區(qū)域編碼的概念和方法，并給出了與區(qū)域碼N相關(guān)的相對相位的計算公式，我們將以圖2（a）所示的編碼為例，定量分析區(qū)域碼誤差ΔN與相對相位誤差Δφ的關(guān)系，可能出現(xiàn)的誤差情況如表3所示。對于經(jīng)過輻射校正的測量系統(tǒng)，通過表1所示的編碼規(guī)則判別正弦相移的區(qū)域邊界時，判別誤差通?？煽刂圃谝粋€像元，即正弦相移的區(qū)域碼解碼誤差僅發(fā)生在區(qū)域邊界的相鄰像元之間。表3中，N代表區(qū)域碼真值，N'代表帶有誤差的區(qū)域碼測量值，N=0→N'=1代表區(qū)域碼真值為0的邊界像元被誤判為區(qū)域碼為1，φ代表相對相位的真值，φ'代表帶有誤差的相對相位測量值，Δφ代表相對相位的測量誤差。

由以上分析可知，正弦相移的區(qū)域碼產(chǎn)生一個碼值的誤差僅導(dǎo)致相對相位π/16的誤差，對應(yīng)編碼圖像中一個像元位置。

3.2 Δk、ΔN和Δφ的關(guān)系

由公式（3）可知，在格雷碼周期邊界附近，格雷碼碼值k和正弦相移區(qū)域碼碼值N的判讀誤差都將導(dǎo)致絕對相位Φ的展開誤差。對于經(jīng)過輻射校正的測量系統(tǒng)，正弦區(qū)域碼邊界和格雷碼邊界的判別誤差通?？煽刂圃谝粋€像元，由于格雷碼周期邊界與正弦相移區(qū)域邊界之間預(yù)留了±4個像元的容差范圍，因此可認(rèn)為格雷碼碼值與正弦相移的區(qū)域碼碼值不會同時出現(xiàn)判讀誤差。此時，可能存在的誤差情況如表4所示，表中，k，N和Φ分別代表格雷碼、區(qū)域碼和絕對相位的真值，k'，N'和Φ'分別代表帶有誤差的格雷碼值、區(qū)域碼值和絕對相位值。

表4 △k、△N和△Φ的關(guān)系Tab.4 Relationship between△k，△N and△Φ

在各種可能的誤差情況下，絕對相位的解算誤差均等于相對相位的解算誤差，由此可見，正弦相移非對稱結(jié)合格雷碼的編解碼方法從原理上完全消除了周期錯位誤差的產(chǎn)生。

4 仿真驗(yàn)證

為了排除隨機(jī)誤差因素的干擾，在相同實(shí)驗(yàn)條件下準(zhǔn)確地比較不同編碼方法在周期錯位誤差抑制方面的性能差異，本文選擇了仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證，仿真實(shí)驗(yàn)平臺為3ds Max和MATLAB。仿真測量系統(tǒng)由攝像機(jī)、投影儀和被測物體組成。仿真攝像機(jī)模擬Nikon D850相機(jī)與105 mm焦距微距鏡頭的組合，其中相機(jī)CMOS傳感器有效感光尺寸設(shè)置為35.9 mm×23.9 mm，傳感器有效分辨率設(shè)置為8 256×5 504，105 mm焦距微距鏡頭的視場角度設(shè)置為23°20'；仿真投影儀模擬BenQ W7000 DLP投影儀，分辨率設(shè)置為1 920×1 080，投影區(qū)域設(shè)置為100 mm×56.25 mm，投影編碼分別為傳統(tǒng)格雷碼結(jié)合正弦相移和格雷碼非對稱結(jié)合正弦相移，其中傳統(tǒng)編碼的最小周期占24像元，非對稱結(jié)合編碼的格雷碼最小周期占24像元，正弦相移周期占32像元；攝影物鏡和投影物鏡位于被測表面同一側(cè)，投影物鏡光軸沿坐標(biāo)系Y軸，投影中心距離坐標(biāo)系原點(diǎn)O的距離為450 mm；攝影物鏡光軸平行X-Y平面，與投影物鏡光軸相交于坐標(biāo)系原點(diǎn)O，呈15°夾角。

設(shè)置被測物體為一個理想平面，尺寸為100 mm×50 mm，表面反射特性為漫反射，被測平面沿X-Z平面放置，表面幾何中心與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，如圖3所示。

圖3 理想平面的仿真測試Fig.3 Simulation measurement of ideal plane

分別應(yīng)用對稱結(jié)合編碼配合周期誤差校正的方法和非對稱結(jié)合編碼方法，對仿真環(huán)境下的理想平面進(jìn)行測量，得到重構(gòu)平面及其測量誤差分別如圖4和圖5所示。

圖4 應(yīng)用對稱結(jié)合編碼配合周期誤差校正方法的測量結(jié)果Fig.4 Simulation measurement results of plane with sym?metrically combined encoding and periodic disloca?tion error correction

圖5 應(yīng)用非對稱結(jié)合編碼方法的平面測量結(jié)果Fig.5 Simulation measurement results of plane with asymmetrically combined encoding

應(yīng)用上述兩種方法得到的平面測量數(shù)據(jù)如表5所示。從測量結(jié)果可以看出，應(yīng)用傳統(tǒng)對稱結(jié)合編碼方法配合周期錯位誤差校正算法的最大測量誤差與均方誤差相差巨大，說明部分像元位置的周期錯位誤差沒有得到校正，或出現(xiàn)了校正錯誤；而應(yīng)用非對稱結(jié)合編碼方法的最大測量誤差與均方誤差極其接近，說明周期錯位誤差已從原理上消除。

表5 對理想平面的仿真測量結(jié)果Tab.5 Simulation measurement results of the ideal plane（mm）

為了進(jìn)一步驗(yàn)證格雷碼非對稱結(jié)合正弦相移編解碼方法的可行性，本文對曲面進(jìn)行了方針測試實(shí)驗(yàn)。設(shè)置被測物體為一個理想球體，球體半徑為50 mm，表面反射特性為漫反射。球體幾何中心與投影中心、攝影中心同高，且與O點(diǎn)重合，如圖6所示。

圖6 理想球面的仿真測試Fig.6 Simulation measurement of ideal sphere

分別應(yīng)用對稱結(jié)合編碼配合周期誤差校正的方法和非對稱結(jié)合編碼方法，對仿真環(huán)境下的理想球面進(jìn)行測量，得到重構(gòu)球面及其測量誤差分別如圖7和圖8所示。

圖7 應(yīng)用對稱結(jié)合編碼配合周期誤差校正方法的測量結(jié)果Fig.7 Simulation measurement results of sphere with symmetrically combined encoding and periodic dis?location error correction

圖8 應(yīng)用非對稱結(jié)合編碼方法的球面測量結(jié)果Fig.8 Simulation measurement results of sphere with asymmetrically combined encoding

應(yīng)用上述兩種方法得到的球面測量數(shù)據(jù)如表6所示。從測量結(jié)果可以看出，應(yīng)用傳統(tǒng)對稱結(jié)合編碼方法配合周期錯位誤差校正算法的測量結(jié)果仍然存在顯著的周期錯位誤差，且最大誤差和較大誤差的數(shù)量均較平面測量明顯增加，這是因?yàn)樵谇蛎孢吘壩恢?，周期錯位校正算法將部分正確的碼值突變當(dāng)做周期錯位進(jìn)行了錯誤的校正，導(dǎo)致了更多更大的解碼誤差；而應(yīng)用非對稱結(jié)合編碼方法的最大測量誤差和均方誤差較為接近，說明非對稱結(jié)合編碼方法對周期錯位誤差的抑制效果仍然顯著有效。

表6 對理想球面的仿真測量結(jié)果Tab.6 Simulation measurement results of ideal sphere（mm）

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證研究內(nèi)容的正確性，以火星高分相機(jī)研制過程中加工的某精密平板作為測量對象，開展了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證工作。之所以選擇最簡單的平面物體作為實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證對象，是因?yàn)橄鄬τ谄渌麖?fù)雜表面，平面的精加工難度相對較低，加工保障的精度最高，便于定量比對和評價新技術(shù)的測量精度。待測平板尺寸為150 mm×100 mm×10 mm，其中一個150 mm×100 mm的表面進(jìn)行了精密研磨，三坐標(biāo)測量系統(tǒng)和粗糙度測試儀的測量結(jié)果顯示：研磨后的表面粗糙度優(yōu)于0.005 mm，平面度優(yōu)于0.01 mm。使用BenQ W7000 DLP投影儀、Nikon D850相機(jī)與105 mm焦距微距鏡頭組建了測試系統(tǒng)，投影儀、相機(jī)和被測鋁板之間的相對位置關(guān)系大體參照了第4章仿真實(shí)驗(yàn)的布局，但是并沒有進(jìn)行嚴(yán)格的約束，因此本文所采用的三維解算方法對測試設(shè)備的相對位置關(guān)系并沒有嚴(yán)格的要求［27］。

應(yīng)用本文提出的非對稱組合結(jié)構(gòu)光編碼技術(shù)進(jìn)行被測表面的重構(gòu)，重構(gòu)表面如圖9（a）所示，將重構(gòu)表面和擬合標(biāo)準(zhǔn)平面做差，得到測量誤差如圖9（b）、9和表7所示。我們可以發(fā)現(xiàn)，測試的最大誤差和均方根誤差大約為仿真結(jié)果的2倍，需要指出的是該誤差既包含了測試系統(tǒng)的測試誤差，也包含了被測表面的加工誤差?？梢源_定是，測試過程中并沒有產(chǎn)生類似圖4（b）所示的周期錯位誤差，這表明本文提出的非對稱組合結(jié)構(gòu)光編碼技術(shù)是正確有效的。

表7 對平面的測試結(jié)果Tab.7 Measurement results of plane （mm）

圖9 實(shí)測結(jié)果Fig.9 Physical measurement results of plane with asym?metrically combined encoding

6 結(jié) 論

本文提出了正弦相移區(qū)域編解碼的概念和方法，以及格雷碼與正弦相移的非對稱組合方法。3ds Max的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果和實(shí)測實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，格雷碼與正弦相移的非對稱組合的編碼方法有效地消除了周期位錯誤差，使最大測量誤差減少了一個數(shù)量級，平均測量誤差減少了70%，該方法比現(xiàn)有方法具有更高的測量精度、更高的測量密度和更高的測量效率，特別適用于高精度動態(tài)三維測量的應(yīng)用場景。