張培培，楊自棟，趙相君，姚立健，張 碩

(1.浙江農(nóng)林大學(xué)工程學(xué)院，浙江 杭州 311300； 2.長(zhǎng)安大學(xué)汽車(chē)學(xué)院，陜西 西安 710064)

0 引言

半掛汽車(chē)是牽引車(chē)和半掛車(chē)之間通過(guò)耦合作用組成的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，具有運(yùn)輸效率高、成本低等優(yōu)點(diǎn)，在農(nóng)耕、地質(zhì)勘探、運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。隨著控制技術(shù)的發(fā)展，國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)自動(dòng)駕駛半掛車(chē)輛系統(tǒng)進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)建模并提出了相應(yīng)的控制策略?，F(xiàn)有的智能車(chē)輛自動(dòng)駕駛控制系統(tǒng)由縱向運(yùn)動(dòng)控制和橫向運(yùn)動(dòng)控制共同組成，縱向運(yùn)動(dòng)主要控制對(duì)象是傳動(dòng)、驅(qū)動(dòng)和制動(dòng)系統(tǒng)，橫向運(yùn)動(dòng)主要控制對(duì)象是轉(zhuǎn)向系統(tǒng)。半掛汽車(chē)自動(dòng)駕駛的縱、橫向運(yùn)動(dòng)控制方法主要有PID控制、模糊控制、滑?？刂?、模型預(yù)測(cè)控制(Model Predictive Control，MPC)和非線性模型預(yù)測(cè)控制(Nonlinear Model Predictive Control，NMPC)等[1-9]。

半掛汽車(chē)是存在一定運(yùn)動(dòng)約束的一類(lèi)欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，即獨(dú)立控制輸入少于自由度的系統(tǒng)，具有非線性[4-5]。許言等[10]對(duì)半掛汽車(chē)列車(chē)進(jìn)行了彎路行駛軌跡分析。ASTOLFI A等[11]對(duì)半掛汽車(chē)列車(chē)進(jìn)行了直線和彎路行駛軌跡跟蹤。由于該系統(tǒng)倒車(chē)時(shí)是非完整約束的不穩(wěn)定系統(tǒng)，相關(guān)學(xué)者對(duì)半掛汽車(chē)列車(chē)進(jìn)行了倒車(chē)控制研究[12-13]。

近年來(lái)，眾多學(xué)者對(duì)自動(dòng)駕駛拖拉機(jī)牽引農(nóng)機(jī)具或者掛車(chē)系統(tǒng)的路徑跟蹤也進(jìn)行了廣泛研究。BACKMAN J等[7]基于拖拉機(jī)牽引農(nóng)機(jī)具運(yùn)動(dòng)學(xué)模型設(shè)計(jì)了NMPC路徑追蹤系統(tǒng)。KAYACAN E等[8-9]基于農(nóng)用掛車(chē)機(jī)組縱向和橫向的非線性動(dòng)力學(xué)模型，采用PID控制器使掛車(chē)機(jī)組有效跟蹤曲線路徑。CARIOU C等[14]研究了拖拉機(jī)牽引農(nóng)機(jī)具在田間地頭時(shí)轉(zhuǎn)向和速度自動(dòng)駕駛控制系統(tǒng)。KARKEE M等[15]對(duì)拖拉機(jī)單軸牽引農(nóng)機(jī)具系統(tǒng)進(jìn)行了研究，并設(shè)計(jì)了基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的閉環(huán)LQR控制器路徑追蹤。

本文針對(duì)自動(dòng)駕駛半掛汽車(chē)倒車(chē)時(shí)的曲線路徑跟蹤控制進(jìn)行研究。在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡假設(shè)的基礎(chǔ)上建立掛車(chē)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型。為簡(jiǎn)化穩(wěn)定跟蹤控制器的驗(yàn)算和求解，應(yīng)用準(zhǔn)確線性化方法對(duì)建立的模型線性化，最后采用滑模變結(jié)構(gòu)算法來(lái)實(shí)現(xiàn)半掛汽車(chē)系統(tǒng)的跟蹤控制，使半掛車(chē)很快倒入指定路線，并通過(guò)仿真手段分析和驗(yàn)證了控制算法的有效性和實(shí)時(shí)性。

1 倒車(chē)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型建立

半掛汽車(chē)倒車(chē)時(shí)，要求控制器將一輛帶半掛的牽引車(chē)倒入指定的軌道，整個(gè)過(guò)程不能出現(xiàn)別車(chē)現(xiàn)象。

為簡(jiǎn)化研究問(wèn)題，作如下假設(shè)：車(chē)輛只作平行于地面的平面運(yùn)動(dòng)；車(chē)輛倒車(chē)時(shí)速度恒定且較低，車(chē)輪沒(méi)有側(cè)滑；牽引車(chē)和掛車(chē)鉸接點(diǎn)在牽引車(chē)的后軸中心。半掛汽車(chē)簡(jiǎn)化為三輪車(chē)模型，其倒車(chē)運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤模型如圖1所示，掛車(chē)后軸中心的實(shí)際位置用極坐標(biāo)(r，φ)表示，用以追蹤半徑為R的期望路徑，極坐標(biāo)的圓心為期望路徑的圓心O。車(chē)輛參數(shù)含義如表1所示。

圖1 半掛汽車(chē)倒車(chē)跟蹤模型Fig.1 Backward path tracking model of tractor-semitrailer system

表1 系統(tǒng)參數(shù)

根據(jù)圖1模型建立半掛汽車(chē)的極坐標(biāo)下運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程：

(1)

式中V1——牽引車(chē)后軸中心速度

以期望路徑的弧長(zhǎng)l=Rφ作為新的時(shí)間量標(biāo)，以(r-R)，θ和(γ-φ)等為控制目標(biāo)。建立新量l與時(shí)間t的關(guān)系和半掛汽車(chē)的曲線運(yùn)動(dòng)學(xué)微分方程

(2)

式(1)可以改寫(xiě)為

(3)

(4)

式(4)可改寫(xiě)為線性化狀態(tài)方程：

(5)

(6)

根據(jù)式(6)，求出前輪轉(zhuǎn)角α：

(7)

式(5)～(6)表明，設(shè)計(jì)合理的負(fù)反饋控制函數(shù)u會(huì)使系統(tǒng)快速穩(wěn)定，當(dāng)時(shí)間增加，期望運(yùn)動(dòng)弧長(zhǎng)l增大時(shí)，(r-R)→0，θ→定值，(γ-φ)→90°，即車(chē)輛倒車(chē)時(shí)會(huì)追蹤目標(biāo)曲線。式(7)表明，非線性系統(tǒng)的輸入α由r、θ和γ-φ決定。

2 基于滑模變結(jié)構(gòu)控制算法設(shè)計(jì)

本文系統(tǒng)的參考軌跡為定曲率弧線，控制的目標(biāo)是使半掛車(chē)沿著參考軌跡運(yùn)動(dòng)，前面將非線性半掛汽車(chē)系統(tǒng)進(jìn)行準(zhǔn)確線性化為設(shè)計(jì)反饋線性控制提供了基礎(chǔ)?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制具有響應(yīng)快速、抗干擾性能好和物理實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單等優(yōu)點(diǎn)，因此該控制方法被用以實(shí)現(xiàn)半掛汽車(chē)的自動(dòng)倒車(chē)跟蹤控制[17]。

2.1 滑模面參數(shù)設(shè)計(jì)

根據(jù)式(5)，線性化系統(tǒng)模型可改寫(xiě)為

(8)

滑模面設(shè)計(jì)為

(9)

C=[(c1，c2， …，cn)]

式中C——切換函數(shù)矩陣

n——狀態(tài)變量的維數(shù)，即n=3

為保證滑模變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)特性，應(yīng)合理選擇切換函數(shù)矩陣C，C的選取方法主要有極點(diǎn)配置法、二次型最優(yōu)等，本文采用Ackermann公式簡(jiǎn)單有效地進(jìn)行極點(diǎn)配置[18]。

根據(jù)Ackermann公式：

C=[(0， 0， …， 1)][(B，AB， …，An-1B)]-1f(A)

(10)

f(A)=(A-Iλ1)(A-Iλ2)…(A-Iλn)

式中λi——極點(diǎn)

因?yàn)橄到y(tǒng)為3階系統(tǒng)，該系統(tǒng)模型具有3個(gè)都位于左半開(kāi)復(fù)平面的極點(diǎn)，其中2個(gè)共軛主導(dǎo)極點(diǎn)λ1、λ2由系統(tǒng)的固有頻率ωn和阻尼ζ決定，根據(jù)參考文獻(xiàn)[19]，確定ωn=2.26 Hz，ζ=0.70，則主導(dǎo)極點(diǎn)：

為使第3個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)λ3對(duì)系統(tǒng)的影響小，應(yīng)使其遠(yuǎn)離兩個(gè)主極點(diǎn)，取λ3=-10，根據(jù)式(10)可以求出C=[40.3 32.0 12.8]。

2.2 基于指數(shù)趨近律和準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)的滑模控制器設(shè)計(jì)

為保證半掛車(chē)快速趨近期望路徑同時(shí)削弱抖振，采用指數(shù)趨近律的方法和準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制。為提高系統(tǒng)對(duì)外界擾動(dòng)的魯棒性，準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)控制采用繼電特性進(jìn)行連續(xù)化，則新型指數(shù)趨近律的表達(dá)式為

(11)

式中ε——等速趨近速率，ε>0

k——指數(shù)趨近項(xiàng)系數(shù)，k>0

δ——正常數(shù)

ε和k決定了趨近切換面時(shí)的速度。

(12)

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性理論，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。結(jié)合式(8)和(11)得到半掛車(chē)系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)滑模控制函數(shù)：

(13)

3 路徑跟蹤仿真試驗(yàn)分析

基于以上分析，在Matlab/Simulink環(huán)境下搭建仿真模型并進(jìn)行半掛汽車(chē)沿曲線自動(dòng)倒車(chē)路徑跟蹤仿真驗(yàn)證。假設(shè)倒車(chē)時(shí)運(yùn)動(dòng)速度穩(wěn)定在1 m/s，其模型參數(shù)：L1=2 m，L2=2.8 m。設(shè)置初始時(shí)刻為t0=0，末端時(shí)刻t1=30 s，求解算法采用定步長(zhǎng)龍格-庫(kù)塔數(shù)值解法，設(shè)定模型仿真步長(zhǎng)為0.01 s。

初始條件：r=21 m，R=20 m，θ=π/18，γ=π/2，φ=π/10。仿真試驗(yàn)結(jié)果如圖2所示。

圖2 倒車(chē)軌跡跟蹤仿真結(jié)果Fig.2 Backward path tracking simulation results

從圖2中看出，線性化系統(tǒng)的狀態(tài)變量ξ經(jīng)過(guò)較短時(shí)間收斂到0，掛車(chē)的重心P點(diǎn)的實(shí)際半徑與期望半徑差r-R=ξ1收斂到0，前輪轉(zhuǎn)角α快速收斂到-8.6°，掛車(chē)與牽引車(chē)中心線的夾角θ、 (γ-φ)分別收斂到7.9°與90°。這表明掛車(chē)的回轉(zhuǎn)中心O2收斂于期望路徑的圓心O，由此可見(jiàn)設(shè)計(jì)的控制器可對(duì)半掛汽車(chē)倒車(chē)時(shí)進(jìn)行跟蹤。

4 結(jié)束語(yǔ)

(1)對(duì)半掛汽車(chē)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律進(jìn)行了分析，以此建立了極坐標(biāo)下該系統(tǒng)倒車(chē)時(shí)曲線運(yùn)動(dòng)路徑跟蹤模型，為達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)的目的，應(yīng)用準(zhǔn)確線性化方法對(duì)建立的系統(tǒng)模型線性化。

(2)采用滑模變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)了半掛汽車(chē)的倒車(chē)跟蹤控制算法。利用Matlab/Simulink對(duì)系統(tǒng)仿真試驗(yàn)驗(yàn)證了該控制算法具有良好的道路跟蹤精度和動(dòng)態(tài)性。