續(xù)煥英 齊海濤

【摘要】本文在啟發(fā)式教學思想的引領下，針對最大似然估計法給出具體的教學設計思路，遵循學生的認知規(guī)律，充分調動學生學習的主觀能動性，踐行“以學生為中心”的教學理念，將學生學習的主動權最大限度地還給學生，以期優(yōu)化傳統(tǒng)的教學模式，提高教學效率.

【關鍵詞】啟發(fā)式教學，最大似然估計法，似然函數(shù)，教學模式

【基金項目】山東大學（威海）校級教育教學改革研究項目，項目名稱：慕課滋養(yǎng)下《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》課程多元化教學改革研究，項目編號：Y2019057

《教育部關于進一步深化本科教學改革全面提高教學質量的若干意見》中指出，要大力推進教學方法的改革，提倡啟發(fā)式教學，注重因材施教.

一、啟發(fā)式教學簡介

啟發(fā)式教學是教師根據(jù)教學目標，針對教學內容，從學生的實際出發(fā)，采用多種教學方法，引導學生積極主動地學習，從而促進學生全面發(fā)展的一種教學指導思想.這種教學模式是相對傳統(tǒng)教學提出的一種新的教學方法，重在引導學生積極主動地學習新知識，讓學生在探索和發(fā)現(xiàn)中獲得相應的知識內容，有助于培養(yǎng)學生主動思考和分析問題的能力.教師將啟發(fā)式教學思想融入課堂，有助于發(fā)揮學生的主體地位，充分激發(fā)學生學習的興趣，調動學生學習的積極性.教師在概率統(tǒng)計課程的教學過程中應用啟發(fā)式教學方法，不僅可以使學生學會主動學習和獨立思考，提升思維能力，而且可以提高學生學習的效率，培養(yǎng)其創(chuàng)新意識，提高其創(chuàng)新能力，真正實現(xiàn)素質教育.中國最早提出啟發(fā)式教學的是大教育家孔子，他主張“不憤不啟，不悱不發(fā)”，意為先鼓勵學生積極獨立的思考，再進行適時啟發(fā)和開導.這種教育理念符合教學基本規(guī)律，對當前教育仍具有重要的借鑒價值.

二、教學案例分析

最大似然估計法（簡稱MLE）是在總體分布類型已知條件下使用的一種重要而普遍的參數(shù)估計方法，具有許多良好的統(tǒng)計性質，其充分利用了總體分布提供的信息，克服了矩估計法在這方面的缺陷.這種參數(shù)估計方法具有深刻的統(tǒng)計思想內涵，是各種數(shù)理統(tǒng)計方法的基礎，教學目標要求學生熟練掌握這種參數(shù)估計的方法.但由于這種參數(shù)估計法計算繁雜，原理抽象，因此學生學習起來有一定難度，這就需要教師在教學方法上多下功夫，精心設計教學過程，充分啟發(fā)學生的積極思維，遵循學生的認知規(guī)律，將復雜抽象的問題簡單、直觀化.筆者根據(jù)教學目標的要求，將啟發(fā)式教學思想融入教學環(huán)節(jié)，設計教學過程如下.

1.歷史由來.

“好的開始是成功的一半”.下面介紹最大似然估計法的歷史演變過程.這種參數(shù)估計方法最早是由德國數(shù)學家高斯在1821年提出，后來英國統(tǒng)計學家費歇于1922年在其一篇文章中重新提出了這一方法，并首次研究了這種方法的一些性質，自此這種參數(shù)估計的方法得到了廣泛的應用，因此最大似然估計法常歸功于費歇，“最大似然估計”這一名稱也是由費歇給出的.作為知識的延伸，教師可以給學生分享兩位數(shù)學家在學術方面的巨大貢獻和對科學的敬業(yè)精神，啟發(fā)學生鍥而不舍、追求真理、勇于探索的科學精神，增強學生勇攀科學高峰的責任感和使命感，激發(fā)學生科技報國的家國情懷和使命擔當.

此外，為活躍課堂氣氛，增加課堂的趣味性，教師可將歷史人物的傳奇小故事納入課堂.比如享有“數(shù)學王子”美譽的高斯，他小時候就已經展現(xiàn)出了與眾不同的數(shù)學才能，教師介紹他與小學數(shù)學老師的故事，可以啟發(fā)學生善于思考，勤于動腦，向學生傳遞正能量.

2.問題引入.

作為一種重要的參數(shù)估計方法，最大似然估計法具有廣泛的實際應用，但因其復雜的計算過程和抽象的理論知識，學生學起來有一定的難度.抽象的理論知識并非無源之水，無根之木，它其實源于豐富多彩的現(xiàn)實生活.為便于學生理解，教師引入如下簡單的生活實例，把復雜抽象的理論知識簡單、具體化，讓學生在實際問題中感悟，給學生一種直觀的印象，幫助學生理解最大似然估計法的基本思想方法.

引例 設袋子中有黑白兩種顏色的球，比例為9∶1，但是不知道哪種顏色的球多.現(xiàn)在做一個隨機試驗：有放回地抽取3次，每次取1 個.假設在一次試驗中，取到 2 個白球，1 個黑球，用隨機事件A表示這個結果，試判斷哪種顏色的球多.

若用參數(shù)θ表示袋子中白球的概率，則問題轉化為判斷θ=0.1還是θ=0.9的問題.絕大部分學生都會回答白球多，即θ=0.9，這一判斷過程實際上已經用到了最大似然估計法的基本思想.教師要充分肯定學生的回答，并將這一過程系統(tǒng)化.通過進一步分析可以發(fā)現(xiàn)，所求問題就是在θ所有可能的取值中選擇θ的一個值，使得已經發(fā)生的事件即“取到2個白球，1個黑球”具有最大的概率.這種選擇一個參數(shù)使得試驗結果具有最大概率的思想就是最大似然估計法的基本思想.

解 設袋子中白球的概率為θ，Xi表示第i次取球的情況（i=1，2，3），則Xi=1，第i次取到白球，0，第i次取到黑球.

設第一、三次取到白球，第二次取到黑球，則

P（X1=1，X2=0，X3=1）=θ2（1-θ）.

若θ=0.1，則P（X1=1，X2=0，X3=1）=0.009;

若θ=0.9，則P（X1=1，X2=0，X3=1）=0.081>0.009.

可見，當θ=0.9時，事件（X1=1，X2=0，X3=1）發(fā)生的概率最大，即最支持試驗結果的發(fā)生，所以判斷白球多.

以上解題過程可以嚴謹?shù)乇硎鋈缦拢?/p>

設總體X含有待估參數(shù)θ=（θ1，θ2，…，θn），參數(shù)空間為Θ，在Θ中選取一個θ^，使得當θ=θ^時樣本觀測結果即事件（X1=x1，X2=x2，…，Xn=xn）出現(xiàn)的概率L（θ）達到最大值，則稱θ^為θ的最大似然估計，L（θ）稱為樣本的似然函數(shù).

在一次隨機試驗中，若某一個具體的試驗結果發(fā)生了，則認為當時的條件最有利于該結果的發(fā)生，即一次試驗就出現(xiàn)的事件有較大的概率.既然事件“取到 2 個白球，1 個黑球”已經發(fā)生，則此事件具有最大的概率，而當θ=0.9時，此事件的概率最大，所以認為袋子中白球多.這種統(tǒng)計思想即待估參數(shù)的值應使抽到的樣本觀測值出現(xiàn)的可能性最大，正是最大似然估計法的理論依據(jù)，稱之為最大似然原理.

3.理論分析.

通過以上實例的介紹，學生已經知道什么是參數(shù)的最大似然估計.那么如何求解參數(shù)的最大似然估計呢？對于這個問題的解決，教師應采用問題創(chuàng)設的教學方法，按照循序漸進的原則設計問題.在課堂教學活動中，問題創(chuàng)設是最常見的一種啟發(fā)式教學方法，因其具有易于操作和便于把控等特點，被高校教師所青睞.這種教學方法有助于促進師生之間的互動交流，有利于對學生數(shù)學思維的培養(yǎng).下面設計了三個問題：

（1）如何建立樣本的似然函數(shù)？

若總體X是離散型的，已知其分布概率為P（X=ai）=p（ai;θ），i=1，2，…，θ∈Θ，則

L（θ）=P（X1=x1，X2=x2，…，Xn=xn）=∏ni=1p（xi;θ）.

若總體X是連續(xù)型的，已知其概率密度函數(shù)為f（x;θ），則

L（θ）=∏ni=1f（xi;θ）.

教師要引導學生注意區(qū)分兩類總體中樣本似然函數(shù)在形式上的差異性，即一類是樣本分布律的連乘積，另一類是樣本概率密度的連乘積，但從本質上講兩類似然函數(shù)都是樣本觀測值和總體分布參數(shù)的函數(shù)，都是樣本的聯(lián)合分布.

（2）如何求解似然函數(shù)L（θ）的最大值點？

為獲取似然函數(shù)L（θ）的最大值點，通常需要求導數(shù)，而似然函數(shù)一般都是連乘積的形式，為便于求導，首先對似然函數(shù)求對數(shù)得ln L（θ），稱之為對數(shù)似然函數(shù).由于對數(shù)函數(shù)特有的性質，L（θ）和ln L（θ）在同一點θ=θ^處達到最大值，即極大化似然函數(shù)和極大化對數(shù)似然函數(shù)是等價的.此時教師可引導學生回顧高等數(shù)學中函數(shù)求最值的一般方法，θ的最大似然估計θ^可由方程（組）

ln L（θ）θi=0，i=1，2，…，n

獲得，稱以上方程（組）為對數(shù)似然方程（組）.

（3）求解總體未知參數(shù)最大似然估計值的一般步驟是什么？

綜上，讓學生歸納總結求未知參數(shù)最大似然估計值的一般步驟：首先求出似然函數(shù)L（θ）的表達式，其次求似然函數(shù)的極值點.這一教學過程能夠讓學生開動腦筋思考，既鍛煉了學生獨立思考問題的能力，又發(fā)展了邏輯思維的能力.

教師應以以上一系列問題為主線對重要知識點展開深入講解，并穿插課堂提問，以提高學生的課堂專注力，比如，對于連乘積形式的似然函數(shù)有沒有簡單的求導途徑呢？問題由淺入深，層層遞進，逐步開啟學生的積極思維.

4.例題詳解.

例題講解是數(shù)學課程必不可少的一個教學環(huán)節(jié)，是教師教會學生獨立思考問題，進而解決問題的重要過程.例題講解的主要作用在于幫助學生理解鞏固理論知識，讓學生更好地掌握重點知識，實現(xiàn)對新授知識的初步理解和應用.

例1 設總體X服從正態(tài)分布

f（x）=12πσe-（x-μ）22σ2，

其中σ2是已知參數(shù)，μ是未知參數(shù)，x1，x2，…，xn為樣本的一組觀測值，求參數(shù)μ的最大似然估計值.

解 似然函數(shù)為

L（μ）=∏ni=112πσe-（xi-μ）22σ2=（2πσ2）-n2e-12σ2∑ni=1（xi-μ）2，

取對數(shù)得對數(shù)似然函數(shù)為

ln L（μ）=-n2ln（2πσ2）-12σ2∑ni=1（xi-μ）2，所以對數(shù)似然方程為dln L（μ）dμ=1σ2∑ni=1（xi-μ）=0，

解得

μ^=1n∑ni=1xi=x-，

由

d2ln L（μ）dμ2=-nσ2<0

知μ^=x-是對數(shù)似然函數(shù)的最大值點，因而x-是μ的最大似然估計值.

教師通過對例題1的詳細講解，帶領學生熟悉求解最大似然估計值的一般步驟，加深對新知識的理解.這一教學環(huán)節(jié)開發(fā)了學生的數(shù)學智慧，培養(yǎng)了學生的課堂參與意識和創(chuàng)新意識.

5.實戰(zhàn)演練.

課堂練習是課堂教學活動的一個重要環(huán)節(jié)，以學生演練為主，教師講解為輔，教師將學習主動權最大限度地還給學生，充分發(fā)揮學生的主體地位.學生通過動手練習可以更深入地理解理論知識，切身體會數(shù)學的思想方法，體會學習知識的快樂，從而提高學習效率.教育理論家曾明確指出，“最有效的學習方法就是讓學生在體驗和創(chuàng)造的過程中學習”.對于最大似然估計法的演練教學部分，教師從例題1出發(fā)，將問題延伸到兩個未知參數(shù)的最大似然估計值（例2），啟發(fā)學生通過類比的思想親自動手演練，體會其中的異同.

例2 設總體X服從正態(tài)分布

f（x）=12πσe-（x-μ）22σ2，

其中μ，σ2是未知參數(shù)，x1，x2，…，xn為樣本的一組觀測值，求參數(shù)μ，σ2的最大似然估計值.

解 似然函數(shù)為

L（μ，σ2）=∏ni=112πσe-（xi-μ）22σ2=（2πσ2）-n2e-12σ2∑ni=1（xi-μ）2，

取對數(shù)得對數(shù)似然函數(shù)為ln L（μ，σ2）=-n2ln（2πσ2）-12σ2∑ni=1（xi-μ）2，所以對數(shù)似然方程組為

ln L（μ，σ2）μ=∑ni=1（xi-μ）σ2=0，ln L（μ，σ2）σ2=-n2σ2+∑ni=1（xi-μ）22σ4=0，解得

μ^=1n∑ni=1xi=x-，σ^2=1n∑ni=1（xi-x-）2.

學生通過動手演練，體會到了單參數(shù)和多參數(shù)最大似然估計的異同，不僅鍛煉了學生獨立思考的能力，還錘煉了學生的總結概括能力.上面例題解決了單參數(shù)和多參數(shù)的最大似然估計問題，那么未知參數(shù)函數(shù)的最大似然估計值又如何求解呢？給出如下例題：

例3 設總體X服從正態(tài)分布

f（x）=12πσe-（x-μ）22σ2，

其中σ2是已知參數(shù)，μ是未知參數(shù)，x1，x2，…，xn為樣本的一組觀測值，求參數(shù)μ的函數(shù)g（μ）=1μ的最大似然估計值.

教師先鼓勵學生根據(jù)例題1的結果猜想本題的答案，學生一般都能給出結果，但不知道是否正確，教師可以給出如下最大似然估計的性質：

最大似然估計的不變性 設參數(shù)θ的函數(shù)u=u（θ），θ∈Θ具有單值反函數(shù)，又假設θ^是總體X的概率分布中參數(shù)θ的最大似然估計，則u^=u（θ^）是u（θ）的最大似然估計.

解 由例1知，參數(shù)μ的最大似然估計值為μ^=x-，根據(jù)最大似然估計的不變性，g（μ）=1μ的最大似然估計值為

g（μ^）=1μ^=1x-.

由單個未知參數(shù)最大似然估計的求解，類比到兩個未知參數(shù)最大似然估計的求解，再進一步延伸到涉及最大似然估計不變性的未知參數(shù)函數(shù)的估計問題，以問題為導向，在層層遞進的演練中，引導學生的創(chuàng)新思維，使學生更加深刻地理解理論知識.這一教學過程讓學生親自動手演練，鍛煉了學生獨立解決問題的能力，鞏固了課堂教學效果，提高了教學效率.

6.提高升華.

為更好地理解新授知識，在教學活動的最后，教師應提出幾個富有啟發(fā)性的問題，引導學生探索新知，更深層次地啟發(fā)學生的求知欲.關于最大似然估計法，教師可設計如下幾個思考題：

（1）如果似然函數(shù)沒有駐點或者不可導，如何求解未知參數(shù)的最大似然估計值？

（2）未知參數(shù)的極大似然估計值一定存在嗎？

（3）當總體未知參數(shù)的極大似然估計值存在時，是否唯一？

學生有了一定的知識積累后，教師可啟發(fā)學生積極主動地獨立思考以上問題，爭取自己給出結論.最后，教師結合學生的課堂反饋情況借助PPT進一步解釋其中的緣由，加深對最大似然原理的理解，分別給出如下兩個例題.

例4 設某種燈泡的使用壽命X的概率密度函數(shù)為

f（x）=2e-2（x-θ），x≥θ，0，x<θ，

其中θ>0為未知參數(shù)，x1，x2，…，xn為樣本的一組觀測值，求參數(shù)θ的最大似然估計值.

解 似然函數(shù)為

L（θ）=2ne-2∑ni=1（xi-θ），xi≥θ（i=1，2，…，n），0，其他，

當xi≥θ時，L（θ）>0，取對數(shù)得對數(shù)似然函數(shù)為

ln L（θ）=nln 2-2∑ni=1（xi-θ），

因為dln L（θ）dθ=2n>0，所以似然函數(shù)L（θ）關于參數(shù)θ是單調遞增的函數(shù)，根據(jù)最大似然原理，當參數(shù)θ取到最大值時，似然函數(shù)L（θ）達到最大，而θ必須滿足θ≤xi（i=1，2，…，n），因此當θ取x1，x2，…，xn中的最小值時，L（θ）取最大值，由此知θ的最大似然估計值為

θ^=min（x1，x2，…，xn）.

本題出現(xiàn)了對數(shù)似然函數(shù)無駐點的情況，dln L（θ）dθ=2n>0，教師要引導學生注意本題的特殊性，強調當似然函數(shù)無駐點時應用極大似然原理解決，對似然函數(shù)或對數(shù)似然函數(shù)求導數(shù)只是尋求最大似然估計值的一種策略，而不是必須的步驟.

例5 設總體X的概率密度函數(shù)為

f（x）=1，θ-12≤x≤θ+12，0，其他，

其中θ是未知參數(shù)，x1，x2，…，xn是一組樣本觀測值，求參數(shù)θ的最大似然估計值.

解 似然函數(shù)為

L（θ）=1，θ-12≤xi≤θ+12（i=1，2，…，n），0，其他，

根據(jù)最大似然原理，當θ-12≤xi≤θ+12（i=1，2，…，n），

即x（n）-12≤θ≤x（1）+12時這里x（1）=min（x1，x2，…，xn），x（n）=max（x1，x2，…，xn），似然函數(shù)最大為1，所以所有滿足不等式

x（n）-12≤θ≤x（1）+12的估計值θ^都可以作為θ的最大似然估計值.而當x（n）-12>x（1）+12時，參數(shù)θ的最大似然估計值不存在.

此例題說明總體未知參數(shù)的最大似然估計值不總是存在.

教師在這一教學環(huán)節(jié)中引導學生開拓了思路，留給了學生充分的獨立思考空間，體現(xiàn)了啟發(fā)式教學的主動性.

整個課堂教學始終貫徹啟發(fā)式教學的思想，這種啟發(fā)式教學模式既保留了傳統(tǒng)教學中知識講解的系統(tǒng)性，又貫徹了“以學生為中心”的教學理念，充分發(fā)掘了學生的積極思維，把課堂還給學生.

三、結 論

最大似然估計法具有一定的抽象性，因此教師為提高教學效果，應將啟發(fā)式教學思想融入課堂活動的始終，充分調動學生學習的主動性，啟發(fā)學生的積極思維，讓學生親自動手演練，真正參與課堂.這種教學設計不僅鍛煉了學生獨立思考問題的能力，而且培養(yǎng)了學生獨立解決問題的能力，有助于學生的全面發(fā)展.

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