李璟瀾,楊秦敏

(浙江大學控制科學與工程學院, 杭州 310027)

0 引言

研制低成本、高可靠、高效率的運載器一直是航天界追求的目標[1]。實現(xiàn)運載火箭各子級的無損回收，從而通過重復使用來分攤運載火箭的發(fā)射成本，是可行的技術途徑之一[2]。目前，SpaceX公司Falcon 9系列火箭的多次成功回收，也再次證明了垂直起降重復使用模式的可行性[3-4]。

垂直著陸段的姿態(tài)控制是可重復使用火箭的關鍵技術?？紤]火箭子級返回過程中，其姿態(tài)角和角速度呈現(xiàn)復雜的非線性耦合特性，且存在氣動參數(shù)偏差、嚴重環(huán)境干擾以及火箭自身燃料變化引起的重心和轉動慣量變化等，經(jīng)典控制方法往往難以保證控制系統(tǒng)的精度和穩(wěn)定性。因此，需要設計更為先進的控制系統(tǒng)以滿足火箭垂直返回段姿態(tài)跟蹤的性能需求。

周軍等[5]考慮彈性振動和液體晃動為外界干擾，采用魯棒觀測器設計了運載火箭的姿態(tài)控制系統(tǒng)。薛宇等[6]考慮參數(shù)不確定性和外部干擾，采用魯棒控制理論設計火箭姿控系統(tǒng)，仿真結果表明，對參數(shù)不確定性具有良好的魯棒性。趙黨軍等[7]將自抗擾控制思想與微分代數(shù)結合，提出了一種新的自抗擾姿態(tài)控制器方法，提高了運載火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)的可靠性，但其使用的算法模型依然為標稱軌跡下的小偏差線性化模型。此外，動態(tài)逆控制[8]、滑模控制[9]、神經(jīng)網(wǎng)絡控制[10]和魯棒增益調度控制[11]等方法也被用于解決運載火箭姿態(tài)系統(tǒng)的穩(wěn)定控制問題，但這些工作大多針對運載火箭發(fā)射、大推力入軌和在軌飛行階段進行研究，較少分析運載火箭垂直著陸段的模型特性和性能需求。錢默抒等[12]針對運載火箭一子級垂直著陸前的姿態(tài)調整階段，提出了一種基于滑模動態(tài)面控制技術的垂直回收控制策略，可實現(xiàn)姿態(tài)角的非線性跟蹤控制。

本文將針對火箭一子級垂直著陸段的姿態(tài)控制問題展開研究，提出一種帶預設性能的姿態(tài)自適應控制策略，能夠有效地解決外界環(huán)境干擾、參數(shù)不確定性以及系統(tǒng)未知動態(tài)對系統(tǒng)的影響。該控制策略中，引入了誤差轉換技術，在對姿態(tài)角跟蹤誤差進行系統(tǒng)變換后設計自適應控制律，可滿足用戶預設的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能需求，進一步提高了運載火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)的可靠性和控制精度。

本文內容安排如下：第一節(jié)建立了垂直著陸段火箭的姿態(tài)動力學模型；第二節(jié)引入了誤差轉換技術，基于神經(jīng)網(wǎng)絡和自適應方法設計了帶預設性能的姿態(tài)自適應控制系統(tǒng)，并通過Lyapunov理論完成了對閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析；第三節(jié)通過開展數(shù)值仿真實驗，充分驗證了本文提出的控制方法的有效性和強魯棒性。

1 火箭姿態(tài)動力學模型

定義箭體坐標系為Oxyz，坐標原點O為火箭質心,z軸為箭體外殼對稱軸，方向沿箭體軸指向火箭頭部，與x，y軸構成右手直角坐標系。考慮運載火箭為剛性箭體，其姿態(tài)動力學方程可表示為

(1)

(2)

式中，sηsinη,cηcosη,tηtanη。τ∈R3為火箭柵格舵產(chǎn)生的控制力矩；M(T,δx,δy)為尾部發(fā)動機推力矢量作用下產(chǎn)生的箭體偏轉力矩，在本文中假設偏轉力矩與發(fā)動機推力大小T、發(fā)動機擺角δx和δy成函數(shù)關系；同時，火箭飛行過程中燃料消耗和貯箱液體晃動等因素將引起火箭箭體轉動慣量的變化，記為ΔJ，其對應產(chǎn)生的攝動力矩可表示為MΔJ；Mext為氣流速度引起的氣動力矩，考慮飛行環(huán)境中普遍存在不可測的風速干擾，該氣動力矩視作未知環(huán)境干擾。為方便表示，可定義dMΔJ+Mext為總未知干擾力矩。

2 火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)設計

2.1 控制目標描述

本文的目的在于設計一種帶預設性能的自適應控制算法，在未知環(huán)境干擾和未建模系統(tǒng)動態(tài)同時存在的情況下，實現(xiàn)對火箭垂直著陸段飛行過程中期望姿態(tài)角ηd=[φd,θd,ψd]T的高精度跟蹤；同時，為保證飛行安全，火箭姿態(tài)角將始終被限制在預設的運行范圍內，表示為

(3)

假設2期望姿態(tài)角軌跡ηd=[φd,θd,ψd]T和預設的姿態(tài)角上下界已知，均為關于時間連續(xù)可導的光滑函數(shù)。

2.2 誤差轉換

定義姿態(tài)角跟蹤誤差為

eη[eφ,eθ,eψ]T=η-ηd

(4)

結合式(3)可得到

(5)

為實現(xiàn)預設的控制性能，本文引入誤差轉換技術將上述原始的受約束跟蹤誤差信號(約束誤差信號需保持在預設的誤差上下界內)轉換為一個新的不受約束的誤差信號。誤差轉換函數(shù)可表示為

(6)

式中，si∈R為轉換后誤差，Zi(·):R×R×R→R為用戶自定義的隨ei嚴格遞增的光滑函數(shù)，即?si/?ei>0。同時，該函數(shù)滿足

(7)

可以判斷，若轉化后的誤差si有界，則原始誤差ei有界，且始終維持在預設的誤差域內。因此，上述控制目標轉化為尋找合適的控制律，以保證誤差信號si是有界的。

本文中，選取如下誤差轉換函數(shù)

(8)

式中，ln(·)為自然對數(shù)函數(shù)，Z0∈R+為正實數(shù)。

接下來，需要進一步獲取經(jīng)轉換后新的誤差動態(tài)?？倢懯?6)為

(9)

并進行如下定義

(10)

接著，對公式(9)中的姿態(tài)轉換誤差依次求時間微分可得到

(11)

式中

(12)

進一步對式(11)求時間微分有

(13)

式中

(14)

類似的，上述公式中Mη1和Mη2可通過計算得到。

接著，定義濾波跟蹤誤差為

(15)

式中，λη∈R+為正實數(shù)。

結合式(1)求解上述濾波跟蹤誤差rη的時間微分，可得到

(16)

2.3 神經(jīng)網(wǎng)絡補償器

針對火箭姿態(tài)動力學(1)中的未知系統(tǒng)動態(tài)M(T,δx,δy)，本文引入一個三層的神經(jīng)網(wǎng)絡加以補償。神經(jīng)網(wǎng)絡的輸出可表示為

(17)

M(T,δx,δy)=W*Tφ(VTX)+ε

(18)

式中，W*∈Rn×3為輸出層的理想權重矩陣，ε為對應的函數(shù)逼近誤差。如果隱含層的權重隨機初始化并且在隨后的學習過程中保持不變，通過增加隱含層節(jié)點個數(shù)n，可使得逼近誤差ε足夠小。此外，考慮隱含層權重V在學習過程中保持不變，在下文的敘述中將予以省略。

2.4 姿態(tài)控制器設計

本文針對運載火箭垂直著陸段飛行的自適應姿態(tài)控制器設計為

(19)

(20)

(21)

(22)

式中，μ∈R+為正實數(shù)。

本文所設計的姿態(tài)控制算法的穩(wěn)定性由以下定理給出。

定理1考慮公式(1)所描述的運載火箭垂直著陸段姿態(tài)動力學模型，當假設1～3成立時,如果選擇姿態(tài)控制器(19)，以及自適應律(20)和(22)，可以保證姿態(tài)角跟蹤誤差eη漸進趨于零點，且閉環(huán)系統(tǒng)其他信號始終有界。

證明：構造Lyapunov函數(shù)為

(23)

對V求時間微分可得到

(24)

將公式(16)和(18)代入式(24)有

(25)

接著，代入姿態(tài)控制器(19)，式(25)可寫作

(26)

考慮下式始終成立

(27)

則公式(26)可計算為

(28)

進一步，將自適應律(22)代入式(28)，得到

(29)

對式(29)兩邊同時取時間積分有

(30)

3 仿真驗證

3.1 仿真參數(shù)設置

仿真中采用的運載火箭總體參數(shù)如表1所示。

表1 仿真參數(shù)

垂直著陸段飛行的各初始姿態(tài)角選擇如下

φ(0)=31.51°,θ(0)=20.05°,ψ(0)=2.86°ωx(0)=ωy(0)=ωz(0)=0(rad/s)

(31)

仿真中姿態(tài)控制器各控制參數(shù)選擇為

k=200,k1=k2=λη=2,μ=300

(32)

待更新參數(shù)初始值設置為

(33)

未知氣動干擾力矩在仿真中設定為

Mext=104×

[sin(0.1πt),sin(0.2πt),cos(0.1πt)]T(N·m)

(34)

垂直著陸段飛行中的慣性參數(shù)攝動為

(35)

尾部發(fā)動機推力矢量作用下產(chǎn)生的偏轉力矩假定為

M(T,δx,δy)=

T[-sin(δx),sin(δy)cos(δx),0]T(N·m)

(36)

為充分驗證所設計的姿態(tài)自適應控制算法的有效性，本文將給出上述外部干擾和未知系統(tǒng)動態(tài)均存在下的火箭垂直著陸段的姿態(tài)跟蹤控制仿真。

3.2 仿真結果和分析

考慮未知氣動干擾力矩Mext、發(fā)動機推力矢量帶來的未知偏轉力矩M(T,δx,δy)以及燃料消耗帶來轉動慣量變化ΔJ引起的干擾力矩同時存在于運載火箭垂直著陸段的飛行過程中。分別設計PD控制器和上文中自適應控制器，在給定參考姿態(tài)軌跡和預設控制性能下，各姿態(tài)角響應曲線如圖1～圖3所示。

圖1 時間-滾轉角變化曲線Fig.1 Time history of roll angle

圖2 時間-俯仰角變化曲線Fig.2 Time history of pitch angle

圖3 時間-偏航角變化曲線Fig.3 Time history of yaw angle

由各姿態(tài)角隨時間的響應曲線可知，在外部干擾、模型不確定性同時存在的情況下，相比于PD控制器，本文提出的自適應控制方法能在短時間內實現(xiàn)對預定姿態(tài)軌跡的穩(wěn)定跟蹤，具有更強的魯棒性。同時，通過自定義姿態(tài)角跟蹤誤差的的上、下界，可使得姿態(tài)軌跡始終處于預設范圍內，而PD控制器下則無法實現(xiàn)該性能。本文所設計的帶預設性能的姿態(tài)控制器一方面可以用于改善火箭姿態(tài)控制系統(tǒng)的瞬態(tài)響應性能，另一方面可以保證其穩(wěn)態(tài)性能。以本文的仿真算例為例，通過預設姿態(tài)角跟蹤誤差的上、下界函數(shù)，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差將始終小于0.3°，這充分顯示出本文設計的自適應姿態(tài)控制算法的高穩(wěn)態(tài)精度。

4 結論

針對可重復使用運載火箭復雜非線性和強不確定性等動力學特性，基于自適應控制技術設計了火箭垂直著陸段飛行的姿態(tài)控制方法。同時，引入誤差轉換技術，實現(xiàn)用戶預設的控制性能。研究表明，本文設計的帶預設性能的自適應控制算法能實現(xiàn)對預定姿態(tài)軌跡的穩(wěn)定跟蹤，閉環(huán)系統(tǒng)具有良好的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能，且對外部干擾和模型不確定性具有強適應性。