王常慶

(新疆阿勒泰地區(qū)第一高級中學，836500)

在高中階段我們學習圓錐曲線時，對“圓錐被不同的平面切割而獲得不同的圓錐曲線”的理解往往比較抽象,教材又沒有給出系統(tǒng)的證明,對學生的學習有一定的困擾.課堂教學中是否有更直觀、更容易操作的模型來刻畫圓錐曲線的來源及其不同形式呢?

在實踐中我們發(fā)現(xiàn),放置于桌面上的球,在手電筒的照射下,其投影會隨手電筒的位置變換呈現(xiàn)不同的形狀,有圓形,有橢圓形,也有非封閉曲線.這些投影會是真正的圓錐曲線嗎,如何證明?對光源的位置有何要求?下面我們就來揭開它神秘的面紗.

如圖1,設S為點光源,在S的照射下,球O在平面α上的投影的輪廓線為曲線L.從S發(fā)出的所有與球O相切的光線恰好形成一圓錐的側面,球O剛好內切于該圓錐.球O與光線的所有切點剛好形成一個封閉的圓,記作⊙O1[1].

易知,當S在球O的正上方時,曲線L是一個圓.下面重點探究S不在球O的正上方時的情形.

當點光源S不在球O的正上方時,⊙O1所在平面β必與平面α相交,設α∩β=l,球O與平面α相切于點F,當球O大小及點S位置固定時,l為定直線,F為定點.SO1⊥β,OF⊥α.又設SO交α于點Q,則l⊥面O1QF(S，O1，O，Q，F(xiàn)共面).在投影輪廓線L上任取一點P,過點定P作PH⊥β于點H,此時PH∥SO;又作PK⊥l于點K,連結PS交⊙O1于點A.連結HK，HA,則?PHK，?PHA均為直角三角形，且∠KPH=∠SQF，∠SPH=∠PSQ,其中∠SQF，∠PSQ分別表示平面α與圓錐軸線所成的角和圓錐的半頂角,分別記作θ1和θ2(均為銳角)即∠KPH=∠SQF=θ1,∠SPH=∠PSQ=θ2.

因為PF，PA均為球O的切線,所以

|PF|=|PA|.

①

又在Rt?PHK中，有|PH|=|PK|·cos∠KPH；在Rt?PHA中,|PH|=|PA|·cos∠APH.故

②

另設⊙O1上距平面α最遠點為M,最近點為N(圖1),則MN?面OQF,且∠MSO=θ2,∠SQF=θ1.所以,當θ1=θ2時,曲線L表示拋物線,SM∥QF,此時,點光源S距平面α高度恰等于球O直徑;同理,當θ1>θ2,曲線L表示橢圓,點光源S距平面α高度大于球O直徑;當θ1<θ2,曲線L表示雙曲線(一支),點光源S距平面α高度小于球O直徑.