張亞莉
(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 蘭州 730070)
1 引言及主要結(jié)果
三階常微分方程邊值問題在流體力學(xué),生物學(xué)和天文學(xué)等學(xué)科中的應(yīng)用日益廣泛,逐漸引起了許多學(xué)者的關(guān)注。對其正解存在性的研究,目前已有一些結(jié)果[1-8]。特別地,在文獻(xiàn)[1]中,Yao和Feng運(yùn)用上下解方法研究了三階兩點(diǎn)邊值問題
(1)
在f:[0,1]×R→R連續(xù)且滿足一定條件的情況下,證明了問題(1)至少存在一個(gè)正解。在文獻(xiàn)[2]中,Torres運(yùn)用錐拉伸與壓縮不動(dòng)點(diǎn)定理研究了非線性項(xiàng)f滿足超線性與次線性情形時(shí),三階三點(diǎn)邊值問題
(2)
值得注意的是文獻(xiàn)[1-2]雖然獲得了解的存在性結(jié)果,但由于所用工具的局限,并沒有得到關(guān)于正解集全局結(jié)構(gòu)的任何信息?；诖?本文運(yùn)用Rabinowitz全局分歧定理獲得
(3)
正解解集的全局結(jié)構(gòu),其中r是一個(gè)正參數(shù)。若問題(2)中α=0，a(t)=1,此時(shí)問題(2)可退化為問題(1);若問題(3)中r=1,問題(3)可退化為問題(2),因此本文改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[1-2]中的結(jié)果。
本文總假定：
(H1)a:[0,1]→[0,∞)連續(xù),且在[0,1]的任意子區(qū)間上不恒為0；
(H2)f:[0,1]×[0,∞)→[0,∞)連續(xù)且f(t,0)=0；
記λ1是線性特征值問題
(4)
的一個(gè)主特征值,φ1是λ1對應(yīng)的非負(fù)特征函數(shù)。
本文主要結(jié)果如下：
定理1.1設(shè)條件(H1)—(H3)成立。假設(shè)下列條件之一成立：
推論1.2設(shè)條件(H1)—(H3)成立。假設(shè)下列條件之一成立：
則問題(3)至少存在一個(gè)正解。
2 預(yù)備知識(shí)
引理2.1[10](Rabinowitz全局分歧定理)設(shè)是Banach空間,考慮如下方程
x=μLx+N(μ,x),μ∈R,x∈E,
(5)
假定：
(A1)算子L:E→E為線性緊算子；
記C(μ0)為方程(5)的非平凡解集的閉包中包含點(diǎn)(μ0,0)的連通分支,則下列兩種情形之一出現(xiàn)：
(i)C(μ0)無界；
引理2.2[11](Krein-Rutman定理)設(shè)是Banach空間,K?X是一個(gè)錐且滿足K0≠?。設(shè)T∈L(E)是一個(gè)緊的強(qiáng)正算子,則T譜半徑r(T)>0,r(T)是T的一個(gè)具有正特征函數(shù)φ∈K0的簡單特征值,并且再?zèng)]有T其他正特征值。
引理2.3令αη≠1，h∈C[0,1],則線性問題
(6)
證明應(yīng)用常數(shù)變易法,令
u(t)=c1(t)+c2(t)t+c3(t)t2,
所以
于是
則
u(0)=c1(0)。
結(jié)合邊界條件u(0)=0,u′(0)=u′(1)=αu(η)可得
c1(0)=0。
所以經(jīng)過整理可得
證明顯然g(t,s)≥0,則G(t,s)≥0,而h∈C+[0,1],所以問題(6)的解u(t)是非負(fù)的。
若ts,顯然g(t,s)
若t≥s，一方面,
另一方面,
綜合上式不等式可得
以及
因此
定義錐
定義算子Tr:P→Y
引理2.5假設(shè)(H1)和(H2)成立。則Tr:P→P是全連續(xù)算子。
證明若u∈P,則
≥σ2‖Tru‖0，
因此
所以,TrP?P。顯然Tr:P→P是全連續(xù)算子。
引理2.6假設(shè)(H1)成立。則線性特征值問題(4)存在一個(gè)主特征值λ1>0且是簡單的,其對應(yīng)的特征函數(shù)φ1∈Y同樣為正。
記Ke=Ye∩K={u∈K|?ρ>0,uρe}。
則由文獻(xiàn)[9]性質(zhì)19.9知：
(a)Ke?Ye是一個(gè)正規(guī)錐；
(b)(Ye,‖u‖e)是一個(gè)Banach空間,并且連續(xù)嵌入(Y,‖.‖0)。
注意到,假設(shè)u∈Ye,若u∈intKe當(dāng)且僅當(dāng)對某些ρ>0,有u≥ρe成立。
接下來考慮算子T:K→Y
取
因?yàn)?/p>
=λ‖u‖0βt，
所以-λ‖u‖0βtTu(t)λ‖u‖0βt,u∈Y,則T(Y)?Ye,結(jié)合事實(shí)(E,‖.‖)緊嵌入(Ye,‖.‖e)和T:(Y,‖.‖0)→E是緊的可以推斷出T:(Y,‖.‖0)→(Ye,‖.‖e)是緊的,而Ye?Y所以有T:(Ye,‖.‖e)→(Ye,‖.‖e)是緊的。
我們宣稱T:(Ke,‖.‖e)→(Ke,‖.‖e)是強(qiáng)正的,即T(Ke
