姜曉晴

（安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 金融學(xué)院，安徽 蚌埠233030）

一、引言

自2015年2月上證50ETF期權(quán)上市，中國進(jìn)入期權(quán)時代至今已逾5年，滬深300ETF期權(quán)也于2019年12月上市交易。期權(quán)作為重要的避險(xiǎn)工具，對于社會經(jīng)濟(jì)和金融市場的穩(wěn)定發(fā)展都具有重要意義，同時為投資者提供了更多套利和投機(jī)的選擇。中國期權(quán)市場處于發(fā)展初期，期權(quán)種類和數(shù)量處在增長階段，越來越多的投資者將目標(biāo)轉(zhuǎn)向期權(quán)產(chǎn)品。期權(quán)的合理定價(jià)對發(fā)揮期權(quán)對沖風(fēng)險(xiǎn)的作用十分重要。

相比中國期權(quán)市場的初步發(fā)展，部分發(fā)達(dá)國家期權(quán)市場已經(jīng)過一個多世紀(jì)的發(fā)展，有著較為成熟和完善的期權(quán)市場和相應(yīng)的定價(jià)機(jī)制。其中最著名的是Black和Scholes提出的B-S模型，模型假定期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從廣義維納過程，即存在不變的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率波動率[1]。B-S模型作為首個期權(quán)定價(jià)模型一度被應(yīng)用于期權(quán)定價(jià)，后逐漸應(yīng)用于更多的領(lǐng)域，直到現(xiàn)在仍有著廣泛的應(yīng)用。B-S 模型雖有著廣泛的應(yīng)用，但由于較為嚴(yán)苛的市場假設(shè)，模型往往與實(shí)際不符，在應(yīng)用中存在較大的定價(jià)誤差以及“波動率微笑”現(xiàn)象。因而其后不斷有學(xué)者提出更加符合實(shí)際市場的假設(shè)條件，在B-S模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行拓展，建立新的期權(quán)定價(jià)模型。其中由Cox和Ross提出的CEV（常方差彈性）模型[2]，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格收益率波動率隨標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變動，這使得CEV模型較B-S模型更貼近現(xiàn)實(shí)，許多研究也證實(shí)了這一點(diǎn)，研究發(fā)現(xiàn)相較B-S模型，CEV模型在定價(jià)方面實(shí)現(xiàn)了明顯的改進(jìn)。在CEV模型提出的初期，國外一些學(xué)者對CEV模型與B-S模型就期權(quán)定價(jià)表現(xiàn)進(jìn)行了大量的比較研究，近些年CEV 模型在期權(quán)定價(jià)方面的應(yīng)用較少。MacBeth 和Merville采用B-S模型和CEV模型對芝加哥交易所上市的6只看漲期權(quán)定價(jià)，發(fā)現(xiàn)CEV模型較B-S模型具有更低的定價(jià)誤差[3]。Noreen和Wolfson基于改進(jìn)的CEV模型——平方根CEV模型[4]，并B-S模型對紐約證券交易所和美國證券交易所上市的52只權(quán)證定價(jià)，發(fā)現(xiàn)兩種模型在定價(jià)表現(xiàn)上沒有明顯差別。Lauter和Schuhi同樣選取紐約證券交易所和美國證券交易所上市的39只權(quán)證數(shù)據(jù)，基于平方根CEV模型和稀釋調(diào)整的B-S模型定價(jià)，研究發(fā)現(xiàn)平方根CEV模型較B-S模型定價(jià)表現(xiàn)更優(yōu)[5]。Hauser和Lauterbachi選取紐約證券交易所和美國證券交易所上市的29 只權(quán)證數(shù)據(jù)，在5 個模型的定價(jià)對比中發(fā)現(xiàn)，CEV 模型定價(jià)表現(xiàn)最好[6]。然而，適用于發(fā)達(dá)國家期權(quán)市場的定價(jià)模型未必適用于中國期權(quán)市場。叢明舒分析認(rèn)為中國期權(quán)市場發(fā)展階段、交易參與主體、交易限制等均與發(fā)達(dá)國家有顯著差異[7]，2018年中國期貨產(chǎn)品在上海國際能源交易中心上市，首次與國際接軌，中國期權(quán)交易相對地獨(dú)立于國際市場，借助國內(nèi)期權(quán)數(shù)據(jù)有利于分析中國金融市場所具有的獨(dú)特特征，同時要尋找更精確更適合中國期權(quán)市場的定價(jià)方法，還需要針對中國期權(quán)市場特征進(jìn)行分析和實(shí)證研究。

中國期權(quán)的出現(xiàn)較晚，首只期權(quán)產(chǎn)品（上證50ETF期權(quán)）在2015年2月上市交易，而中國權(quán)證市場的出現(xiàn)是在2005年8月，期權(quán)或權(quán)證定價(jià)研究往往要基于一定的現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)，以至于國內(nèi)對期權(quán)定價(jià)方法的研究起步較晚，現(xiàn)有研究成果較少。國內(nèi)外大多數(shù)期權(quán)定價(jià)模型均是在B-S模型基礎(chǔ)上發(fā)展而來，而國內(nèi)對期權(quán)或權(quán)證定價(jià)的諸多研究中，大多與B-S模型進(jìn)行比較。吳鑫育等采用B-S模型和CEV模型對滬深交易所上市的55只權(quán)證定價(jià)，發(fā)現(xiàn)B-S模型較CEV模型對中國權(quán)證市場有更好的定價(jià)表現(xiàn)[8]；王茵田等在B-S模型的假設(shè)基礎(chǔ)上加以拓展，建立基于跳躍的NGARCH模型對中國權(quán)證市場53只權(quán)證數(shù)據(jù)定價(jià)[9]；任玉超等選取上交所和香港交易所的仿真交易數(shù)據(jù)和8只歐式期權(quán)日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，基于Possion跳躍擴(kuò)散（JD）模型與B-S模型進(jìn)行定價(jià)的比較分析[10]；何曉斌等研究隨機(jī)波動率定價(jià)模型與B-S模型對歐式和美式期權(quán)定價(jià)表現(xiàn)的優(yōu)異[11]。在2015年上證50ETF期權(quán)推出之后，國內(nèi)不斷出現(xiàn)基于上證50ETF期權(quán)展開的研究。許桐桐等研究發(fā)現(xiàn)上證50ETF期權(quán)能夠較好地發(fā)揮其市場作用，意味著上證50ETF期權(quán)交易數(shù)據(jù)具有重要研究價(jià)值[12]；吳鑫育等在微觀結(jié)構(gòu)噪聲對期權(quán)定價(jià)存在影響與否的不同情形下，構(gòu)建非仿射隨機(jī)波動率模型，對上證50ETF 進(jìn)行了定價(jià)[13]；方艷等采用蒙特卡羅模擬方法，結(jié)合B-S-M（風(fēng)險(xiǎn)中性或鞅表示的B-S）模型對上證50ETF 期權(quán)定價(jià)，發(fā)現(xiàn)定價(jià)表現(xiàn)上較傳統(tǒng)B-S 模型有明顯改進(jìn)[14]；郝夢和杜子平基于結(jié)合廣義雙曲分布的GARCH模型對上證50ETF期權(quán)定價(jià)，發(fā)現(xiàn)定價(jià)效果均優(yōu)于結(jié)合高斯分布的GARCH模型和B-S模型[15]；楊興林和王鵬在時變波動率下基于廣義學(xué)生t分布和Edgeworth Expansion漸進(jìn)分布構(gòu)建的期權(quán)定價(jià)模型對上證50ETF期權(quán)定價(jià)[16]；吳鑫育等基于對數(shù)隨機(jī)波動率模型對上證50ETF期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，較傳統(tǒng)B-S模型有著更低的定價(jià)誤差[17]；吳鑫育等考慮時變風(fēng)險(xiǎn)厭惡，基于隨機(jī)波動率構(gòu)建期權(quán)定價(jià)模型，發(fā)現(xiàn)時變風(fēng)險(xiǎn)厭惡下的期權(quán)定價(jià)模型對上證50ETF期權(quán)的定價(jià)表現(xiàn)有明顯改善[18]；瞿慧和何佳諾構(gòu)建了已實(shí)現(xiàn)波動率模型研究上證50ETF期權(quán)定價(jià)問題，定價(jià)模型基于已實(shí)現(xiàn)波動率的拓展對期權(quán)模型定價(jià)表現(xiàn)有顯著改善[19]。

在以往對上證50ETF期權(quán)的定價(jià)研究中，沒有考慮到常方差彈性假定對上證50ETF期權(quán)定價(jià)是否存在改進(jìn)作用?；贐-S模型收益率波動率不變假設(shè)不符合現(xiàn)實(shí)，本文采用逐日校準(zhǔn)的方法分別估計(jì)B-S模型和CEV模型參數(shù)，以捕捉資產(chǎn)收益率波動率的時變特征。估計(jì)參數(shù)過程中考慮資產(chǎn)收益率短期波動與長期波動相近，首先選取2015 年1 月至2018 年12 月上證50ETF 期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)日收盤價(jià)，估計(jì)模型參數(shù)作為初值；其次采用極大似然法對模型參數(shù)進(jìn)行逐日校準(zhǔn)，選取2019年1月1日至2019年11月29日每周三、周四共90個交易日數(shù)據(jù)分別用于樣本外、樣本內(nèi)定價(jià)分析；再根據(jù)模型參數(shù)計(jì)算得到期權(quán)價(jià)格，進(jìn)而計(jì)算定價(jià)誤差。最后對定價(jià)結(jié)果進(jìn)行比較分析。

二、期權(quán)定價(jià)模型與定價(jià)效果評價(jià)指標(biāo)

（一）B-S模型與CEV模型

B-S模型由Black和Scholes提出[1]，模型假定期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從廣義維納過程：ds=μS+σSdz

其中S 為標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格，模型包含兩個參數(shù)μ 和σ，z 服從標(biāo)準(zhǔn)的布朗運(yùn)動，r 為無風(fēng)險(xiǎn)利率。上證50ETF期權(quán)屬于歐式期權(quán)，基于B-S模型的歐式看漲期權(quán)價(jià)格由下式給出：

類似的，歐式看漲期權(quán)價(jià)格由下式給出：

由于B-S模型較為嚴(yán)苛的假定條件與市場不符，在實(shí)際應(yīng)用中往往存在較大的定價(jià)誤差，Cox和Ross提出的CEV（不變方差彈性）模型是在B-S模型的基礎(chǔ)上，假設(shè)資產(chǎn)收益的波動率與資產(chǎn)價(jià)格存在一定的相關(guān)關(guān)系[2]。CEV模型假定期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從如下過程：

模型包含三個參數(shù)m、σ 和ρ，其中ρ ＞0，z 是標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。CEV模型歐式看漲期權(quán)價(jià)格由下式給出：

（二）定價(jià)表現(xiàn)評價(jià)指標(biāo)

選取定價(jià)均方根誤差（RMSE）作為模型評價(jià)指標(biāo)，計(jì)算公式如下：

三、數(shù)據(jù)選取與處理

（一）期權(quán)數(shù)據(jù)

上證50ETF期權(quán)數(shù)據(jù)選取2019年1月1日至2019年11月29日每周三共45個交易日5 743個交易數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來源于國泰安，包括期權(quán)日收盤價(jià)、執(zhí)行價(jià)、交易日期和到期日），考慮到標(biāo)的資產(chǎn)收益波動率的時變特征，需要分別對B-S和CEV兩個定價(jià)模型進(jìn)行45次校準(zhǔn)。由于到期期限較短的期權(quán)易受到投機(jī)者行為的影響，將到期期限小于7天期權(quán)數(shù)據(jù)作為異常值去除。

為分析不同到期期限（τ=T-t）和貨幣性（M：看漲期權(quán)，M=S/K ；看跌期權(quán)，M=K/S）下B-S 模型和CEV模型的定價(jià)精確性，對樣本進(jìn)行劃分。首先，根據(jù)期權(quán)貨幣性對期權(quán)樣本進(jìn)行劃分為深度虛值、深度實(shí)值、虛值、實(shí)值和在值期權(quán)。其中，M 小于0.94 和大于1.06 的期權(quán)分別為深度虛值和深度在值期權(quán)，M 在0.94 和0.97 之間為虛值期權(quán)，0.97 到1.03 之間為在值期權(quán)，1.03 到1.06 之間為實(shí)值期權(quán)。劃分結(jié)果見表1。由表1 可以看出，深度虛值和深度在值期權(quán)數(shù)量明顯多于其他貨幣性期權(quán)；虛值期權(quán)數(shù)據(jù)量略大于實(shí)值期權(quán)，但差距不明顯。其次，考慮到資產(chǎn)收益率長期波動顯著大于短期波動，為更合理地分析模型定價(jià)效果，根據(jù)期權(quán)到期期限長短將期權(quán)劃分為短期、中期、中長期和長期期權(quán)（到期期限小于30天為短期，30到60天為中期，60到120天為中長期，120天及以上為長期）。樣本劃分結(jié)果如表1所示，中期期權(quán)數(shù)量最少，長期期權(quán)最多，比中期多約60%。

表1 上證50ETF期權(quán)樣本

（二）標(biāo)的資產(chǎn)數(shù)據(jù)

為獲得合適的期權(quán)定價(jià)模型參數(shù)初值，本文選取上證50ETF 標(biāo)的資產(chǎn)上證50ETF 數(shù)據(jù)2005 年1 月到2019年11月共3 593個日收盤價(jià)數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來源于Wind資訊），采用極大似然法分別估計(jì)B-S模型和CEV模型參數(shù)，估計(jì)結(jié)果作為期權(quán)定價(jià)模型校準(zhǔn)初值。

（三）無風(fēng)險(xiǎn)利率

金融衍生產(chǎn)品市場中無風(fēng)險(xiǎn)利率接近銀行間拆借利率，所以分別選取7天、14天、1個月、3個月、6個月、9個月和1年期的Shibor數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)來源于Wind資訊），對所有Shibor數(shù)據(jù)進(jìn)行年化處理，然后對Shibor數(shù)據(jù)進(jìn)行線性插值，根據(jù)期權(quán)交易日期和到期期限選取對應(yīng)的Shibor值作為期權(quán)定價(jià)模型的無風(fēng)險(xiǎn)利率。

四、參數(shù)估計(jì)

B-S模型基于資產(chǎn)收益率波動率不變的假設(shè)不符合現(xiàn)實(shí)，且金融市場無風(fēng)險(xiǎn)利率和標(biāo)的資產(chǎn)收益率在實(shí)際中亦非常數(shù)，即模型參數(shù)具有時變特點(diǎn)，因而對定價(jià)模型進(jìn)行逐日校準(zhǔn)，本文采用極大似然法估計(jì)模型參數(shù)。參數(shù)校準(zhǔn)分如下兩步：

1.對歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，得到參數(shù)估計(jì)初值。選取2005年1月至2019年11月共15年上證50ETF期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，分別估計(jì)B-S模型和CEV模型，估計(jì)結(jié)果作為樣本內(nèi)每個交易日參數(shù)校準(zhǔn)初值。

2.對樣本內(nèi)交易日（2019年1月1日至2019年11月29日每周三）模型參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，共需校準(zhǔn)45次。例如，對于交易日t，基于（1）中參數(shù)初值，選取交易日期t前180個上證50ETF期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)日收盤價(jià)數(shù)據(jù)對BS模型參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)，同理，選取交易日期t前300個交易日數(shù)據(jù)對CEV模型參數(shù)進(jìn)行校準(zhǔn)①定價(jià)模型參數(shù)初值估計(jì)和校準(zhǔn)均在MATLAB中完成，實(shí)證過程中發(fā)現(xiàn)模型定價(jià)表現(xiàn)與校準(zhǔn)過程中歷史數(shù)據(jù)長度具有相關(guān)關(guān)系，為獲得穩(wěn)定且較為精確的定價(jià)模型，分別選取180天和300天上證50ETF標(biāo)的資產(chǎn)日收盤價(jià)數(shù)據(jù)為B-S模型和CEV模型進(jìn)行校準(zhǔn)。。最終得到45組參數(shù)估計(jì)結(jié)果，參數(shù)變化趨勢如圖1，部分估計(jì)結(jié)果和模型檢驗(yàn)結(jié)果如表2。

圖1給出了B-S模型及CEV模型波動率參數(shù)的變化趨勢，圖中表明兩種模型的參數(shù)均具有隨時間連續(xù)變化的特征，驗(yàn)證了標(biāo)的價(jià)格收益率波動率存在時變特征。表2 中對數(shù)似然值（Log-Like）、赤池信息準(zhǔn)則（AIC）和貝葉斯信息準(zhǔn)則（BIC）檢驗(yàn)結(jié)果均表明，B-S模型對標(biāo)的資產(chǎn)日收盤價(jià)數(shù)據(jù)擬合效果明顯優(yōu)于CEV模型。

表2 B-S模型與CEV模型參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖1 B-S模型與CEV模型參數(shù)變化趨勢

五、定價(jià)誤差分析

（一）樣本內(nèi)定價(jià)誤差

根據(jù)以上校準(zhǔn)結(jié)果，由式（1）到（3）及式（3）對應(yīng)看跌期權(quán)定價(jià)公式計(jì)算得到樣本內(nèi)每個合約的期權(quán)價(jià)格，再根據(jù)式（4）分別計(jì)算得到表1中各樣本在兩個模型下定價(jià)誤差，見表3。由表3可以看出，B-S模型和CEV模型對樣本容量較多的深度虛值和深度實(shí)值期權(quán)的定價(jià)均方根誤差最小。相較其他貨幣性下的期權(quán)合約樣本，B-S模型和CEV模型對在值期權(quán)定價(jià)誤差相差最大，如圖2。對于根據(jù)期權(quán)的到期期限和貨幣性劃分的所有期權(quán)合約樣本，B-S模型的定價(jià)誤差均低于CEV模型，說明相較CEV模型，B-S模型更適用于對上證50ETF期權(quán)的定價(jià)，B-S模型對中國期權(quán)市場擬合效果更好。

另外，分別計(jì)算樣本內(nèi)看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價(jià)誤差，發(fā)現(xiàn)B-S模型和CEV模型對看跌期權(quán)均有更低的定價(jià)誤差，B-S模型看跌期權(quán)定價(jià)誤差低于看漲期權(quán)42.11%，CEV模型看跌期權(quán)誤差低于看漲期權(quán)誤差41.45%。

表3 樣本內(nèi)定價(jià)誤差（RMSE）

表4 看漲/看跌期權(quán)定價(jià)誤差

圖2 樣本內(nèi)定價(jià)誤差（RMSE）

表5 樣本外定價(jià)誤差（RMSE）

（二）樣本外定價(jià)誤差

在實(shí)際應(yīng)用中，對期權(quán)合約的定價(jià)并沒有交易當(dāng)日的收盤價(jià)數(shù)據(jù)，研究中更需要關(guān)注的是定價(jià)模型樣本外定價(jià)表現(xiàn)。樣本外定價(jià)采用交易日前一天即樣本內(nèi)的校準(zhǔn)結(jié)果，選取2019年1月1起到2019年11月29日每周四期權(quán)交易數(shù)據(jù)，首先基于式（1）～（3）計(jì)算得到樣本外每個期權(quán)合約的價(jià)格，其次由式（4）計(jì)算得到樣本外定價(jià)誤差（RMSE），見表5。比較表4和表5，可以看出，B-S模型和CEV模型對上證50ETF期權(quán)的樣本外定價(jià)表現(xiàn)與樣本內(nèi)基本一致。對于同一樣本，樣本外定價(jià)誤差均略高于樣本內(nèi)，但差距不明顯。

具體的，B-S模型和CEV模型對看跌期權(quán)定價(jià)較看漲期權(quán)有更高的精確度。模型定價(jià)效果均一般。說明CEV模型較B-S模型對上證50ETF期權(quán)定價(jià)沒有任何改善，且相反的定價(jià)表現(xiàn)更差；對于同一到期期限樣本容量最大的兩種深度在值的期權(quán)樣本，B-S模型與CEV模型均具有更小的定價(jià)誤差。

另外，樣本外B-S模型與CEV模型對于看漲和看跌期權(quán)定價(jià)表現(xiàn)相似，模型對看跌期權(quán)都有著更低的定價(jià)誤差，B-S 模型看跌期權(quán)誤差低于看漲期權(quán)誤差40.47%，CEV 模型看跌期權(quán)誤差低于看漲期權(quán)誤差

40.74%。

圖3 樣本外定價(jià)誤差（RMSE）

六、結(jié)語

本文基于B-S模型和CEV模型對上證50ETF期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，樣本外、樣本內(nèi)分別選取2019年1月1日至2019年11月29日每周三、周四共90個交易日數(shù)據(jù)，考慮到標(biāo)的資產(chǎn)收益率波動具有時變特征且資產(chǎn)收益短期波動與長期波動相近，首先選取2015年1月至2018年12月上證50ETF期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)日收盤價(jià)，估計(jì)模型校準(zhǔn)初值；其次采用極大似然法對模型參數(shù)進(jìn)行逐日校準(zhǔn)；最后根據(jù)模型參數(shù)計(jì)算得到期權(quán)價(jià)格和定價(jià)誤差。對定價(jià)結(jié)果進(jìn)行比較分析發(fā)現(xiàn)：同等期限下，B-S模型和CEV模型對上證50ETF深度虛值和深度實(shí)值期權(quán)定價(jià)表現(xiàn)最優(yōu)，但兩種模型對深度虛值和深度實(shí)值期權(quán)定價(jià)差異不顯著；兩種模型對看跌期權(quán)定價(jià)表現(xiàn)均顯著優(yōu)于看漲期權(quán)，樣本外定價(jià)表現(xiàn)均優(yōu)于看漲期權(quán)約40%；相比B-S模型，CEV模型對上證50ETF期權(quán)定價(jià)精確性明顯更低，但總的來說，兩種模型對上證50ETF期權(quán)定價(jià)效果均一般。

從基于B-S模型和CEV模型對上證50ETF期權(quán)定價(jià)表現(xiàn)來看，這兩種模型對中國期權(quán)市場的擬合表現(xiàn)出與美國市場的相反，在部分學(xué)者基于這兩種模型對美國期權(quán)或權(quán)證的定價(jià)分析中，CEV模型定價(jià)表現(xiàn)總是優(yōu)于或不差于B-S模型，說明基于不變方差彈性的假定不適用于中國金融市場，可能說明中國投資者對資產(chǎn)收益率不同程度波動的敏感性具有顯著差異，導(dǎo)致CEV模型對中國期權(quán)市場擬合效果較差。同時說明應(yīng)用于發(fā)達(dá)國家期權(quán)市場的定價(jià)機(jī)制不能直接應(yīng)用于中國期權(quán)市場，要尋找更精確更適合中國期權(quán)市場的定價(jià)方法，有待更多的研究。