賈兆麗,楊舒荃,吳霍俊

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

0 引 言

波動率衍生品作為一種特殊的金融衍生品,其價值依賴于將來波動率的期望水平。隨著人們對風(fēng)險控制和對沖的需求不斷增加,波動率衍生品的交易受到越來越廣泛的關(guān)注。目前,交易最活躍、最普遍的波動率衍生品是方差互換和波動率互換。

自20世紀(jì)90年代末以來,有許多學(xué)者致力于研究合適的方法來定價方差互換。在連續(xù)取樣方面，文獻(xiàn)[1]首次提出了自由偏好隨機(jī)波動模型,并用于普通的方差互換及奇異的波動率衍生品定價中;文獻(xiàn)[2]利用非參數(shù)方法研究了基于對數(shù)合約下方差互換的Delta對沖策略;文獻(xiàn)[3]分析了3/2隨機(jī)波動率模型下,通過連續(xù)取樣合理近似離散取樣的互換的定價問題,并給出了連續(xù)近似存在的條件。實際操作中,連續(xù)選取標(biāo)的資產(chǎn)的實際變差可能會對互換產(chǎn)品的定價帶來系統(tǒng)偏差。用高頻的數(shù)據(jù)來估計定價公式,會由于小的樣本取樣或是大的分割而導(dǎo)致更大的誤差。

在離散取樣方面,文獻(xiàn)[4]推導(dǎo)出在隨機(jī)波動率模型為Heston模型下的方差互換的閉型定價公式;文獻(xiàn)[5]分析了Heston隨機(jī)波動模型對波動率衍生品遠(yuǎn)期價格的影響,并提出了一種新的研究方法,即將服從對數(shù)正態(tài)分布的方差與隨機(jī)波動率的二次變差相結(jié)合;文獻(xiàn)[6]研究了一種時齊隨機(jī)波動率模型下方差互換的遠(yuǎn)期價格,得到了離散取樣的方差互換的近似定價公式。在跳擴(kuò)散模型下,文獻(xiàn)[7]得到了條件方差互換和Corridor方差互換等幾種方差互換衍生品的定價公式；文獻(xiàn)[8]結(jié)合體制轉(zhuǎn)換模型、馬爾科夫鏈近似方法和傅里葉變換,提出了一種投影方法來計算波動率衍生品的價格。此外,還有文獻(xiàn)[9-12]闡述了幾種隨機(jī)波動率模型對方差和波動率互換定價的影響。

本文主要采用積分變換的研究方法,計算實際波動率(方差)的特征函數(shù)及衍生品的支付函數(shù)的積分變換。在離散取樣的基礎(chǔ)上假設(shè)隨機(jī)波動率服從OU過程,并利用微分方程求解方差互換的遠(yuǎn)期價格,最終得到方差互換等波動率衍生品的定價公式。

1 方差互換

方差互換是眾多互換產(chǎn)品的一種,它是一份遠(yuǎn)期合約,收益基于標(biāo)的資產(chǎn)指數(shù)的實際變差。該資產(chǎn)指數(shù)可以是標(biāo)普500或是NASDAK指數(shù)等。合約買方從簽訂方可獲得的收益,取決于整個合約期內(nèi)實現(xiàn)的資產(chǎn)指數(shù)方差與合約簽訂時敲定方差的差值, 償付額為一設(shè)定的單位乘數(shù)與此差值的乘積,即

(1)

(2)

(3)

其中,Sti為在第i次觀測時間ti時刻的股票價格;T為合約到期日;k為年化因子,若取樣頻率是每一個交易日,假設(shè)每年有252 d為交易天數(shù),則k=252;若每周為取樣頻率,則k=52;若每月為取樣頻率,則k=12;以此類推。本文只考慮等距離散觀測,即Δ=ti-ti-1為常數(shù), 總共觀測N次,ti=iΔt(i=1,…,N)。為了模擬的方便,將實際變差乘以名義本金M,且取M=10 000。

2 方差互換的定價

2.1 模型建立

設(shè)(Ω,F,Ft,P)為概率空間,Ft,t∈[0,T]為自然域。假設(shè)存在風(fēng)險中性概率測度Q,且隨機(jī)波動率服從均值回復(fù)OU過程,用St表示股票價格過程,其瞬時波動率記為vt,滿足的隨機(jī)微分方程如下:

(4)

2.2 主要結(jié)果與證明

本文采用微分方程求解方差互換的遠(yuǎn)期價格,離散情況下的實際變差由第2種定義 (3) 式給出。

定理1 當(dāng)波動率服從OU過程,動態(tài)資產(chǎn)價格過程滿足方程(4),則方差互換的敲定價格KVar有如下形式:

(5)

其中

g(v0)=(E(1))2v4+2D(1)E(1)v3-[(D(1))2+

2C(1)E(1)+E(2)]v2-(2C(1)D(1)+

D(2))v-(C(1))2-C(2)；

(C(1))2-C(2)，vti-1=v；

證明由實際變差的定義可知,要計算方差互換的遠(yuǎn)期價格,就是求N個的期望，即

(6)

假設(shè)Δt為常數(shù),ti=iΔt(i=1,…,N)。問題轉(zhuǎn)化為求下列2個微分方程的解,在沒有特別說明的情況下,計算過程中i、ti及ti-1認(rèn)為是已知的常數(shù)。

(7)

(8)

其中

由Fourier變換性質(zhì)有:

F[xn]=2πjnδ(n)(ω)

(9)

由Dirac函數(shù)的性質(zhì)可得:

(10)

令x=lnS,則方程(7)變?yōu)?

(11)

在方程(11)中,對支付函數(shù)兩邊關(guān)于變量x進(jìn)行Fourier變換,得:

F[(x-lnI)2]=2π[-δ(2)(ω)-

2jδ(1)(ω)lnI+δ(ω)ln2I]

(12)

方程(7)的解為:

P=F-1{exp[C(ω,ti-t)+D(ω,ti-

t)v+E(ω,ti-t)v2]×

2π[-δ(2)(ω)-2jδ(1)(ω)lnI+δ(ω)ln2I]}=

E(ω,ti-t)v2]×[-δ(2)(ω)-

2jδ(1)(ω)lnI+δ(ω)ln2I]exp(jxω)dω=

-h(2)(0)+2jh(1)(0)lnI+h(0)ln2I

(13)

其中

h(ω)=exp[C(ω,ti-t)+D(ω,ti-t)v+

E(ω,ti-t)v2+jxω]

(14)

通過計算(14)式的一階、二階導(dǎo)數(shù)可得:

(15)

其中

(16)

其中

g(v)=(E(1))2v4+2D(1)E(1)v3-

[(D(1))2+2C(1)E(1)+E(2)]v2-(2C(1)D(1)+

D(2))v-(C(1))2-C(2);

同理D(1)、D(2)、E(1)、E(2)也有類似定義。

方程(8)的解為:

g(vti-1)p(vti-1|vt)dvti-1

(17)

其中,p(vti-1|vt)為OU過程的概率轉(zhuǎn)移密度。

θ(1-exp(-k(T-t))),

(18)

(6)式的期望可以表示為:

(19)

(19)式的計算可以通過一般的數(shù)學(xué)軟件來進(jìn)行,從而可以求出方差互換的遠(yuǎn)期價格，寫成以下較為簡單的形式:

(20)

其中

(C(1))2-C(2)，vti-1=v；

綜上,可以得到方差互換的遠(yuǎn)期價格為:

(21)

3 結(jié) 論

本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價格服從隨機(jī)波動率模型,通過交換積分次序,利用廣義的傅里葉變換方法,得到了密度函數(shù)的積分變換及支付函數(shù)的積分表達(dá)式。在離散取樣下,給出了隨機(jī)波動率服從OU過程時方差互換的定價公式。該結(jié)果豐富并發(fā)展了金融衍生品的定價理論,同時可以應(yīng)用于其他金融衍生品的定價,為資產(chǎn)定價理論的研究提供了新的模型。