羅吉安，劉豐茂，劉之喜，馬雷鳴，陳燁開，李欣慰

（1.安徽理工大學力學與光電物理學院，安徽 淮南 232001；2.安徽理工大學土木建筑學院，安徽 淮南 232001）

巖石地下工程與人們的生命安全息息相關(guān)，如隧道、地下井巷等，主要原因是當巖石開挖后，周圍巖石失去原有的平衡狀態(tài)，內(nèi)部的應力場也會發(fā)生變化。另外，巖石地下工程難免受到周期加-卸載作用，如地面交通周期荷載、地震等。眾多學者對周期荷載作用下的巖石性質(zhì)展開了研究，但卻較少涉及循環(huán)加-卸載作用下巖石的本構(gòu)模型。因此，將循環(huán)加-卸載作用引入巖石本構(gòu)模型的研究中，為巖石損傷本構(gòu)模型研究提供新的思路。

巖石本構(gòu)模型研究一直是巖石力學研究的重中之重，雖然現(xiàn)有的巖石本構(gòu)模型比較多，但是往往存在許多問題，難以反映實際情況。因此，基于徐志英[1]、劉佑榮[2]等的巖石、巖體破壞理論，研究人員從不同方向?qū)r石損傷本構(gòu)模型進行了探討。曹文貴等[3-5]將巖石損傷本構(gòu)理論與統(tǒng)計學理論有機地結(jié)合起來，利用巖石微元強度服從Weibull隨機分布的特點，建立了巖石破裂全過程的損傷本構(gòu)模型。在此基礎(chǔ)上，袁小平等[6]將Drucker-Prager準則很好地運用到巖石彈塑性損傷本構(gòu)模型的研究中，建立了Drucker-Prager準則下的巖石損傷本構(gòu)模型。李西蒙等[7]分析了分級循環(huán)加-卸載應力-應變曲線特征和分級循環(huán)加-卸載下巖石疲勞損傷演化過程，建立了循環(huán)加-卸載條件下軸向應變與循環(huán)數(shù)目之間的理論模型。王者超等[8]通過花崗巖三軸循環(huán)試驗，系統(tǒng)地研究了花崗巖疲勞力學特性，并提出了其疲勞力學模型。此外，何明明等[9]研究了循環(huán)加載過程變形 3 階段的變形特性、循環(huán)軟化與循環(huán)硬化、能耗特征，并且建立了耗散能隨循環(huán)次數(shù)變化的演化方程。張平陽等[10-11]通過預測壓氣儲能洞室的長期穩(wěn)定性，提出了一種能夠描述巖石循環(huán)加-卸載的本構(gòu)關(guān)系，使巖石損傷本構(gòu)模型研究取得了重大進展。

基于以上研究背景，本工作將基于Weibull隨機分布特點的巖石損傷本構(gòu)模型進行拓展，引入八面體剪應力理論，并假設(shè)巖石微元強度服從八面體剪應力理論并且微元破壞服從Weibull 概率公式，通過加-卸載循環(huán)試驗，描述每個循環(huán)內(nèi)巖石強度及加-卸載模量的變化，進而提出循環(huán)加-卸載巖石損傷本構(gòu)模型；進一步通過巖石損傷本構(gòu)公式變換，得到關(guān)于應力、應變、泊松比、彈性模量以及其他能夠表現(xiàn)加-卸載下巖石損傷本構(gòu)模型的實驗參數(shù)，將所采用的八面體剪應力理論以及各實驗參數(shù)代入本構(gòu)模型中，從而得到巖石的本構(gòu)數(shù)學模型，并對單軸循環(huán)加-卸載作用下的巖石材料試驗進行數(shù)據(jù)擬合，進一步分析所提出的巖石損傷本構(gòu)模型以及各試驗參數(shù)的物理意義。

1 巖石本構(gòu)模型

1.1 本構(gòu)模型的建立

根據(jù)巖石在變形前后應變等價的原則，即利用J.Lemaitre應變等價假說，建立巖石損傷本構(gòu)關(guān)系

式中：σ*為有效應力矩陣，σ為名義應力矩陣，E為巖石材料彈性矩陣， εe為巖石彈性應變矩陣，D為巖石損傷變量。對于以上建立的巖石損傷本構(gòu)模型，損傷變量的確定是其關(guān)鍵，但是由于損傷變量的影響因素極為復雜，并且無法直接從試驗中準確地獲得，所以本研究結(jié)合巖石的破壞模型與判斷依據(jù)，引入巖石微元強度和巖石破壞服從Weibull概率公式的特點，提出了基于八面體剪應力理論表示巖石損傷變量的方法。基于徐衛(wèi)亞等[12]采用的方法，即假定巖石的破壞準則通式為

式中：k0是表示與材料黏聚力和內(nèi)摩擦角有關(guān)的常數(shù)。式（2）雖然能夠非常直觀地表現(xiàn)出巖石微元強度的破壞情況，但卻不能清楚地表現(xiàn)宏觀狀態(tài)下巖石破壞的程度，因此如何用巖石的微元強度表示宏觀巖石強度將成為解決問題的關(guān)鍵。巖石內(nèi)部由無數(shù)微元組成，兩者是整體與個體的關(guān)系，故可引入概率統(tǒng)計學說，設(shè)巖石微元破壞的概率為依據(jù)概率統(tǒng)計理論，損傷變量的破壞概率為

1.2 巖石微元強度確定

巖石微元強度實際上決定了宏觀條件下巖石破壞的危險程度，因此，選擇何種強度準則或者理論來近似定義巖石微元強度將是巖石損傷本構(gòu)模型建立的關(guān)鍵。目前，用Drucker-Prager破壞準則、Coulomb-Mohr準則、莫爾庫倫強度準則等定義巖石的微元強度，都取得了不錯的研究進展。然而，有些巖石在兩向或三向受力情況下，破壞之前的變形較大，沒有明顯的破壞荷載，表現(xiàn)出顯著的塑性變形、流動或擠出，這種破壞即為塑性破壞。對于這類巖石，八面體剪應力理論認為，當八面體剪應力達到材料危險狀態(tài)時的八面體剪應力值時，材料將處于危險狀態(tài)，該理論更適用于復雜狀態(tài)下的塑性材料，故八面體剪應力理論適用于定義某些復雜狀態(tài)下巖石的微元強度。任何應力狀態(tài)下的八面體剪應力理論可表示為

式中：σ1、σ2、σ3分別為3個主應力。故基于八面體剪應力理論下巖石的微元強度為

1.3 三軸作用下巖石本構(gòu)關(guān)系的建立

假設(shè)巖石為各向同性體，并且其破壞時巖石的微元強度服從Weibull概率分布，則巖石的概率密度分布函數(shù)為

式中：F為微元破壞Weibull分布的分布變量，m和F0為Weibull的分布參數(shù)。基于統(tǒng)計學理論，將式（6）代入式（3），變換整理后可得損傷變量為

上述巖石損傷變量求解的關(guān)鍵在于巖石微元強度的確定，本研究將八面體剪應力理論近似表示巖石的微元強度，故將式（5）代入式（7）得出巖石損傷變量的最終表達式

損傷力學中J.Lemaitre應變等價假說以及材料力學中廣義胡克定律可表示為

式中：E為彈性模量，μ為泊松比。聯(lián)立式（8）、式（9）、式（10），可得巖石在三軸作用下的損傷關(guān)系

所以，巖石在三軸作用下的損傷本構(gòu)模型可表示為

1.4 單軸作用下巖石本構(gòu)關(guān)系的建立

當巖石材料處于單軸狀態(tài)下時，僅受到單方向的力，故將三軸作用下巖石本構(gòu)關(guān)系進行公式變換，即可得到單軸作用下巖石本構(gòu)模型

2 試驗過程及數(shù)據(jù)分析

基于章清敘等[13]周期荷載作用下紅砂巖變形特性的試驗方法，本研究通過對砂巖的循環(huán)加-卸載試驗（見圖1）來驗證提出的巖石本構(gòu)關(guān)系。選取直徑為50 mm、高為100 mm的標準巖石試件（見圖2），并且要求砂巖試件兩端不平行度誤差不大于0.05 mm。對每個試件都進行6個等級的加-卸載，加載卸載過程不間斷，每次加載的峰值大約為30、40、50、60、70、80 MPa，當加載到第6等級時，巖石自動急劇卸載，巖石破壞。砂巖的循環(huán)加-卸載應力-應變曲線如圖3 所示。

從實驗數(shù)據(jù)中可以看出，巖石在循環(huán)加-卸載試驗過程中存在殘余變形，并且第一次卸載時最大，達到0.12，這是由于自然界巖石材料中存在諸多縫隙、空隙等，在加載過程中，這些空隙不斷被壓密，形成了無法逆轉(zhuǎn)的塑性變形，這也符合葛修潤等[14-15]提出的巖石疲勞破壞和不可逆變形問題的結(jié)論。經(jīng)過多次反復加載與卸載，且每次施加的峰值荷載都比前一次施加的峰值荷載大，塑性滯回環(huán)的面積也將有所擴充，巖石的彈性模量也有所增加，因此，結(jié)合巖石力學中砂巖彈性模量的經(jīng)驗取值，可將砂巖的彈性模量取值為12 GPa。另外，由應力-應變曲線也可以看出，經(jīng)過最后一個等級加載后，巖石急劇卸載，這是由于巖石在承受大約82 MPa后發(fā)生破壞，破壞后巖石無法再承受應力，所以，應力將急劇下降，直至為零。

圖1 循環(huán)加-卸載試驗機Fig.1 Cyclic loading and unloading test machine

圖2 標準巖石試件Fig.2 Standard rock specimens

圖3 試驗應力-應變曲線Fig.3 Stress-strain curve of the tests

3 參數(shù)擬合及本構(gòu)修正

3.1 擬合公式的變換

目前，對于 Weibull 分布下的巖石損傷本構(gòu)模型數(shù)據(jù)擬合過程，大部分采取在本構(gòu)模型的基礎(chǔ)上引進經(jīng)驗公式，進而推導出關(guān)于m和F0的函數(shù)表達式。此種方法雖然可以擬合出m和F0，但形式過于復雜。本研究通過系列等式變換，將所提出的本構(gòu)模型變換為較簡單的關(guān)于m和F0的數(shù)學表達式，再進行擬合，即可得到所需要的參數(shù)。首先，將式（14）進行變換，可得

再進一步變換，得

3.2 擬合數(shù)據(jù)的處理及分析

本研究采用單軸循環(huán)加-卸載試驗對所提出的巖石本構(gòu)關(guān)系進行驗證。首先，對所選試件進行分等級加-卸載試驗，并根據(jù)實驗數(shù)據(jù)對所有循環(huán)下的實驗曲線進行擬合，然后選取試驗曲線擬合程度較好的典型試驗結(jié)果曲線（見圖4、圖5），再進行整理分析。

對實驗數(shù)據(jù)進行擬合處理后，便可分別得到加載階段曲線和卸載階段曲線，由加-卸載曲線可知：實驗數(shù)據(jù)擬合曲線的擬合校正系數(shù)均在0.98以上（第1等級加載除外），說明擬合效果非常好。另外，第1等級加載的擬合校正系數(shù)只有0.93，擬合程度較低。這是由于第1次加載時，加載峰值應力只有30 MPa，并且?guī)r石在自然狀態(tài)下，內(nèi)部有許多空隙和縫隙，當初次加載時，大多數(shù)情況只是將巖石內(nèi)部的空隙和縫隙壓密，損傷積累得也不明顯，因此并不十分符合所提出的巖石本構(gòu)模型。

圖4 加載階段B-A曲線擬合Fig.4 B-A fitting curve during loading stage

圖5 卸載階段B-A曲線擬合Fig.5 B-A fitting curve during unloading stage

隨著加-卸載等級的提高，擬合程度愈加完美，尤其在加載過程中表現(xiàn)得十分明顯，巖石在不同等級加載下，開始時所承受的應力較小，隨著等級增加，應力逐漸地增加，巖石內(nèi)部損傷不斷積累，故損傷本構(gòu)模型的擬合效果趨于良好。另外，通過表1可以觀察到，卸載過程時擬合效果提高得并不非常明顯，但總體擬合效果良好。

表1 加-卸載等級參數(shù)Table 1 Parameters of each loading and unloading level

根據(jù)表1中各加-卸載等級的參數(shù)可知，參數(shù)m與加-卸載等級的大小呈反比，而參數(shù)F0與加-卸載等級的大小呈正比，也就是說隨著加-卸載等級的提高，參數(shù)m減小，參數(shù)F0增大。在循環(huán)加-卸載過程中，巖石所受到的峰值應力逐漸增加，巖石強度逐漸增大，可認為巖石的強度隨F0的增大而增大，故F0反映出巖石的宏觀平均強度。另外，在不斷的循環(huán)荷載作用下，巖石的微元強度有所減小，因此，m有可能與巖石微元強度有關(guān)，反映了巖石微元強度分布的集中程度，m越小，巖石塑性程度將越高，對于兩個參數(shù)的性質(zhì)及物理意義則需要更加具體的分析。

3.3 損傷本構(gòu)模型的修正

通過以上對參數(shù)m、F0的分析可以看出，參數(shù)m、F0的變化規(guī)律受所施加應力的影響，如果能夠分析參數(shù)m、F0與所施加應力的關(guān)系并進行擬合，就能比較有效地對巖石損傷模型進行修正。如圖6、圖7所示，將參數(shù)m、F0分別作為縱坐標，巖石所受到的應力為橫坐標，取每次循環(huán)加載的峰值應力30、40、50、60、70、80 MPa為橫坐標參考點，可得到F0-σ1與m-σ1散點分布圖，采用雙曲線進行擬合，可得到

圖6 Weibull分布參數(shù)F0與正應力σ1的關(guān)系Fig.6 Relation between Weibull distribution parameter F0 and the normal stress σ1

圖7 Weibull分布參數(shù)m與正應力σ1的關(guān)系Fig.7 Relation between Weibull distribution parameter m and the normal stress σ1

式（19）和式（20）的擬合系數(shù)分別高達0.997 02和0.998 23，也就是說在不同應力情況下參數(shù)m、F0的變化規(guī)律較符合擬合公式。將式（19）、式（20）代入式（14），即可得到修正后的損傷本構(gòu)模型。

4 敏感性分析

通過對加-卸載過程中實驗數(shù)據(jù)的擬合發(fā)現(xiàn)，本構(gòu)模型中的參數(shù)m、F0具有一定的變化規(guī)律，并且這些變化與劉樹新等[16]提出的Weibull參數(shù)變化規(guī)律相似。因此，本研究進行了本構(gòu)損傷模型參數(shù)的敏感性分析，進一步確定參數(shù)的具體物理意義。

以擬合效果較好的第6次循環(huán)加載階段為例，首先將m固定為擬合值-0.938 517 71，分別對F0取 20、25、30、35、40、45，將其參數(shù)分別代入損傷本構(gòu)模型，即可得到F0取值不同情況下的應力-應變曲線，如圖8所示。

圖8 參數(shù)F0的敏感性分析情況Fig.8 Sensitivity analysis of parameter F0

從圖8可以看出，隨著F0的增大，應力-應變曲線趨于平緩，巖石的峰值強度也逐漸減小，進一步表明參數(shù)F0與巖石的宏觀平均強度有關(guān)。另外，從表1可以觀察出，隨著加-卸載等級的增加，參數(shù)F0逐漸增加，巖石的平均宏觀強度逐漸降低。這是由于在不斷加-卸載過程中，巖石的內(nèi)部損傷逐漸積累，使得巖石宏觀強度隨之降低，即對試樣第1次加載達到某個值后卸載，且試樣不破壞，對所得數(shù)據(jù)進行分析整理后，對試樣第2次加載達到某個值后卸載，且試樣不破壞，再對所得數(shù)據(jù)進行分析整理后，對試樣進行第3次加載達到某個值后卸載，且試樣不破壞，依次類推，當進行第6次加載時試件破壞。進行多組試驗，取典型曲線進行敏感性分析，最終得出參數(shù)F0可能與巖石的平均宏觀強度有關(guān)，與參數(shù)F0的敏感性情況一致。

同樣以擬合效果較好的第6次循環(huán)加載階段為例，將參數(shù)F0固定為擬合值40.468 44，分別對m取 0、-0.5、-1.0、-1.5、-2.0、-2.5。將其參數(shù)分別代入損傷本構(gòu)模型，即可得到m不同情況下的應力-應變曲線，如圖9所示。

圖9 參數(shù)m敏感性分析情況Fig.9 Sensitivity analysis of parameter m

從圖9可以發(fā)現(xiàn)：當理論應力值小于32 MPa時，隨著參數(shù)m的減小，理論應力值逐漸減小；反之，當理論應力值大于32 MPa時，隨著參數(shù)m的減小，理論應力值逐漸增大。除此之外，隨著參數(shù)m的減小，理論應力值的增長速率是逐漸增加的，其中參數(shù)m與巖石微元強度分布的集中程度有關(guān)，即m越小，巖石微元強度分布的集中程度越高，理論應力值的增長速率越高，故巖石脆性增加。巖石在初始加載時內(nèi)部變形一般較小，但隨著循環(huán)加-卸載等級的增加，巖石內(nèi)部產(chǎn)生損傷逐漸積累，其變形量將急劇增加，m逐漸減小，巖石微元強度分布的集中程度也越高，巖石逐漸向脆性發(fā)展。

5 結(jié) 論

（1）從巖石損傷的理念出發(fā)，假設(shè)巖石的微元強度服從八面體剪應力理論并且微元破壞服從Weibull概率公式，建立了基于八面體剪應力理論的循環(huán)加-卸載下巖石的損傷本構(gòu)模型，該模型具有靈活性好、參數(shù)少、便于擬合等優(yōu)點。

（2）在數(shù)據(jù)處理擬合過程中，采取先將本構(gòu)損傷模型進行等式變換后再進行擬合的方法，將復雜的損傷本構(gòu)擬合過程轉(zhuǎn)變?yōu)檩^為簡單的冪函數(shù)擬合，省去了非線性擬合數(shù)值選取的復雜過程，為損傷本構(gòu)模型的擬合提供了一種新的參考方法。

（3）將數(shù)據(jù)擬合后得到的參數(shù)進行整理分析，并對所得到的參數(shù)值進行重新擬合分析，最終得到修正后的損傷本構(gòu)模型，修正后的本構(gòu)關(guān)系將更好地描述循環(huán)加-卸載曲線，比之前更具有實際意義。

（4）在循環(huán)加-卸載情況下，參數(shù)F0與巖石的宏觀平均強度有關(guān)，參數(shù)m與巖石微元強度分布的集中程度有關(guān)。隨著加-卸載等級的提高，參數(shù)m減小，巖石微元強度分布的集中程度提高，巖石逐漸向脆性發(fā)展，而參數(shù)F0增大，巖石的平均宏觀強度則逐漸降低。