◎ 厲斯亮

通過(guò)搭建“腳手架”來(lái)幫助學(xué)生自己完成對(duì)知識(shí)的構(gòu)建是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的一種教學(xué)模式。建構(gòu)主義理論源于認(rèn)知心理學(xué)，它指出學(xué)習(xí)不是由教師把知識(shí)簡(jiǎn)單地傳遞給學(xué)生，而是由學(xué)生自己建構(gòu)知識(shí)的過(guò)程。學(xué)生不是簡(jiǎn)單、被動(dòng)地接收信息，而是主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的意義，這種建構(gòu)與學(xué)生個(gè)人的知識(shí)基礎(chǔ)、經(jīng)驗(yàn)背景有關(guān)，是無(wú)法由他人來(lái)代替的。因此教學(xué)中，教師的角色是學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的支持者和引導(dǎo)者，要為學(xué)生建構(gòu)知識(shí)提供幫助和引導(dǎo)，應(yīng)當(dāng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)；學(xué)生的角色則是教學(xué)活動(dòng)的積極參與者和知識(shí)的積極建構(gòu)者?！澳_手架”教學(xué)是以蘇聯(lián)著名心理學(xué)家維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”的理論為依據(jù)的。維果茨基指出學(xué)生的發(fā)展有兩種水平：一種是學(xué)生的現(xiàn)有水平；另一種是學(xué)生可能的發(fā)展水平，兩者之間的差距就是最近發(fā)展區(qū)。教學(xué)應(yīng)著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，即教學(xué)創(chuàng)造著最近發(fā)展區(qū)。腳手架教學(xué)中的“腳手架”應(yīng)根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)來(lái)建立，通過(guò)腳手架的作用不停地將學(xué)生的認(rèn)知從一個(gè)水平引導(dǎo)到另一個(gè)更高的水平。

筆者以“勾股定理逆定理的證明”為例，來(lái)闡述基于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，搭建腳手架、引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)的必要性和優(yōu)越性。

一、問(wèn)題的提出

“勾股定理的逆定理”是滬教版《數(shù)學(xué)》八年級(jí)第一學(xué)期第十九章“幾何證明”中的一項(xiàng)教學(xué)內(nèi)容。本節(jié)課之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形全等的判定和性質(zhì)以及勾股定理，這部分內(nèi)容旨在以（直角）三角形為研究對(duì)象，演練邏輯推理。

“勾股定理的逆定理”一課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了勾股定理的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生猜測(cè)勾股定理的逆命題是否為真。因此，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：導(dǎo)出和證明勾股定理的逆定理，并進(jìn)行初步運(yùn)用；引進(jìn)勾股數(shù)組。其中，“勾股定理逆定理的證明”需要在原有圖形之外自主建構(gòu)一個(gè)新的直角三角形，這樣的幾何證明方法是學(xué)生從未遇到過(guò)的，因此成為本節(jié)課一個(gè)突出的教學(xué)難點(diǎn)。

對(duì)于勾股定理逆定理的證明，教材是如下編排的。

如果勾股定理的逆命題是真命題，那么就可以根據(jù)邊的情況來(lái)判定這個(gè)三角形是否是直角三角形。

現(xiàn)在，我們來(lái)證明勾股定理的逆命題是真命題。

已知：如圖1所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a2+b2=c2。

求證：△ABC是直角三角形。

圖1

分析：直接證明△ABC是直角三角形是困難的。如果有一個(gè)直角三角形A'B'C'，∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，那么斜邊A'B'就滿足A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2=c2。只要證明△A'B'C'≌△ABC，就能推出∠C=∠C'=90°。

證明：作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b，那么

A'B'2=B'C'2+A'C'2=a2+b2（勾股定理）。

∵a2+b2=c2（已知），∴A'B'2=c2（等量代換）。

∵邊長(zhǎng)是正數(shù)，A'B'=c。

在△ABC與△A'B'C'中，

BC=a=B'C'

CA=b=C'A'

AB=c=A'B'

∴△ABC≌△A'B'C'（S.S.S），

∴∠C=∠C'=90°，

即△ABC是直角三角形（直角三角形的定義）。

于是我們得到勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于其他兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

在以上的證明過(guò)程中，需要學(xué)生自主構(gòu)造一個(gè)直角三角形，然后運(yùn)用勾股定理和全等三角形判定定理證明已有的三角形與該直角三角形全等，來(lái)得到已有三角形也是直角三角形。

學(xué)生在經(jīng)歷了七年級(jí)幾何說(shuō)理、八年級(jí)幾何證明的基礎(chǔ)上，已經(jīng)積累了一定的幾何學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，會(huì)添加常見(jiàn)的輔助線。對(duì)于大部分學(xué)生來(lái)說(shuō)，觀察發(fā)現(xiàn)圖中存在的全等三角形并加以證明并不是很難，在此基礎(chǔ)上由一個(gè)三角形是直角三角形得到另一個(gè)三角形也是直角三角形的經(jīng)驗(yàn)也完全具備。但是以上勾股定理逆定理的證明，則是需要在問(wèn)題的已有圖形之外自主構(gòu)造一個(gè)三角形，這樣解決問(wèn)題的方法在學(xué)生之前的幾何學(xué)習(xí)中從未出現(xiàn)，學(xué)生缺乏相應(yīng)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的積累，將是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)，因此成為本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。

二、不同教學(xué)方式實(shí)踐

針對(duì)“勾股定理逆定理的證明”這一教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)難點(diǎn)，筆者曾經(jīng)有意識(shí)地進(jìn)行過(guò)多次教學(xué)實(shí)踐，具體有以下三種教學(xué)方式。

（一）以教師講授為主的教學(xué)設(shè)計(jì)

為了幫助學(xué)生形成證明的思路，教師首先指出，由已知條件推導(dǎo)結(jié)論，現(xiàn)在沒(méi)有直接的依據(jù)。再回顧確定一個(gè)直角三角形需要什么條件，引導(dǎo)學(xué)生注意到由兩邊可確定直角三角形。然后進(jìn)一步分析已知的條件及待證的結(jié)論?，F(xiàn)已知△ABC的三邊長(zhǎng)以及它們之間的數(shù)量關(guān)系，而由其中兩條邊可構(gòu)造一個(gè)直角三角形，于是要證明△ABC是直角三角形，就只要證明△ABC與所作的直角三角形全等。

這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)以教師的分析講解為主，學(xué)生則側(cè)重于被動(dòng)地接受理解。從學(xué)生的課堂反映來(lái)看，學(xué)生們覺(jué)得聽(tīng)懂了，但從后期的反饋測(cè)試結(jié)果來(lái)看往往是上課的時(shí)候覺(jué)得聽(tīng)明白了，下課一轉(zhuǎn)身就忘記了。這其實(shí)與學(xué)生在此環(huán)節(jié)的教學(xué)過(guò)程中思維活動(dòng)的參與度比較低有關(guān)，因此對(duì)這一教學(xué)難點(diǎn)的印象不夠深刻。

（二）教師放手由學(xué)生自主探究的教學(xué)設(shè)計(jì)

隨著我校在張人利校長(zhǎng)的倡導(dǎo)下開(kāi)始后“茶館式”教學(xué)實(shí)踐，筆者還嘗試過(guò)放手由學(xué)生自主探究。張校長(zhǎng)提出的后“茶館式”教學(xué)內(nèi)涵豐富，有兩個(gè)關(guān)鍵干預(yù)因素：一是學(xué)生自己學(xué)得會(huì)的教師不講；二是要盡可能暴露學(xué)生的“潛意識(shí)”，尤為關(guān)注“相異構(gòu)想”的發(fā)現(xiàn)與解決。既然學(xué)生自己能學(xué)會(huì)的教師不講，那么如何指導(dǎo)學(xué)生自己先學(xué)呢？可以組織學(xué)生先讀教材自學(xué)；也可以給出相應(yīng)的題目讓學(xué)生嘗試先做。教師組織學(xué)生通過(guò)先讀（閱讀教材）來(lái)自學(xué)，或者組織學(xué)生先做，即給出勾股定理逆命題，要求學(xué)生嘗試自己證明，但教學(xué)效果都不太理想。學(xué)生先讀，即時(shí)反饋是學(xué)生讀懂了接受了，但對(duì)這種證明方法的理解并不深刻；而學(xué)生先做，更是苦思冥想后仍然毫無(wú)頭緒，還是得回到教師講授環(huán)節(jié)。

筆者事后反思這一段教學(xué)實(shí)踐，恰恰是沒(méi)有很好地分析學(xué)生情況。本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)超越了學(xué)生的能力、是學(xué)生自己無(wú)法突破、自己無(wú)法學(xué)會(huì)的，因此在教師不加干預(yù)和引導(dǎo)的情況下組織學(xué)生先學(xué)基本就是無(wú)效的。這時(shí)候?qū)W生就需要教師的引導(dǎo)和幫助。

（三）基于腳手架支撐的教學(xué)設(shè)計(jì)

在總結(jié)了以上兩種教學(xué)設(shè)計(jì)的失敗教訓(xùn)和進(jìn)一步學(xué)習(xí)體會(huì)后“茶館式”教學(xué)思想、建構(gòu)主義教學(xué)理論，尤其是其中有關(guān)搭建腳手架的方法以后，筆者認(rèn)識(shí)到：勾股定理逆定理的證明過(guò)程中，他們的困難是沒(méi)能形成適當(dāng)?shù)穆?lián)想。如何幫助學(xué)生，從他們的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，形成自主構(gòu)建直角三角形的聯(lián)想呢？筆者選擇了設(shè)計(jì)問(wèn)題串、搭建腳手架的辦法，于是又有了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)踐。

復(fù)習(xí)引入，滲透方法。

（1）畫(huà)一個(gè)三角形，使兩邊長(zhǎng)分別為3和4，夾角為90°。

（2）請(qǐng)說(shuō)出你畫(huà)的直角三角形的斜邊長(zhǎng)為多少，為什么？

（3）再畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別為3、4和5。

想一想，這個(gè)三角形最大的角是多少度？看一看，這兩個(gè)三角形有什么關(guān)系？

再畫(huà)一個(gè)三角形，使它的三邊長(zhǎng)分別為5、12和13。

再想一想，這個(gè)三角形最大的角是多少度？

算一算：32+42=？52+122=？52=？132=？你能發(fā)現(xiàn)什么？

學(xué)生自己得出勾股定理的逆命題。推廣到一般情況，完成逆定理的證明。

圖2

已知：如圖2所示，在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c且a2+b2=c2。求證：△ABC是直角三角形。

這次的教學(xué)設(shè)計(jì)從復(fù)習(xí)勾股定理開(kāi)始就為逆定理的證明方法埋下伏筆，不再是簡(jiǎn)單地對(duì)定理內(nèi)容的敘述，而是直接通過(guò)具體問(wèn)題來(lái)運(yùn)用勾股定理，在逐漸深入的小問(wèn)題中，達(dá)到對(duì)自主構(gòu)造直角三角形，以及證明三角形全等的方法的滲透，最后把問(wèn)題推廣到一般化，就得到了勾股定理逆定理的證明。這里其實(shí)筆者就做了兩件事：一是了解學(xué)生的現(xiàn)有知識(shí)基礎(chǔ)和水平；二是搭好腳手架，引導(dǎo)學(xué)生在已有基礎(chǔ)上“跳一跳”，而達(dá)到“摘到桃子”的目的，即突破本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)的目標(biāo)。

三、不同教學(xué)方式效果對(duì)比

筆者對(duì)比上述三種不同的教學(xué)方式（見(jiàn)表1），并在研究過(guò)程中做了兩次測(cè)試，一次是當(dāng)堂測(cè)試；另一次是兩周后的延遲測(cè)試。測(cè)試問(wèn)題包括對(duì)勾股定理逆定理的運(yùn)用，也包括對(duì)勾股定理逆定理的證明。從測(cè)試反饋來(lái)看，無(wú)論采用哪一種教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生對(duì)勾股定理逆定理的運(yùn)用都掌握得比較理想，幾次測(cè)試的得分率沒(méi)有明顯差異；但是對(duì)勾股定理逆定理本身的證明，當(dāng)堂測(cè)試結(jié)果僅存在細(xì)微差異，而延遲測(cè)試的結(jié)果則非常懸殊。這說(shuō)明了前兩種教學(xué)方式中，學(xué)生沒(méi)有真正理解和掌握定理的證明方法，而通過(guò)搭建腳手架的方法，學(xué)生真正把證明方法內(nèi)化成了自己的東西，實(shí)現(xiàn)了自主建構(gòu)。

這里所說(shuō)的通過(guò)“搭建腳手架，引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)”能幫助學(xué)生更有效地突破教學(xué)難點(diǎn)，取得更好的教學(xué)效果，不僅僅是針對(duì)學(xué)生的學(xué)業(yè)成績(jī)，而是在三維教學(xué)目標(biāo)下分析學(xué)生的學(xué)習(xí)是否實(shí)現(xiàn)了增值。上述勾股定理逆定理證明例子的增值就不僅僅體現(xiàn)在知識(shí)與技能上，更多地體現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程與方法上。

表1 “勾股定理逆定理證明”的三種教學(xué)方式比較

從課堂上學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)來(lái)說(shuō)，用之前的教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)學(xué)生不是抓耳撓腮干瞪眼，就是低眉順眼聽(tīng)教師講解。而采用了問(wèn)題串腳手架的教學(xué)設(shè)計(jì)后，學(xué)生的思路打開(kāi)了，變得有話可說(shuō)、言之有物，真正領(lǐng)會(huì)了這種證明方法，能自己實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的建構(gòu)。

四、進(jìn)一步思考

搭建腳手架，為組織學(xué)生先學(xué)提供了一種模式。后“茶館式”教學(xué)從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)，以提高教學(xué)效能為目標(biāo)，提出了學(xué)生自己能學(xué)會(huì)的教師不講，教師要講學(xué)生說(shuō)不出的話。既然學(xué)生自己能學(xué)會(huì)的教師不講，那么要給學(xué)生自己先學(xué)的機(jī)會(huì)。如何組織學(xué)生先學(xué)呢？有時(shí)可以組織學(xué)生先讀，即通過(guò)閱讀教材來(lái)自己先學(xué)，實(shí)現(xiàn)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)與經(jīng)典文本的對(duì)話；有時(shí)可以組織學(xué)生先做，即直接把教學(xué)任務(wù)以習(xí)題的形式給學(xué)生嘗試先做，實(shí)現(xiàn)學(xué)生已有知識(shí)與新問(wèn)題的挑戰(zhàn)——這些經(jīng)驗(yàn)在代數(shù)課的教學(xué)上比較理想。對(duì)于幾何內(nèi)容，以上兩種先學(xué)的方法可能并不適合，尤其學(xué)生要深入理解幾何證明中的方法會(huì)有較大的困難。而搭建腳手架正好解決了幫助學(xué)生先學(xué)、自己完成對(duì)知識(shí)的構(gòu)建這一問(wèn)題。如上述案例中的腳手架就比較好地完成了這一任務(wù)。

設(shè)計(jì)腳手架，是對(duì)教師實(shí)踐智慧的一大挑戰(zhàn)。巧妙地設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)哪_手架來(lái)幫助學(xué)生自己構(gòu)建知識(shí)體系，要求教師對(duì)學(xué)科知識(shí)和學(xué)生情況都有精準(zhǔn)的把握和充分的了解。一方面，需要通過(guò)搭建腳手架來(lái)構(gòu)建的知識(shí)通常來(lái)說(shuō)是學(xué)科中的核心知識(shí)，至少也是某一節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)或難點(diǎn)，而不會(huì)是一些細(xì)枝末節(jié)的知識(shí)。因此，如何設(shè)計(jì)腳手架首先就是對(duì)教師本體知識(shí)的一次檢驗(yàn)。另一方面，搭建腳手架的目的是為了“讓學(xué)生跳一跳從而摘到桃子”。教師在設(shè)計(jì)腳手架時(shí)必須考慮學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)水平。本案例中原先教師一講到底，那時(shí)學(xué)生不用跳就有桃吃；后來(lái)要求學(xué)生在沒(méi)有任何啟發(fā)的條件下自己完成對(duì)勾股定理逆定理的證明，那又給學(xué)生設(shè)置了不可能完成的任務(wù)。這兩種教學(xué)設(shè)計(jì)的失誤究其原因是沒(méi)有對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平進(jìn)行細(xì)致充分的了解，也沒(méi)有對(duì)勾股定理逆定理的證明方法進(jìn)行更深入、透徹的研究。由此可見(jiàn)，搭建的腳手架必須直接服務(wù)于教學(xué)核心問(wèn)題而且難度設(shè)計(jì)恰當(dāng)，才能讓學(xué)生跳一跳，然后摘到桃子，這樣既能激發(fā)學(xué)生思考的積極性，也能有效地促進(jìn)學(xué)生智力的發(fā)展，還能切實(shí)提高課堂教學(xué)的有效性。

在針對(duì)“勾股定理的逆定理”這一課的教學(xué)實(shí)踐中，三種教學(xué)設(shè)計(jì)區(qū)別甚大，也帶來(lái)了教學(xué)效果的顯著差異。從中筆者更加深刻地體會(huì)到，巧妙搭建腳手架幫助學(xué)生自己完成對(duì)知識(shí)的建構(gòu)對(duì)于提高課堂教學(xué)有效性的重要作用。教學(xué)既是一門(mén)科學(xué)，同時(shí)也是一門(mén)藝術(shù)。了解學(xué)生實(shí)際的知識(shí)和能力水平，找準(zhǔn)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，準(zhǔn)確地把握設(shè)問(wèn)的難度，搭好教學(xué)的腳手架，是值得教師持之以恒地努力探索與實(shí)踐的。