江蘇省鹽城中學(xué) 喻崢惠

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)解題，解題教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有舉足輕重的地位與重要的現(xiàn)實(shí)意義.長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)解題教學(xué)始終擺脫不了“教師講解例題，學(xué)生練習(xí)強(qiáng)化”的固化模式.不可否認(rèn)，這種做法能夠在短時(shí)間內(nèi)快速提升學(xué)生的解題能力，但對(duì)于學(xué)生獨(dú)立探索與自主學(xué)習(xí)能力的形成卻收效甚微，學(xué)生一旦遇到“不熟悉”的題目就很可能出現(xiàn)“手足無(wú)措”的狀況，這也就導(dǎo)致了當(dāng)前的數(shù)學(xué)解題教學(xué)直接陷入“教師擔(dān)心講不到位，學(xué)生擔(dān)心練不全面”的焦慮中.“問(wèn)題鏈”可以有效彌補(bǔ)當(dāng)前解題教學(xué)存在的這些不足，在數(shù)學(xué)解題教學(xué)中引入問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)理念簡(jiǎn)直就是“如虎添翼”.下面筆者以一類(lèi)“含參函數(shù)的取值范圍”問(wèn)題為例談?wù)剬?duì)此的看法.

例題 已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a2-2b的取值范圍是______.

這類(lèi)多參數(shù)問(wèn)題一直是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，尤其是以二次函數(shù)作為載體呈現(xiàn)的含參取值問(wèn)題更是?？汲Ｐ?，正所謂“無(wú)參不成題”，隨著參數(shù)的增加，目標(biāo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)趨于復(fù)雜化，學(xué)生見(jiàn)了更是望而生畏，無(wú)從下手.

一、設(shè)計(jì)啟發(fā)式問(wèn)題鏈把握解題方向

對(duì)于這類(lèi)題的教學(xué)，教師不要急于拋出正確的解題思路，而應(yīng)該從宏觀的角度幫助學(xué)生準(zhǔn)確把握解題方向.萬(wàn)變不離其宗，這類(lèi)題看似陌生，其實(shí)也是基于學(xué)生熟悉的題型改編而來(lái)的，也同樣遵循通性通法.因此，設(shè)計(jì)啟發(fā)式的問(wèn)題鏈就顯得尤為重要.啟發(fā)式問(wèn)題鏈旨在通過(guò)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題預(yù)設(shè)喚醒學(xué)生的已有認(rèn)知，引導(dǎo)學(xué)生逐步走出思維的困境，克服畏難的情緒.

問(wèn)題1-1：以前有沒(méi)有做過(guò)類(lèi)似的題目，請(qǐng)舉例說(shuō)明？

這類(lèi)問(wèn)題的原型是“二次函數(shù)的零點(diǎn)分布”：已知函數(shù)f（x）=x2-x+b（b∈R）在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求b的取值范圍.

問(wèn)題1-2：零點(diǎn)分布問(wèn)題的解題思路是怎樣的？

零點(diǎn)分布問(wèn)題的一般處理技巧是利用數(shù)形結(jié)合思想，圍繞著“端點(diǎn)、△、對(duì)稱軸”三個(gè)角度寫(xiě)出約束條件，通過(guò)約束條件來(lái)求參數(shù)的取值范圍.

問(wèn)題1-3：這個(gè)問(wèn)題與零點(diǎn)分布問(wèn)題有什么區(qū)別？

與一般的零點(diǎn)分布問(wèn)題相比包含了多個(gè)參數(shù)，而且最后要求的并非是某個(gè)參數(shù)的取值范圍，而是一個(gè)“式子”，即目標(biāo)函數(shù)的取值范圍.

問(wèn)題1-4：這個(gè)問(wèn)題能否套用零點(diǎn)分布的解題思路？

問(wèn)題1-5：看到這組約束條件，你認(rèn)為存在什么困難？

主要困難有兩個(gè)：一是目標(biāo)函數(shù)中出現(xiàn)的非線性關(guān)系“a2＞4b”究竟表示什么幾何意義？二是如何建立約束條件與目標(biāo)函數(shù)“z=a2-2b”的聯(lián)系？

問(wèn)題1-6：如果分別用x，y替換a，b，那么上述兩個(gè)式子分別表示什么？

圖1

x2＞4y?y＜表示的是拋物線下方的區(qū)域；，z表示的是拋物線與可行域有交點(diǎn)時(shí)，在y軸上的截距的-2倍.

因此，如圖1所示，z=a2-2b∈（0，2）.

啟發(fā)式問(wèn)題鏈的最大優(yōu)點(diǎn)是學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，經(jīng)歷了一種抽絲剝繭式的思考過(guò)程，進(jìn)而使學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)解題思路，避免了教師“唱獨(dú)角戲”的尷尬.

二、設(shè)計(jì)遞進(jìn)式問(wèn)題鏈明確解題思路

遞進(jìn)式問(wèn)題鏈，是根據(jù)事物之間的必然聯(lián)系，利用正向或逆向的思維方式提出一連串的由淺入深的問(wèn)題組.相比啟發(fā)式問(wèn)題鏈的“啟發(fā)、誘導(dǎo)”功能，遞進(jìn)式問(wèn)題鏈所起的作用就是“推進(jìn)、驅(qū)動(dòng)”.教師把問(wèn)題分成若干個(gè)不同的層次，然后由淺入深地設(shè)計(jì)問(wèn)題，通過(guò)一環(huán)扣一環(huán)、一層進(jìn)一層的遞進(jìn)式提問(wèn)，在消除學(xué)生思維障礙的同時(shí)進(jìn)一步拓展學(xué)生思維的深度與廣度，使學(xué)生掌握解這一類(lèi)題的通性通法.

問(wèn)題2-1：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根、圖像的交點(diǎn)有什么聯(lián)系？

函數(shù)零點(diǎn)、方程根、圖像交點(diǎn)本質(zhì)是相同的，它們可以相互轉(zhuǎn)化，思考的視角不同引發(fā)了名稱上的差異.問(wèn)題2-2：嘗試?yán)梅匠谈囊暯菍?duì)例題進(jìn)行分析.問(wèn)題2-2-1：系數(shù)a、b與方程的根有什么聯(lián)系？能否用方程的根來(lái)表示系數(shù).

韋達(dá)定理是溝通根與系數(shù)關(guān)系的橋梁，設(shè)函數(shù)f（x）在（0，1）上的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2∈（0，1），則所以

問(wèn)題2-2-2：上述解題思路的核心是什么？

本質(zhì)上是換元思想，用根來(lái)表示系數(shù)，使目標(biāo)函數(shù)的形式發(fā)生變化，變得容易求值.一般情況下，我們習(xí)慣上用系數(shù)來(lái)表示根，但現(xiàn)在也可以嘗試用根來(lái)表示系數(shù).

問(wèn)題2-3：嘗試從圖像交點(diǎn)的視角對(duì)例題進(jìn)行分析.

問(wèn)題2-3-1：能否把函數(shù)f（x）=x2+ax+b的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖像的交點(diǎn)問(wèn)題？

f（x）=x2+ax+b=0?-x2=ax+b，零點(diǎn)問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題.

問(wèn)題2-3-1能否用圖像的交點(diǎn)視角解決例題？

由于目標(biāo)函數(shù)a2-2b很難直接與“圖像交點(diǎn)”聯(lián)系起來(lái)，所以此方法不是很有效.

問(wèn)題2-4：提煉此類(lèi)問(wèn)題的解題策略.

關(guān)鍵是要對(duì)零點(diǎn)、方程的根、圖像交點(diǎn)進(jìn)行靈活轉(zhuǎn)換.

問(wèn)題3：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間（0，1）上有兩個(gè)零點(diǎn)，則3a+b的取值范圍是______.

問(wèn)題3-1：嘗試用零點(diǎn)、方程的根、圖像交點(diǎn)三種視角解決此題.

圖2

方法1：零點(diǎn)視角

結(jié)合圖2容易得3a+b∈（-5，0）.

方法2：方程根視角

方法3：圖像交點(diǎn)視角

f（x）=x2+ax+b=0?-x2=ax+b，令f1（x）=-x2，f2（x）=ax+b，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f1（x）與f2（x）有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求f2（3）的取值范圍.如圖2所示，兩個(gè)臨界位置為當(dāng)直線f2（x）=ax+b與f1（x）=-x2相切于原點(diǎn)和點(diǎn)（1，-1）.當(dāng)相切于點(diǎn)（1，-1）時(shí)，容易求得a=-2，b=1，則f2（x）=-2x+1，所以f2（3）=3a+b∈（-5，0）.

意圖：使學(xué)生能夠熟練應(yīng)用三種視角解決問(wèn)題，掌握等價(jià)轉(zhuǎn)化的技巧，明確解題的入手點(diǎn).

問(wèn)題4：已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）在區(qū)間［0，1］上有零點(diǎn)，則ab的最大值是______.

問(wèn)題4-1：嘗試用最簡(jiǎn)便的方法解決這道題.

此題與例題和問(wèn)題3比較存在著細(xì)微的差異，那就是“有零點(diǎn)”，而不是“有兩個(gè)零點(diǎn)”，這就意味著“零點(diǎn)”的不確定性.那么在零點(diǎn)與方程根的視角下考慮就需要分類(lèi)討論，過(guò)程會(huì)比較煩瑣.因此，轉(zhuǎn)化為圖像交點(diǎn)問(wèn)題是不錯(cuò)的選擇.

意圖：讓學(xué)生更加關(guān)注問(wèn)題的細(xì)節(jié)，關(guān)注深度思考，實(shí)現(xiàn)從一題多解到方法抉擇的跨越.

三、設(shè)計(jì)遷移式問(wèn)題鏈拓展解題視野

數(shù)學(xué)解題教學(xué)的目的不僅僅是讓學(xué)生掌握一道題或者一類(lèi)題的解法，而是在于深入挖掘隱藏在解法背后的數(shù)學(xué)思想，從而把一類(lèi)解法推廣應(yīng)用到其他類(lèi)型的題目上.因此，問(wèn)題鏈設(shè)計(jì)還應(yīng)考慮問(wèn)題的可遷移性，一個(gè)具有遷移性的問(wèn)題能夠從橫向或縱向蘊(yùn)含其他重要問(wèn)題的解決方案.

問(wèn)題5-1：回顧上述解題過(guò)程，思考方程根視角與圖像交點(diǎn)視角解題，目標(biāo)函數(shù)的最值（取值范圍）在什么時(shí)候取到？

不難發(fā)現(xiàn)，在用方程根視角解題時(shí)，目標(biāo)函數(shù)往往在“端點(diǎn)處”取到最值；在用圖像交點(diǎn)視角解題時(shí)，目標(biāo)函數(shù)一般在“切線”處取到最值.

問(wèn)題5-2：上述兩種思想方法背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)是什么？

方程根視角蘊(yùn)含著“以值代參”的思想方法，即用確定的值來(lái)替換參數(shù)的取值，這叫“以靜制動(dòng)”；圖像交點(diǎn)視角蘊(yùn)含著“以直代曲”的思想方法，即用切線來(lái)刻畫(huà)曲線的趨勢(shì)，從而使復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)變化得以簡(jiǎn)化.

問(wèn)題6：已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R），且a≠0，記M（a，b，c）為｜f（x）｜在區(qū)間［0，1］上的最大值，則的最大值是______.

問(wèn)題6-1：此題能否用“以值代參”的數(shù)學(xué)思想解決？

解析：a+b+2c=f（1）+f（0）≤2M（a，b，c），即≤2，因?yàn)槎魏瘮?shù)在閉區(qū)間上的最值顯然可以在端點(diǎn)處取到，所以的最大值是2.

問(wèn)題7：已知函數(shù)f（x）=ln（ax+b）+x2（a≠0），若f（x）≤x2+x恒成立，則ab的最大值是______.

問(wèn)題7-1：此題能否用“以直代曲”的數(shù)學(xué)思想解決？

解析：f（x）≤x2+x?ln（ax+b）≤x?ex≥ax+b.要使曲線恒在直線上方，即直線為曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為（x0，ex0），則k=a=ex0，b=ex0（1-x0），所以ab=e2x0（1-x0）；令g（x0）=e2x0（1-x0），則g′（x0）=e2x0（1-2x0），所以g（x0）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.所以

意圖：解題需要“套路”，但“過(guò)死”的套路有時(shí)反而會(huì)成為解題的障礙.通過(guò)對(duì)上述兩個(gè)問(wèn)題的解決，解題思想方法明顯變得“活絡(luò)”，學(xué)生充分感受到“以不變的思想方法應(yīng)對(duì)千變?nèi)f化的題目”的解題理念.

以上介紹了三種數(shù)學(xué)問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)案例，當(dāng)然問(wèn)題鏈的種類(lèi)遠(yuǎn)不止這三種，我們可以根據(jù)解題教學(xué)的實(shí)際需求設(shè)計(jì)更多類(lèi)型的問(wèn)題鏈，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題——解決問(wèn)題——再發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的不斷往復(fù)循環(huán)的過(guò)程中得到發(fā)展與提升.