錢麗麗

【摘要】正弦型函數(shù)是三角函數(shù)部分很重要的一個內容，它是三角函數(shù)知識點的一個內容深化，但正弦型函數(shù)的圖像繪制比較煩瑣，所以在教學中往往被忽略，不利于學生對三角函數(shù)的學習，幾何畫板則能很好地解決這一問題.本文中通過幾何畫板繪制正弦型函數(shù)靜態(tài)和動態(tài)圖像來演示函數(shù)圖像與它參數(shù)間的關系.

【關鍵詞】幾何畫板;正弦型函數(shù);圖像;參數(shù)

正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在物理和數(shù)學教學中都有著很重要的作用.函數(shù)中的參數(shù)A，ω，φ分別表示物理學上波的振幅、頻率和初相，在數(shù)學教學中它是在學習三角函數(shù)后知識點的一個延伸和補充，也是對三角函數(shù)認識的一個深化，但正弦型函數(shù)圖像的繪制比較煩瑣，繪制過程往往被忽略，不利于學生對三角函數(shù)學習.使用幾何畫板制作函數(shù)圖像有著明顯的優(yōu)勢，它能很容易地演示出參數(shù)與函數(shù)圖像間靜態(tài)或動態(tài)的關系，且制作課件過程相對比較簡單，不需要掌握高深的編程技巧，文中所用的幾何畫板為5.06最強中文版，下面運用幾何畫板的強大功能從函數(shù)圖像的靜態(tài)和動態(tài)制作來演示函數(shù)圖像與參數(shù)之間的關系.

一、用描點法作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）函數(shù)圖像

引例 觀察摩天輪圖片，假設摩天輪的半徑為r，旋轉的角速度為ω弧度/秒，點P0表示座椅的初始位置，初始角度記為φ，當輪子逆時針旋轉t秒后，點P0到達點P位置，則點P對應的縱坐標y與時間t的函數(shù)關系式為y=rsin（ωt+φ），作出當r=20，ω=π12φ=π6時相應的函數(shù)圖像.

分析 相應函數(shù)圖像為y=20sinπ12t+π6，當我們要作出一個不熟悉的函數(shù)圖像時，首先想到的是描點法，但用描點法手工繪制正弦函數(shù)型圖像，不僅計算量大，描點煩瑣，且極容易產生誤差，借助幾何畫板的強大功能則能輕松解決這些問題.下面給出具體繪制步驟：

（1）打開幾何畫板軟件，點擊菜單欄的“編輯/參數(shù)選項”，先把角的單位設置為“弧度”;

（2）建立直角坐標系，“繪圖/定義坐標系/隱藏網(wǎng)格”，隱藏網(wǎng)格是為了繪圖區(qū)顯得整潔清晰;

（3）制作表格，先設置參數(shù)及對應函數(shù)值的初始值，并設定參數(shù)t的范圍在區(qū)間[-30，20]內，取值間隔為0.5，計算出相應的y值做成表格，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)繪制點.“數(shù)據(jù)/新建參數(shù)”，設置t=的值為20，得“t=20”，“數(shù)據(jù)/計算”，輸入“20sinπ12t+π6”，結果顯示“20sinπ12t+π6=-10”，修改結果的標簽為“y=-10”;

（4）同時選中“t=20”和“y=-10”，“數(shù)據(jù)/制表”，得到表格，選中“t=20”，“右擊/屬性/參數(shù)”，選擇鍵盤“+/-”調節(jié)以0.5單位，選中“t=20”和生成的表格，反復按“-”鍵，直至“t=-30”，繼續(xù)選中“t=-30”和表格，再反復按“+”鍵直至表格中的t=20，表格自動生成;

（5）描點：“選中右擊表格/繪制表中數(shù)據(jù)”，即可在坐標系中繪制出相應的點;

（6）連線：在t軸上畫一點A，“度量”出A點的橫坐標，并“計算”出此時A點對應的函數(shù)值，選擇A點的橫、縱坐標“繪制點”P（xA，yA），選中點P，“顯示/追蹤繪制的點”，然后雙向拖動橫軸上的點A，點P的運動軌跡把繪制的點連成一條曲線.

用描點法可作出正弦型函數(shù)的靜態(tài)圖，這里用到的列表、描點、連線的方法，也可以用到“五點法作正弦型函數(shù)在一個周期內的圖像”，但要想知道正弦型函數(shù)中各參數(shù)與函數(shù)圖像的關系及參數(shù)的改變對圖像的影響，必須制作動態(tài)的函數(shù)圖像來討論.

二、制作y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的動態(tài)圖像

從引例中看出，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的三個參數(shù)A，ω，φ分別表示摩天輪的半徑，旋轉的角速度以及動點的初始角度，因此，制作函數(shù)圖像可以先制作一個半徑可調節(jié)的圓，圓半徑的變化即為A的變化，同時圓上取一動點D，度量∠COD的大小作為初相位φ，隨著點D的運動來改變φ，而角速度的變化通過圓的旋轉快慢來演示相對比較困難，而且做出的函數(shù)圖像只能在一個周期內，因此，在下面的繪制中，通過繪制線段條、改變線段的長度來體現(xiàn).

（1）“繪圖/定義坐標系”，設置角度單位為弧度;

（2）繪制可調節(jié)大小的圓：過原點作線段OA（如果不限定振幅的最大值可以作射線），在OA上取一點B，選中O，B，“構造/以圓心和圓周上的點”繪制圓O;“隱藏”線段OA，“度量”出OB的距離，標簽改為“A”;

（3）設置“振幅增大/縮小”按鈕：選中點B，“編輯/操作類按鈕/動畫”，方向：“向前/向后”，速度：其他/輸入0.1.其中方向“向前”表示“振幅增大”，“向后”表示“振幅縮小”，標簽設置為“振幅增大”和“振幅縮小”;

（4）繪制初相位角：選中圓O和x軸，“構造/交點”C，在圓周上任作一點D，選中點C和點D，構造—線段，依次選中點C，O，D，“度量—角度”，標簽改為“φ”;點擊畫板左側的標記工具，在∠COD內做出角的記號;

（5）設置“初相位角正/負”兩個按鈕：選擇點D，“編輯/操作類按鈕/動畫”，方向：“逆時針/順時針”，速度：“中速”，標簽設置為“初相位正角”和“初相位負角”;

（6）制作角速度條：選中x軸，“構造/軸上的點”，標記為E，選中點E和x軸，“構造/垂線”，在垂線上取一點F，F(xiàn)在E點上方，“隱藏垂線”，“構造”線段EF，在EF上取一點G，G可在線段EF之間運動，選中點E，G，“度量/距離”，標簽“EG”改為“ω”;

（7）設置“角速度增大/減小”按鈕：選中點G，“編輯/操作類按鈕/動畫”，方向：“向前/向后”，速度：其他/輸入0.02，標簽設置為“角速度增大/減小”;

（8）在x軸上畫一點M，選中M，“度量/橫坐標”;

（9）求出動點M對應的函數(shù)值：“數(shù)據(jù)/計算”，在彈出的小鍵盤上輸入“A的值”*sin（“ω的值”*“M點的橫坐標”+“φ的值”），此時得到點M的函數(shù)值;

（10）繪制曲線上的動點P：選中“M點的橫坐標”和“M點的函數(shù)值”，“繪圖/繪制點P”;

（11）選中點P和點M，“構造/軌跡”.

（12）隱藏不需要用到的點和線段.

（13）選擇“文件/保存”，文件名為“繪制正弦型函數(shù)動態(tài)圖”.

正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像與性質

如果不追究正弦型函數(shù)的參數(shù)來源，還可把三個參數(shù)都用三個不同的線段條表示出，用改變線段條的長短來改變參數(shù)值，其做法與上述做法中角速度的線段條做法相同.

三、繪制函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的彩色圖像

我們在改變初相位，觀察函數(shù)圖像平移的時候，往往會眼花繚亂，除了可在函數(shù)圖像上做一個標記外，還可以對圖像進行色彩設置以示區(qū)分.制作方法如下：

（1）打開文件名為“繪制正弦型函數(shù)動態(tài)圖”，“顯示/顯示所有隱藏”;

（2）選中函數(shù)圖像，按“delete”鍵清除圖像，選中點P和“φ的值”，“顯示/顏色/參數(shù)”，彈出“顏色參數(shù)”對話框，在“參數(shù)范圍”欄兩個框中分別輸入“-3.14”和“3.14”，單擊“確定”，關閉對話框.

（3）依次選中點M和點P，“構造/軌跡”，做出正弦型函數(shù)圖像;

（4）選中點D，“編輯/操作類按鈕/動畫”，并把標簽設置為“改變圖像顏色”

（5）選擇“文件/保存”，文件名為“繪制正弦型函數(shù)的彩色圖像”.

四、結束語

用幾何畫板繪制正弦型函數(shù)的方法很多，比如，在給出某個已知函數(shù)的情況下，可以利用幾何畫板中的函數(shù)功能直接畫出該函數(shù)的靜態(tài)圖像，還可以給正弦型函數(shù)的三個參數(shù)各設置一個初始值，選中參數(shù)，制作“動畫”按鈕，輸入讓參數(shù)更改數(shù)據(jù)的范圍和間隔的時間，設定好了以后，控制按鈕，參數(shù)值會自動更改，也可呈現(xiàn)出動態(tài)效果，能很容易觀察參數(shù)變化與函數(shù)圖像變化的關系.因為制作過程比較簡單，所以在此就不再另外演示了.

【參考文獻】

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