【摘要】函數(shù)的可導性問題是高等數(shù)學中的一個重點和難點，尤其是分段函數(shù)在分段點處的可導性問題。本文以洛必達法則推得一個由導函數(shù)判斷分段函數(shù)分段點處可導性的新方法。

【關鍵詞】洛必達法則 可導性 導函數(shù)極限

高等數(shù)學中函數(shù)在某點處尤其是分段函數(shù)在分段點處的可導性判定是個重點也是難點，教材中多以定義判定，但定義法往往不是最簡便、最實用的方法?？紤]到分段點左右兩側導函數(shù)一般都很容易得到，且很多情況下已知某點左右兩側導函數(shù)，能否借助導函數(shù)來討論函數(shù)的可導性呢？學習完洛必達法則之后，可導出一種新的判定方法。

預備 洛必達法則的適用條件：

由于連續(xù)是可導的必要條件，不連續(xù)必不可導，連續(xù)不一定可導，下面我們由洛必達法則推得連續(xù)函數(shù)于某點處可導性的判定方法。

定理：設函數(shù)f（x）在x0處連續(xù)，且在x0的某去心鄰域內可導。

證明：由導數(shù)的定義，考察函數(shù)在某點處可導性，需考察極限存在性。

∵函數(shù)f（x）在x=x0連續(xù)，

由洛必達法則

定理表明：連續(xù)函數(shù)在某點處的可導性問題可轉化為求該點去心鄰域內導函數(shù)的極限問題。

∴f（x）在x=0處可導，且f'（0）=0。

用該定理討論分段函數(shù)分段點處的可導性時，常常需要考察分段函數(shù)在分段點處兩側鄰域內的導函數(shù)極限，左極限存在左可導，右極限存在右可導，左右極限都存在且相等則函數(shù)于該點可導。

∴函數(shù)f（x）在x=0處是連續(xù)的

因此f（x）在x=1處連續(xù)

以上由洛必達法則推得的一個借助導函數(shù)極限判斷函數(shù)可導性的方法還是較為實用的。提醒注意使用條件，不要死搬硬套。先看是否連續(xù)，不連續(xù)必不可導，若連續(xù)，再查兩側鄰域內導函數(shù)的極限，極限存在則可導;極限為∞則不可導;極限不存在且非∞定理失效。

參考文獻：

[1]同濟大學應用數(shù)學系主編? 高等數(shù)學（第五版，上冊）高等教育出版社

[2]馬志敏? 高等數(shù)學輔導同濟大學（同濟五版） 中山大學出版社