楊章林，胡 斌，賈會星

（滁州職業(yè)技術(shù)學(xué)院汽車工程系，安徽滁州239000）

0 引言

曲軸是現(xiàn)代發(fā)動機(jī)重要的轉(zhuǎn)動部件，不僅連接連桿、飛輪等部件，也承受著復(fù)雜的載荷[1]。曲軸過度振動引起的故障，會破壞發(fā)動機(jī)的正常工作。根據(jù)機(jī)械振動理論中無阻尼振動可知：振動與零件或者機(jī)構(gòu)本身的固有頻率有關(guān)。通過曲軸的固有頻率表明：當(dāng)曲軸被外部瞬態(tài)激勵時，將發(fā)生一定頻率的振動。在這種情況下曲軸更容易產(chǎn)生疲勞裂紋，更嚴(yán)重情況下會出現(xiàn)曲軸的斷裂，造成非常嚴(yán)重的后果。因此，在設(shè)計發(fā)動機(jī)曲軸的時候，曲軸的模態(tài)分析是非常重要的環(huán)節(jié)[2-3]。本文以四缸發(fā)動機(jī)曲軸為例，分析了模態(tài)，得到固有頻率和振型圖；再通過有限元中諧響應(yīng)模塊對該曲軸進(jìn)行諧響應(yīng)分析，得到最大的應(yīng)力和頻率、應(yīng)變和頻率的關(guān)系；最后，使用OptiStruct軟件優(yōu)化曲軸的一階固有頻率。這里，以某汽車發(fā)動機(jī)的曲軸參數(shù)建立三維模型來進(jìn)行分析，如圖1所示。

圖1 曲軸三維模型

1 曲軸模態(tài)分析

1.1 曲軸網(wǎng)格劃分

曲軸結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，在有限元求解之前首先要進(jìn)行幾何清理工作，其目的在于減少一些對求解結(jié)果影響不大又影響計算效率的一些結(jié)構(gòu)，如曲軸中工藝孔，工藝角及油道[4]。簡化后的曲軸采用六面體網(wǎng)格的處理，能夠保證有限元分析結(jié)果的精度。材料定義為：材料為40Cr，彈性模量為2.06×105MPa，泊松比為0.3，密度為7 850kg/m3。圖2所示為曲軸網(wǎng)格。

圖2 曲軸網(wǎng)格

1.2 曲軸有限元中的設(shè)置

大量的理論和實(shí)踐證明：系統(tǒng)中，固有頻率和振型受到阻尼的影響較小，所以在求解時，可以不計阻尼的影響[5]。模態(tài)分析研究的本質(zhì)實(shí)際上是結(jié)構(gòu)的固有屬性，它與外部載荷的存在與否無關(guān)。結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動方程為[6-7]

式中：

[M]—結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；

[K]—結(jié)構(gòu)剛度矩陣；

{}—節(jié)點(diǎn)加速度矢量；

{U}—節(jié)點(diǎn)位移矢量。

根據(jù)公式（1）結(jié)構(gòu)無阻尼自由振動方程可知，曲軸固有頻率跟加載無關(guān)，所以采用模態(tài)分析的結(jié)果無外部載荷。在HyperMesh軟件中的坐標(biāo)系符合笛卡爾坐標(biāo)系的原則，如圖3所示，其坐標(biāo)系為HyperMesh坐標(biāo)系，曲軸兩端紅色區(qū)域?yàn)榧s束端，即約束曲軸X，Y，Z的轉(zhuǎn)動和移動。

圖3 模態(tài)工況模型

1.3 結(jié)果觀察

利用HyperMesh求解，進(jìn)入后處理模塊，依次可以得到曲軸各階模態(tài)的固有頻率、振型的具體情況，該曲軸前六階固有頻率和振型如圖4所示。

圖4 曲軸前6階振型圖

根據(jù)以上曲軸前6階振型圖可以得到表1曲軸模態(tài)分析結(jié)果，其中，1、2兩階相差16.4Hz，差值最小，很容易出現(xiàn)破壞。

表1 曲軸模態(tài)分析結(jié)果

2 諧響應(yīng)分析

曲軸的模態(tài)分析表明：階數(shù)與固有頻率呈單調(diào)遞增的趨勢。第一階振型圖中的固有頻率不出現(xiàn)共振則往后的階數(shù)都不會出現(xiàn)共振。所以，對曲軸進(jìn)行諧響應(yīng)分析，找到應(yīng)力-頻率和應(yīng)變-頻率的最大峰值情況。以上文的模態(tài)分析為基礎(chǔ)，本文對曲軸進(jìn)行諧響應(yīng)分析采用模態(tài)疊加法[8]。

從圖4和表1可以得到：曲軸固有頻率范圍為345.5～981.6Hz,因此諧響應(yīng)給激振頻率范圍取300～1 000Hz，載荷步數(shù)取10，并選取曲軸外表面作為響應(yīng)面進(jìn)行諧響應(yīng)分析，目的是找到應(yīng)力、應(yīng)變、頻率之間的關(guān)系并得到最大峰值初步位置，如圖5、6所示。

圖5應(yīng)力-頻率圖和圖6應(yīng)變-頻率圖出現(xiàn)的情況都是在X、Y、Z三個方向上的應(yīng)力峰值處于400～500Hz之間，到達(dá)峰值之后開始下降，在超過700Hz之后應(yīng)力和應(yīng)變有一定趨勢的反彈上升現(xiàn)象，但是沒有超過在400～500Hz之間的峰值。

圖5 應(yīng)力-頻率曲線圖

圖6 應(yīng)變-頻率曲線圖

3 固有頻率優(yōu)化

上面的諧響應(yīng)分析顯示了曲軸的應(yīng)力和應(yīng)變峰值出現(xiàn)在400～500Hz之間。為了避免這種情況，通過優(yōu)化軟件OptiStruct軟件對曲軸的第1階和第2階固有頻率進(jìn)行優(yōu)化，根據(jù)模態(tài)分析的結(jié)果可知：階數(shù)與固有頻率成單調(diào)遞增的趨勢，所以為了求解方法和減少計算量，在進(jìn)行優(yōu)化的時候，僅對曲軸的第1階固有頻率進(jìn)行優(yōu)化，使固有頻率提高到500Hz以上。

3.1 OptiStruct內(nèi)部優(yōu)化流程

優(yōu)化設(shè)計時，需要考慮三個要素，即設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件[9]。設(shè)計變量是發(fā)生改變來獲得性能提高的參數(shù)；目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計變量相關(guān)，要求設(shè)計性能的最優(yōu)；約束條件是對設(shè)計進(jìn)行限制，是對設(shè)計變量和其他性能的要求[10]。優(yōu)化屬性模型可表述為[11]

對曲軸來說其中X=(x1,x2???,xn)，對應(yīng)曲軸外形參數(shù)為設(shè)計變量，f(X)對應(yīng)有限元模態(tài)分析之后的第1階固有頻率為優(yōu)化目標(biāo)，g（X）和hk（X）對應(yīng)曲軸應(yīng)力和應(yīng)變大小為約束條件。根據(jù)優(yōu)化屬性模型可知，OptiStrcut軟件優(yōu)化可以對設(shè)計變量、優(yōu)化目標(biāo)和約束三個主要要素進(jìn)行定義。

首先定義設(shè)計變量：根據(jù)之前諧響應(yīng)分析的結(jié)果和拓?fù)鋬?yōu)化理論公式得到優(yōu)化目標(biāo)為曲軸的1階固有頻率。優(yōu)化設(shè)計變量為曲軸外形參數(shù)，即X=(x1,x2,…，xn)對應(yīng)曲軸外形參數(shù)。

定義約束：根據(jù)固有頻率、剛度、體積三則的關(guān)系選取體積分?jǐn)?shù)作為約束條件。但是對于OptiStrcut必須定義相應(yīng)的響應(yīng)，完成響應(yīng)之后才能其定義約束條件。定義曲軸體積分?jǐn)?shù)響應(yīng)和頻率響應(yīng)，并把體積分?jǐn)?shù)響應(yīng)作為約束條件，即優(yōu)化變量為體積分?jǐn)?shù)。

定義目標(biāo)：根據(jù)之前分析的結(jié)果，優(yōu)化曲軸的第1階固有頻率345.5Hz，把定義好的第一階固有頻率響應(yīng)定義給優(yōu)化目標(biāo)，即f(x1,x2,…，xn)為曲軸的第1階固有頻率345.5Hz。

3.2 優(yōu)化的結(jié)果

完成OptiStruct軟件設(shè)置之后進(jìn)行求解得到第1階固有頻率的優(yōu)化曲線圖7和體積分?jǐn)?shù)變化圖8。

圖7 優(yōu)化結(jié)果曲線圖

圖8 體積分?jǐn)?shù)變化圖

圖7橫坐標(biāo)為優(yōu)化迭代次數(shù)，縱坐標(biāo)為第1階固有頻率。從圖中可以看出，經(jīng)過5次優(yōu)化迭代后，曲軸的一階固有頻率從最初的300Hz上升到504Hz，固有頻率在5次迭代后趨于穩(wěn)定。從圖8可以得到優(yōu)化軟件5次的迭代優(yōu)化體積分?jǐn)?shù)從0.805下降到0.705，5次之后的迭代體積分?jǐn)?shù)幾乎不變。優(yōu)化后體積分?jǐn)?shù)減少了0.1，根據(jù)無阻尼自由振動方程可知，體積分?jǐn)?shù)下降固有頻率會上升，因此優(yōu)化結(jié)果是合理的。同時，也為曲軸輕量化設(shè)計提供了可能。

4 結(jié)論

本文對曲軸進(jìn)行模態(tài)分析、諧響應(yīng)分析及拓?fù)鋬?yōu)化我們可以得到：

1）利用HyperMesh進(jìn)行模態(tài)分析找出該曲軸的固有頻率，避免曲軸在研發(fā)和設(shè)計過程中出現(xiàn)的共振，但是在該曲軸加載的時候采用兩端固定的方式加載，這樣加載方式雖然符合無阻尼振動方程，但是剛度較大，在接下來研究當(dāng)中應(yīng)該放在曲軸有限元的模態(tài)分析加載方式上。

2）利用Workbench中諧響應(yīng)模塊得到曲軸在400～500Hz之間出現(xiàn)應(yīng)力和應(yīng)變的峰值。

3）使用OptiStruct軟件優(yōu)化一階固有頻率。優(yōu)化設(shè)計的結(jié)果是使一階的固有頻率增加到504Hz，以避免諧響應(yīng)的峰值現(xiàn)象。

4）進(jìn)行固有頻率優(yōu)化的時候體積分?jǐn)?shù)從0.805下降到0.705，減少的0.1體積分?jǐn)?shù)雖然很小，但是可以為曲軸的整體輕量化提供理論參考。