吳炳耀，梁明杰

（1.福建師范大學 數(shù)學與信息學院，福建 福州 350007；2.三明學院 信息工程學院，福建 三明 365004）

本文考慮半直線上[0，∞）以0 為反射邊界的一維擴散過程，該過程對應(yīng)的無窮小生成元為

其中a（x）＞0。 擴散過程遍歷性的研究有很長的歷史，相關(guān)結(jié)論已經(jīng)豐富且完善，具體可以參考著作[1-2]和文獻[3-10]。 著作[1]給出如下半直線上[0，∞）以0 為反射邊界的一維擴散過程遍歷性相關(guān)性質(zhì)的判別準則，見表1。

表1 中“(*)+…”表示第一行中唯一性成立的判別條件再加上條件“…”，而最后一行的Nash 不等式僅限制于v＞2 的情形。一般，表中所列出來的性質(zhì)從上到下逐行增強，但也有例外，對數(shù)Sobolev不等式和強遍歷通常是不可比的，參見著作[2]第275～276 頁例子5.8.1～5.8.2。

表1 一維擴散過程若干遍歷性的判別準則

在實際的應(yīng)用當中，通常情況下，已經(jīng)知道擴散過程遍歷，所以該如何給出遍歷擴散過程滿足更強遍歷性質(zhì)的充分條件是有意義且值得探討的問題。 本文的目的就在于填補上述問題的空白，特別是給出遍歷擴散過程何時滿足指數(shù)遍歷、離散譜存在、強遍歷等性質(zhì)的充分條件，進一步逐一舉例說明這些充分條件的必要性。 最后，給出半直線[0，∞）上以0 為反射邊界的一維擴散過程和上Ζ+生滅過程無窮小生成元形式上的對應(yīng)關(guān)系。 關(guān)于生滅過程和擴散過程的一些重要性質(zhì)可以參見著作[11-12]。

1 主要結(jié)果和證明

命題1 設(shè)半直線[0，∞）上以0 為反射邊界的一維擴散過程遍歷，則下面的結(jié)論成立：

（I）若

那么該過程指數(shù)遍歷。

（II）若

則過程的離散譜存在。

（III）若

那么該擴散過程滿足對數(shù)Sobolev 不等式。

（IV）若

那么過程滿足Nash 不等式。

（V）若

那么過程強遍歷。

證明：由于結(jié)論(I)～(IV)的證明方法類似，為了簡便起見，只給出結(jié)論(I)的證明過程。 結(jié)論(V)的證明方法有別于結(jié)論(I)～(IV)，將單獨給出結(jié)論(V)的詳細證明。

即過程指數(shù)遍歷。

（V）對任意 n≥1

根據(jù)柯西定理可知，存在 ξ∈（n-1，n），使得

給出5 個例子來逐一說明命題1 中各個充分條件的必要性，這些例子受文獻[1]，第154 頁表8.3的啟發(fā)。

例 1 設(shè) a（x）=（1+x）γ，b（x）=0，其中 1＜γ＜0，則 C（x）=0

而

故過程不是指數(shù)遍歷的。 注意到，此時

故條件(I)不滿足。

例 2 設(shè) a（x）=（1+x）2，b（x）=0，則

另一方面，由于

即過程離散譜不存在。

進一步

故條件(II)不成立。

例 3 設(shè) a（x）=（1+x）2lg1/2（x+e），b（x）=0，那么，C（x）=0，且

即過程的離散譜存在。

這樣對數(shù)Sobolev 不等式不成立。

而

故(III)不成立。

例 4 設(shè) a（x）=（1+x）2lgγ（x+e），b（x）=0，其中 γ＞1，那么，C（x）=0，

另一方面，根據(jù)

可知

因此Nash 不等式不成立。

此時

故(IV)不成立。

例 5 令 a（x）=（x+1）2lg（x+e），b（x）=0，則 C（x）=0，且

此時，

故條件(V)不成立。

下面給出半直線上以為反射邊界的一維擴散過程和上生滅過程生成元形式對比的一個注記。

注1 一維擴散過程的無窮小生成元為

其中 a（x）＞0。 Z+上生滅過程的無窮小生成元為

其中 ai＞0 和 bi＞0。

如果將Z+取值上函數(shù)的一階變差理解為

而將函數(shù)f 的二階變差理解為

那么(7)可化為

對比(6)和(8)可知，a（x）與 ai∧bi相互對應(yīng)，b（x）與 bi-ai相互對應(yīng)。 特別的，當 ai-bi=0 即 ai=bi時，生滅過程對應(yīng)于擴散過程b（x）=0 的情形。上述系數(shù)關(guān)系在著作[1]，第154 頁表8.2，表8.3]中例子中得以充分體現(xiàn)。