蔣林芝，彭少策

（1、廣州大學(xué)土木工程學(xué)院 廣州 510006；2、廣州大學(xué)工程抗震研究中心 廣州 510405）

0 引言

廣義的地下空間是一個(gè)無界且不規(guī)則的開放系統(tǒng)，而就實(shí)際工程而言，結(jié)構(gòu)本身和結(jié)構(gòu)的鄰近地基介質(zhì)才是我們研究的重點(diǎn)內(nèi)容，因此可以把地下結(jié)構(gòu)動(dòng)力反應(yīng)問題歸結(jié)為是對(duì)近場(chǎng)波動(dòng)問題的研究。為了使計(jì)算的有限域滿足外部無限域?qū)ζ涞挠绊?，考慮引入虛擬的人工邊界，設(shè)置滿足散射波的ABC（Artificial Boundary Condition）人工邊界條件。近年來，關(guān)于人工邊界的研究已經(jīng)取得了許多成果，其中最廣為人知有Lysmer 等人［1］基于一維波動(dòng)理論提出的粘性人工邊界，Deeks 等人［2］基于柱面波動(dòng)方程提出的粘彈性人工邊界。其中粘彈性邊界由于其穩(wěn)定性良好且精度較高引起了一些學(xué)者更為深入的研究，劉晶波等人［3］基于彈性全空間理論推導(dǎo)了三維的粘彈性人工邊界，張波等人［4］采用平面波在三維粘彈性人工邊界下進(jìn)行地震波動(dòng)的輸入并開展了數(shù)值模擬，取得了較高的精度。

人工邊界現(xiàn)在已經(jīng)廣泛應(yīng)用于有限元軟件如ABAQUS、ANSYS［5-7］中。在此基礎(chǔ)上考慮下臥為剛性基巖發(fā)展的有限元方法為：取出結(jié)構(gòu)和鄰近土體并人為假定有限計(jì)算區(qū)域，下部邊界模擬剛性基巖直接采用固定邊界，計(jì)算區(qū)域橫向?yàn)檠由斓綗o窮遠(yuǎn)的規(guī)則介質(zhì)，在左右兩邊設(shè)置分界點(diǎn)作為側(cè)邊人工邊界條件，這種簡(jiǎn)化模型（見圖1）廣泛應(yīng)用于土-結(jié)構(gòu)相互作用的動(dòng)力問題。

圖1 下臥為剛性基巖的土-結(jié)構(gòu)相互作用模型Fig.1 Soil-structure Interaction Model on Rigid Bedrock

1 自由度綁定邊界

1.1 選用原則

在ABAQUS 中建立基巖的土-結(jié)構(gòu)相互作用模型，底部輸入地震波時(shí)需要對(duì)側(cè)邊界進(jìn)行處理，基于現(xiàn)有的人工邊界理論，一些學(xué)者提出了側(cè)邊人工邊界條件，但應(yīng)用于ABAQUS 軟件中就比較復(fù)雜，有些甚至需要對(duì)軟件進(jìn)行二次開發(fā)。比如杜修力等人［8］提出的自由場(chǎng)荷載粘彈性組合邊界，不僅需要在側(cè)邊邊界上設(shè)置彈簧和阻尼，還需要計(jì)算自由場(chǎng)的地震反應(yīng)，然后將計(jì)算結(jié)果從人工邊界進(jìn)行輸入，這樣的方法精度很高但也比較費(fèi)時(shí)。基于實(shí)用且簡(jiǎn)便的主旨，本文選擇了使用多點(diǎn)約束中的綁定功能構(gòu)建人工邊界，兩個(gè)節(jié)點(diǎn)在綁定連接下的全局位移、旋轉(zhuǎn)以及所有其他活動(dòng)自由度都相等，如果在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上有不同的自由度，那么只有共同的節(jié)點(diǎn)才會(huì)受到約束。Tsinidis 等人［9］利用這種方式對(duì)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行綁定，約束左右兩側(cè)自由度防止其旋轉(zhuǎn)，迫使土層側(cè)邊在同一樣高度下同時(shí)且均勻地運(yùn)動(dòng)，模擬了層流箱進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。為了檢驗(yàn)其在地震荷載作用下的精準(zhǔn)度和適用性，本文主要分兩個(gè)部分進(jìn)行討論，第一部分在自由場(chǎng)條件下進(jìn)行模擬，第二部分引入地下結(jié)構(gòu)進(jìn)一步驗(yàn)證。

1.2 邊界設(shè)置及檢驗(yàn)條件

數(shù)值模擬分別設(shè)置自由邊界、綁定自由度邊界和遠(yuǎn)置人工邊界進(jìn)行對(duì)比。自由邊界即不對(duì)兩側(cè)邊界進(jìn)行處理；遠(yuǎn)置人工邊界距離計(jì)算主體結(jié)構(gòu)滿足L≥cT/2，其中T 為輸入地震動(dòng)反應(yīng)的時(shí)間，c 為無限域介質(zhì)的最大波速，則在T 時(shí)間范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)反映將不受人工邊界的影響，即可以作為精確解或參考解［10］；自由度綁定邊界在ABAQUS 中使用連接模塊的MPC（Multi-point Constraints）多點(diǎn)約束中的TIE 功能對(duì)左右側(cè)節(jié)點(diǎn)進(jìn)行綁定，約束兩側(cè)節(jié)點(diǎn)自由度，此時(shí)對(duì)應(yīng)兩個(gè)節(jié)點(diǎn)上的所有活動(dòng)自由度相等，即土層在相同的高度下同時(shí)運(yùn)動(dòng)。采用歐式范數(shù)對(duì)位移時(shí)程或加速度時(shí)程進(jìn)行誤差分析，具體見式⑴，其中Y 表示精確解的時(shí)程，X 表示需要驗(yàn)證邊界的時(shí)程，當(dāng)誤差率小于5%時(shí)，可以認(rèn)為人工邊界產(chǎn)生的誤差在允許范圍內(nèi)。

2 邊界條件的驗(yàn)證

2.1 自由場(chǎng)問題

建立二維的50 m×20 m 自由場(chǎng)地土模型（見圖2），固定底邊邊界，兩側(cè)設(shè)立人工邊界，以寬度B=5 000 m的遠(yuǎn)置人工邊界作為精確解。土體參數(shù)為：密度ρ=1.78 t/m3，泊松比v=0.3，剪切波速cs=200 m/s。在底部輸入幅值為A=0.1，周期為T=0.5 s 的狄拉克脈沖波（見圖3），選取位于中部的土層表面和半高處為觀測(cè)點(diǎn)1、2 進(jìn)行記錄。得到3 種邊界的位移時(shí)程圖如圖3、圖4所示?？梢钥闯觯鹤杂蛇吔缗c遠(yuǎn)置人工邊界的反應(yīng)出現(xiàn)了很大偏差且幅值偏小，不符合波的傳播規(guī)律（見圖4a）；自由度綁定邊界和遠(yuǎn)置人工邊界的反應(yīng)幾乎完全重合，在觀測(cè)點(diǎn)1 處的位移峰值為底部輸入的兩倍，符合波的傳播規(guī)律（見圖4b）。取位移時(shí)程進(jìn)行誤差分析，得到綁定自由度邊界的誤差R 在觀測(cè)點(diǎn)1處為0.33%，觀測(cè)點(diǎn)2 處為0.30%。

圖2 自由場(chǎng)有限元模型Fig.2 Finite Element Model of Free Field

圖3 狄拉克脈沖波位移時(shí)程Fig.3 Displacement Time History of Dirac Pulse

圖4 位移時(shí)程對(duì)比圖Fig.4 Displacement Time History Result Comparison

2.2 土-結(jié)構(gòu)相互作用模型

引入地下結(jié)構(gòu)，建立60 m×40 m 的土-隧道二維有限元模型（見圖5），場(chǎng)地假設(shè)為水平成層土層，各層材料的密度、泊松比等物理參數(shù)如表1所示，土體選擇四節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變單元，網(wǎng)格尺寸最小0.6m，最大為2 m，滿足楊柏坡等人［11］提出的關(guān)于有限元最小單元尺寸的精度要求。隧道選用梁?jiǎn)卧?，直徑D=6 m，厚度為d=0.3m，設(shè)隧道為線彈性混凝土材料，參數(shù)為：密度ρ=2.5 t/m3，彈性模量 E=30 GPa，泊松比v=0.2。隧道埋深為直徑的兩倍，場(chǎng)地下部假定為基巖，固定底邊邊界，側(cè)邊分別設(shè)置自由邊界和綁定自由度邊界，設(shè)置寬度為B=10 000 m 的遠(yuǎn)置人工邊界作為精確解，底部輸入地震波加速度時(shí)程為壓縮處理過的南北向 EI-centro 波（見圖6），時(shí)長(zhǎng)為 22 s。

圖5 土-隧道有限元模型Fig.5 Soil-tunnel Finite Element Model

表1 各土層材料參數(shù)Tab.1 The Material Parameters of Soil Layers

圖6 EI-Centro 地震波加速度時(shí)程Fig.6 Acceleration Time History of EI-Centro Wave

以場(chǎng)地土層表面中點(diǎn)為觀測(cè)點(diǎn)，比較不同邊界條件下該點(diǎn)的加速度時(shí)程，截取前10 s 如圖7所示。圖7a自由邊界下觀測(cè)點(diǎn)的加速度峰值為0.36g，低于精確解的加速度峰值0.59g，且變化規(guī)律也出現(xiàn)較大偏差，按照式⑴計(jì)算的誤差率R 約為65%，說明在此邊界條件下波的傳播不符合一般規(guī)律；圖7b 加速度隨時(shí)間的變化規(guī)律基本重合，加速度峰值相差0.001g，整體誤差為R=3.7%，滿足了5%的誤差率要求，可以認(rèn)為在ABAQUS 中約束自由度的邊界條件可以達(dá)到土-結(jié)構(gòu)模型的精度要求。

圖7 不同邊界條件下觀測(cè)點(diǎn)的加速度時(shí)程對(duì)比Fig.7 Acceleration Time History Comparison of Observation Points in Different Boundary Condition

3 結(jié)論

ABAQUS 作為一款大型有限元計(jì)算軟件，可以處理從線性到非線性的各類復(fù)雜問題，在地下結(jié)構(gòu)抗震研究領(lǐng)域也得到了諸多應(yīng)用。本文基于在基巖下的土-結(jié)構(gòu)相互作用模型，討論了在ABAQUS 中計(jì)算區(qū)域與地基無限域分界處的側(cè)邊人工邊界條件，以遠(yuǎn)置人工邊界為參考解，考察使用自由度綁定邊界方法的適用性，驗(yàn)證了其精確度滿足工程誤差要求，是一種簡(jiǎn)便且實(shí)用的人工邊界條件。但值得注意的是，由綁定自由度邊界的原理和波的傳播可知，側(cè)邊人工邊界距離計(jì)算主體的距離會(huì)對(duì)結(jié)果造成影響，距離越大則邊界誤差越小，因此在地下結(jié)構(gòu)計(jì)算區(qū)域不受限制的情況下使用約束自由度的邊界處理，側(cè)邊距離越大結(jié)果計(jì)算精度越高，但同時(shí)會(huì)犧牲模型運(yùn)算的速度，所以要根據(jù)實(shí)際工程的具體情況，設(shè)置合理的側(cè)邊距離，找到這二者的平衡點(diǎn)。