李 瓊,武 東

(1.徽商職業(yè)學院 電子信息系,合肥231201;2.安徽農(nóng)業(yè)大學 理學院,合肥230036)

0 引言

關(guān)于Rayleigh分布產(chǎn)品的可靠性統(tǒng)計分析,王曉紅等[1]對定時截尾樣本下的Rayleigh分布進行了貝葉斯(Bayes)估計。肖世校等[2]對逐次定數(shù)截尾樣本的Rayleigh分布給出了Bayes收縮估計。劉銀萍等[3]對定時截尾樣本下的Rayleigh分布給出參數(shù)的極大似然估計,并證明參數(shù)估計的強相合性和漸近正態(tài)性。劉銀萍等[4]在對稱損失函數(shù)下對定數(shù)截尾樣本的Rayleigh分布進行了Bayes估計。王婷婷等[5]研究了逐步增加II型截尾下Rayleigh分布的Bayes分析,并給出了不同損失函數(shù)下分布參數(shù)、可靠性函數(shù)和失效率函數(shù)的Bayes估計和可信區(qū)間。但以上未討論平方損失函數(shù)、熵損失函數(shù)和對稱熵損失函數(shù)場合逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的Bayes分析。因此,本文對此問題開展相關(guān)研究,主要分為3個部分：① 描述逐次定數(shù)截尾壽命試驗方案和逐次定數(shù)截尾的Rayleigh分布參數(shù)的最大似然估計(maximum likelihood estimator,MLE);② 討論各種損失函數(shù)下基于逐次定數(shù)截尾的Rayleigh分布參數(shù)的Bayes估計;③ 利用蒙特卡洛方法產(chǎn)生了Rayleigh分布逐次定數(shù)截尾樣本,并對MLE和各種Bayes估計進行了比較分析。

假設(shè)產(chǎn)品的壽命X服從Rayleigh分布,其概率密度和分布函數(shù)分別為:

式中,θ為Rayleigh分布的刻度參數(shù)。

通常進行Bayes分析時,還需要綜合考慮3個要素：先驗信息、樣本信息和損失函數(shù)[6]。選取不同的損失函數(shù)對Bayes參數(shù)估計有一定的影響,損失函數(shù)按對估計結(jié)果的影響是否對稱可分為對稱和非對稱損失函數(shù)。對稱損失函數(shù)主要有平方損失函數(shù)和加權(quán)平方損失函數(shù);非對稱損失函數(shù)主要有LINEX損失函數(shù)[7]、熵損失函數(shù)[8]和對稱熵損失函數(shù)[9]等。為了比較對稱和非對稱損失函數(shù)在Bayes估計中的差異,選取平方損失函數(shù)、熵損失函數(shù)和對稱熵損失函數(shù)作為研究對象,它們的數(shù)學公式分別為:

式中,d為θ的估計量。

引理1[6]在平方損失函數(shù)下,θ存在唯一的Bayes估計,

引理2[8]在熵損失函數(shù)下,θ存在唯一的Bayes估計,

引理3[9]在對稱熵損失函數(shù)下,θ存在唯一的Bayes估計,

1 模型描述

逐次定數(shù)截尾試驗方案[10-12]的具體安排可按下述方法進行:首先依據(jù)隨機抽樣原則抽取β個測試樣本進行壽命試驗,觀測到第1個測試樣品失效時刻x1:n時,然后從剩下的(n?1)個測試樣品隨機取走R1個產(chǎn)品,剩下的(n?R1?1)個測試樣品繼續(xù)進行試驗;觀測到第2個測試樣品失效時刻x2:n,再從剩下的(n?R1?2)個測試樣品隨機取走R2個產(chǎn)品,剩下的(n?R1?R2?2)個測試樣品仍然進行試驗;按以上描述進行下去,直至觀測到m個測試樣品失效時刻xm:n時試驗結(jié)束。最后的[Rm=n?R1?R2?···Rm?1?(m?1)]個測試樣品全部取走。據(jù)此可得m個失效測試樣品的壽命數(shù)據(jù)分別為

根據(jù)文獻[10],易知基于式(6)的似然函數(shù)為

式中:C?=n(n?R1?1)···(n?R1?···?Rm?1?m+1),n為測試樣本個數(shù);i表示第i個測試樣本;m表示失效數(shù)。

2 MLE

對于測試樣品的壽命服從Rayleigh分布,得到逐次定數(shù)截尾試驗數(shù)據(jù),R1,R2,···,Rm是試驗中按序被取走的測試樣品個數(shù)。將式(1)和(2)代入式(7),可得逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的似然函數(shù)為

式中:data={xi:n|i=1,2,···,m}。

對式(8)取對數(shù),得到對數(shù)似然函數(shù)為

3 Bayes估計

按文獻[5],θ的共軛先驗為逆伽瑪分布IG(α,β),其概率密度為

式中,α和β為分布的超參數(shù),且α>0,β>0。如果α=0,β=0,此時為無信息先驗。

利用Bayes定理,由似然函數(shù)式(8)和先驗分布式(9),可得參數(shù)θ的后驗分布為

很顯然式(10)所描述的后驗分布就是逆伽瑪分布

在平方損失函數(shù)、熵損失函數(shù)和對稱熵損失函數(shù)下,θ的Bayes估計分別為:

4 模擬比較

以上基于3種損失函數(shù)對逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布參數(shù)進行了Bayes估計,利用蒙特卡洛方法產(chǎn)生逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的隨機數(shù),具體操作可按下述步驟進行:

(1)從標準化指數(shù)分布產(chǎn)生m個相互獨立的隨機數(shù)Z1,Z2,···,Zm,這個變量可以利用逆變換Zi=?ln(1?Ui)完成,Ui是相互獨立且均為標準化均勻分布隨機變量。

(2)令

則得到逐次定數(shù)截尾下標準化指數(shù)分布隨機樣本;式(14)中,n為試驗的測試樣品總個數(shù);m為逐次定數(shù)截尾隨機樣本的個數(shù);R1,R2,···,Rm?1為試驗中按序被取走的測試樣品個數(shù)。

(3)令

則X1,X2,···,Xm是來自Rayleigh分布的逐次定數(shù)截尾隨機樣本。

為了考察各種損失函數(shù)下的Bayes估計的精度,現(xiàn)取Rayleigh分布參數(shù)θ=3,如果對先驗的超參數(shù)一無所知,可采用無信息先驗作為先驗分布,這里使用未知參數(shù)的共軛分布作為其先驗,其中分布的超參數(shù)均取為α=1,β=1,從該分布產(chǎn)生m個逐次定數(shù)截尾樣本x1:n,x2:n,···,xm:n。每種方案產(chǎn)生1 000組模擬樣本并分別計算估計的相對偏差與均方誤差,具體試驗安排與估計結(jié)果見表1。表1中估計方法有MLE、基于平方損失函數(shù)的Bayes估計(Squared)、基于熵損失函數(shù)的Bayes估計(Entropy)和基于對稱熵損失函數(shù)的Bayes估計(Symmetric)。

表1列出的逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的試驗方案和各種參數(shù)估計結(jié)果,由平均絕對差(MAE)和均方根誤差(RMSE)可以看出:相對于MLE而言,其他損失函數(shù)下的Bayes估計精度較高;在其他3種Bayes估計中,Entropy相對較優(yōu);Symmetric是Squared和Entropy的幾何平均;隨著樣本量的增大,各種估計的精度也隨之提高。

表1 逐次定數(shù)截尾下Rayleigh分布的試驗方案與估計結(jié)果Tab.1 Tests scheme and estimation results for Rayleigh distribution under progressive

5 結(jié)語

討論了在各種損失函數(shù)下基于逐次定數(shù)截尾Rayleigh分布參數(shù)的Bayes估計。關(guān)于先驗分布的選取采用了共軛先驗分布作為Rayleigh分布刻度參數(shù)先驗,由模擬比較分析可得出,基于熵損失函數(shù)的Bayes估計較優(yōu)。