(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 合肥 230009)

引言

隨著工業(yè)自動(dòng)化的發(fā)展，氣動(dòng)伺服技術(shù)以其價(jià)格低廉、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、無(wú)污染、操作方便易維護(hù)等優(yōu)點(diǎn)得到了越來(lái)越廣泛的應(yīng)用。但受到如氣體的可壓縮性、控制閥氣體流量的非線性、氣缸摩擦力等多種因素的影響，使得氣動(dòng)伺服系統(tǒng)具有非線性和低剛度的弱品質(zhì)[1]，這使得氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的連續(xù)軌跡控制和系統(tǒng)的控制精度具有很大難度?；跉鈩?dòng)伺服系統(tǒng)的以上特點(diǎn)，學(xué)者們針對(duì)氣缸摩擦力[2]、比例閥死區(qū)補(bǔ)償[3]等做了大量研究，采用多種新型控制策略以實(shí)現(xiàn)對(duì)氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的精確控制[4-7]，并在氣動(dòng)人工肌肉、氣動(dòng)機(jī)械手和碼垛機(jī)等領(lǐng)域得到應(yīng)用[8-10]。

本研究以氣動(dòng)伺服系統(tǒng)為對(duì)象，建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計(jì)了一種分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，運(yùn)用穩(wěn)定裕度法整定分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的5個(gè)參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的位置跟蹤控制。

1 系統(tǒng)組成及原理

氣動(dòng)伺服控制系統(tǒng)主要由標(biāo)準(zhǔn)氣缸、比例流量閥、位移傳感器、壓力傳感器、數(shù)據(jù)采集卡和計(jì)算機(jī)組成，結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。本研究中氣缸選用單桿標(biāo)準(zhǔn)氣缸DNCI-32-150-P-A，氣缸標(biāo)準(zhǔn)行程為150 mm，缸徑為90 mm，活塞桿直徑為32 mm；比例閥選用MPYE-5-1/8HF-010-B比例方向控制閥。

1.氣源 2.過(guò)濾調(diào)壓組件 3.比例伺服閥 4.壓力傳感器 5.單桿氣缸 6.位移傳感器 7.數(shù)據(jù)采集卡圖1 氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)原理圖

系統(tǒng)的工作原理:由計(jì)算機(jī)發(fā)出待跟蹤的控制信號(hào)，經(jīng)D/A轉(zhuǎn)換將數(shù)字信號(hào)轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)后驅(qū)動(dòng)比例閥，比例閥調(diào)整開度以控制氣缸兩腔壓力，從而控制氣缸活塞位移，將位移傳感器檢測(cè)到的活塞位移模擬信號(hào)轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)后反饋到計(jì)算機(jī)中，與給定的輸入控制信號(hào)進(jìn)行比較得出偏差控制量，再根據(jù)偏差控制量調(diào)節(jié)比例閥開度，如此循環(huán)，逐步減小偏差直至為零，最終實(shí)現(xiàn)氣缸活塞運(yùn)動(dòng)對(duì)給定輸入信號(hào)的跟蹤[11]。

2 氣動(dòng)位置伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

為了便于對(duì)氣動(dòng)伺服系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，做出以下假設(shè)：

(1) 氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的工作介質(zhì)為理想氣體，滿足理想氣體狀態(tài)方程；

(2) 比例閥、氣缸及氣缸兩腔之間無(wú)氣體泄漏；

(3) 比例閥和氣缸中的氣體是均勻的，同一容腔內(nèi)氣體壓力和溫度處處相等；

(4) 氣體在比例閥和氣缸中的流動(dòng)為等熵絕熱過(guò)程。

2.1 氣缸活塞的力平衡方程

根據(jù)牛頓第二定律可得：

(1)

式中，y——?dú)飧谆钊灰?/p>

m——慣性負(fù)載和活塞的質(zhì)量

Ff——?dú)飧啄Σ亮?/p>

FL——外負(fù)載力

p1，p2——?dú)飧變汕坏慕^對(duì)壓力值

A1，A2——?dú)飧谉o(wú)桿腔和有桿腔的截面面積

2.2 氣缸兩腔的流量連續(xù)方程

根據(jù)質(zhì)量守恒定律，單位時(shí)間內(nèi)，氣缸容腔流入或流出的質(zhì)量流量等于其質(zhì)量變化率：

(2)

(3)

式中，qm1，qm2——?dú)怏w流入氣缸兩腔的質(zhì)量流量

m1，m2——?dú)飧變汕坏臍怏w質(zhì)量

ρ1，ρ2——?dú)飧變汕坏臍怏w密度

V1，V2——?dú)飧變汕坏臍怏w體積

2.3 氣缸兩腔的壓力微分方程

根據(jù)熱力學(xué)第一定律，對(duì)氣缸兩腔有如下的熱量方程：

(4)

式中，E——容腔內(nèi)氣體總能量，E=mCpT=

CvpT/R

h——單位質(zhì)量氣體的內(nèi)能，h=CpT

Cp——?dú)怏w的定壓比熱

Cv——定容比熱

T——容腔內(nèi)氣體的絕對(duì)溫度

Q——容腔內(nèi)氣體的熱量

(5)

(6)

2.4 比例閥口流量方程

一般采用Sanville流量公式[12]描述氣體流動(dòng)狀態(tài)，但Sanville流量公式主要針對(duì)理想氣體通過(guò)收縮噴管的一維等熵流動(dòng)，與實(shí)際的氣體在閥口流動(dòng)過(guò)程不符。本研究采用BOBROW[13]和陶國(guó)良[14]提出的修正公式：

(7)

式中，ps為比例閥上游壓力；pd為比例閥下游壓力；Cf為臨界壓力比，上下游壓力比大于Cf時(shí)，氣體達(dá)到臨界狀態(tài)以亞聲速流動(dòng)，上下游壓力比小于Cf時(shí)氣體以聲速流動(dòng)，取Cf=0.68；λ為修正指數(shù)，λ=0.25；k為絕熱指數(shù)，工作介質(zhì)為空氣，k=1.4；Ts為絕對(duì)溫度；A(u)為比例閥開口面積，由控制信號(hào)u來(lái)控制，一般看成u的二次函數(shù)[5]，即A(u)=k1u+k2u2。

氣缸在一腔充氣另一腔排氣時(shí)，一般充氣腔內(nèi)氣體為亞聲速流動(dòng)，排氣腔內(nèi)氣體為聲速流動(dòng)。本研究選用的比例閥左、右兩腔開口量相同，結(jié)合比例閥口面積公式可得比例閥口到氣缸的壓力流量方程：

(8)

2.5 氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

結(jié)合以上方程，可知?dú)鈩?dòng)伺服系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行局部線性化處理以便對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行定性分析。

對(duì)比例閥流量方程做線性化處理：

qm1=kq1u+kq2p1

(9)

qm2=kq3u+kq4p2

(10)

對(duì)上述各式進(jìn)行拉氏變換，可得系統(tǒng)的線性化數(shù)學(xué)模型：

(11)

則系統(tǒng)的輸入u與輸出y的傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(12)

根據(jù)第一節(jié)氣缸和比例閥的選型，假設(shè)初始狀態(tài)下活塞在中間位置保持平衡，設(shè)定氣源壓力ps=0.6 MPa，溫度Ts=300 K。閥口前后壓差Δp=0.02 MPa，黏性阻尼系數(shù)Kv=50 N/(m·s-1)[16]，負(fù)載質(zhì)量估算為2 kg，氣體常數(shù)R=287.1 J/(kg·K)，帶入式(12)可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:

(13)

3 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的設(shè)計(jì)

3.1 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的定義

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器與整數(shù)階PID控制器相比多了積分系數(shù)和微分系數(shù)，兩者形式相似:

u(t)=KPe(t)+KID-λe(t)+KDDμe(t)

(14)

式中，u(t)為控制器的輸出；e(t)為輸入；KP，KI，KD分別為控制器的比例增益系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)；λ，μ分別為控制器的積分階次和微分階次。

分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的傳遞函數(shù)為：

(15)

在分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的參數(shù)整定中，相比于整數(shù)階PID還需要整定積分階次λ和微分階次μ。圖2是加入了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制下的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

圖2 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

3.2 穩(wěn)定裕度法設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器

通常滿足相角裕度和幅值裕度都大于0的系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)，而相角裕度和幅值裕度往往同時(shí)大于0或不大于0，因此要實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定裕度的描述只需用相角裕度判別。給出符合控制器設(shè)計(jì)要求的相角裕度、幅值裕度以及剪切頻率，得到滿足相角裕度條件和魯棒性條件的方程。采用該方法需要在剪切頻率ωc和穿越頻率ωp處滿足如下條件[17]：

(1) 在剪切頻率處，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)的模等于1。

|G(jωc)|=1

(16)

(2) 在剪切頻率處，系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的相位等于-π+Φm，其中Φm為相位裕度。即：

Arg[G(jωc)]=-π+Φm

(17)

(3) 在剪切頻率附近相角的變化率為0。即:

(18)

(4) 在穿越頻率出應(yīng)滿足：

Arg[G(jωp)]=-π

(19)

(20)

其中,Am為幅值裕度。

根據(jù)以上方程，由穩(wěn)定裕度法設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器能實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)的有效控制，滿足系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性要求。

由上一節(jié)推導(dǎo)可知，氣動(dòng)位置控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)的形式為:

(21)

將其轉(zhuǎn)化為頻域表達(dá)式：

(22)

根據(jù)圖2，由分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器傳遞函數(shù)表達(dá)式和被控對(duì)象傳遞函數(shù)表達(dá)式，可得系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式：

G(s)=Gc(s)·GK(s)

(23)

將上式轉(zhuǎn)換成頻域形式可得：

G(jω)=Gc(jω)·GK(jω)

(24)

將式(24)分別帶入式(16)～式(18)可得參數(shù)整定的約束方程：

|G(jω)|=|Gc(jω)·GK(jω)|

=|Gc(jω)|·|GK(jω)|

(25)

Arg[G(jω)]=Arg[GC(jω)]+Arg[GK(jω)]

=-π+Φm

(26)

(27)

式中，

根據(jù)之前所列方程，使用數(shù)值計(jì)算、圖解計(jì)算等方法可以求出分?jǐn)?shù)PIλDμ控制器需要求解的5個(gè)參數(shù)，但這些方法過(guò)程繁瑣且誤差較大。本研究利用MATLAB優(yōu)化工具箱的Fmincon函數(shù)求解上述非線性方程的最優(yōu)解。

本研究使用的Fmincon函數(shù)語(yǔ)法格式是：

x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

其中，fun是目標(biāo)函數(shù)；x0為待求參數(shù)的初始值；A，b，Aeq，beq分別為線性約束條件不等式系數(shù)矩陣，線性約束條件不等式的右值，線性等式約束條件的系數(shù)矩陣和線性約束條件等式的右值；lb，ub為x的取值上下限；nonlcon是非線性約束條件函數(shù)，它提供非線性不等式和等式約束條件。以上參數(shù)若有些不存在則可用空向量或空矩陣代替。

使用Fmincon函數(shù)計(jì)算分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器參數(shù)時(shí)，變量x的矩陣形式為:

x=[KP,KI,KD,λ,μ]

取剪切頻率ωc=2.4 rad/s，相角裕度Φm=60°。以式(25)為目標(biāo)函數(shù)，式(26)、式(27)為非線性約束條件，編寫求解5個(gè)參數(shù)的M文件，利用Fmincon函數(shù)解得5個(gè)參數(shù)分別為：KP=9.56，KI=20.076，KD=0.002，λ=0.014，μ=1.971。

4 仿真結(jié)果與分析

在Simulink庫(kù)中自行搭建分?jǐn)?shù)階PIλDμ模塊，其封裝子系統(tǒng)如圖3所示。建立分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)仿真框圖如圖4所示。

圖3 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器封裝子模型

圖4 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器系統(tǒng)階躍響應(yīng)框圖

運(yùn)行仿真程序，仿真時(shí)間4 s，得到閉環(huán)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖5所示。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制性能指標(biāo)如表1所示。

圖5 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

表1 分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)性能指標(biāo)

由圖5的響應(yīng)曲線可以看出，氣動(dòng)伺服系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的控制下，調(diào)節(jié)時(shí)間大幅降低、響應(yīng)速度加快，超調(diào)量很小，系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)特性。

在2 s時(shí)加入一個(gè)數(shù)值為0.2的擾動(dòng)信號(hào)，系統(tǒng)響應(yīng)曲線如圖6所示。分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)在受到擾動(dòng)后能快速恢復(fù)到穩(wěn)定值，系統(tǒng)具有強(qiáng)抗干擾能力。

圖6 加入擾動(dòng)信號(hào)時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)曲線

當(dāng)系統(tǒng)特性發(fā)生變化，即分別使系統(tǒng)增益增大30%、固有頻率和阻尼系數(shù)減小30%時(shí)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線如圖7～圖9所示。

圖7 增益增大30%系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

圖8 固有頻率減小30%系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

圖9 阻尼系數(shù)減小30%系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

表2 參數(shù)改變時(shí)系統(tǒng)性能指標(biāo)

對(duì)比表2和表1的性能指標(biāo)可以看出，當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生較大變化時(shí)，系統(tǒng)性能指標(biāo)變化較小，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法仍然表現(xiàn)出良好的目標(biāo)信號(hào)追蹤特性和魯棒性，有效地克服了系統(tǒng)不確定性帶來(lái)的影響。進(jìn)一步說(shuō)明對(duì)于本研究的氣動(dòng)伺服系統(tǒng)，采用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制策略可以達(dá)到理想的控制性能指標(biāo)。

5 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

根據(jù)原理圖搭建氣動(dòng)伺服系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)裝置如圖10所示。

圖10 實(shí)驗(yàn)裝置圖

在控制界面設(shè)置控制器的5個(gè)參數(shù)如圖11所示。其中K0，K1，K2分別表示比例系數(shù)、積分系數(shù)和微分系數(shù)，Ki，Kd為積分階次和微分階次。

圖11 參數(shù)設(shè)置圖

分別測(cè)量分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制氣動(dòng)伺服系統(tǒng)的絕對(duì)定位精度和重復(fù)定位精度。

絕對(duì)定位精度實(shí)驗(yàn)：從0位置每次進(jìn)給20 mm，記錄每次到達(dá)的位置數(shù)據(jù)，與設(shè)定值比較得出誤差值；到達(dá)140 mm后每次回退20 mm，記錄每次到達(dá)的位置數(shù)據(jù)，與設(shè)定值比較得出誤差值。結(jié)果如表3、表4所示。

表3 進(jìn)給過(guò)程絕對(duì)定位精度實(shí)驗(yàn)結(jié)果 mm

表4 回退過(guò)程絕對(duì)定位精度實(shí)驗(yàn)結(jié)果 mm

重復(fù)定位精度實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)分為進(jìn)給過(guò)程重復(fù)定位實(shí)驗(yàn)和回退過(guò)程重復(fù)定位實(shí)驗(yàn)兩部分。

進(jìn)給過(guò)程實(shí)驗(yàn)初始位置分別為10，50，100 mm處，到達(dá)位置設(shè)定為130 mm處。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表5～表7所示。

表5 起始位置10 mm mm

表6 起始位置50 mm mm

表7 起始位置100 mm mm

回退過(guò)程實(shí)驗(yàn)初始位置分別為140，100，50 mm處，到達(dá)位置設(shè)定為20 mm處。實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表8～表10所示。

表8 起始位置140 mm mm

表9 起始位置100 mm mm

表10 起始位置50 mm mm

從以上實(shí)驗(yàn)可以得出，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制系統(tǒng)的絕對(duì)定位精度為0.5 mm，重復(fù)定位精度為0.5 mm。穩(wěn)態(tài)精度較高，本研究設(shè)計(jì)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制策略對(duì)于氣動(dòng)伺服系統(tǒng)具有良好的控制效果。

6 結(jié)論

對(duì)于氣動(dòng)伺服系統(tǒng)，本研究先建立了其數(shù)學(xué)模型，在此數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器，并利用穩(wěn)定裕度法整定了分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的5個(gè)參數(shù)。在Simulink中的仿真結(jié)果表明穩(wěn)定裕度法整定參數(shù)的分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器能實(shí)現(xiàn)有效的位置控制，響應(yīng)速度快、超調(diào)量小，動(dòng)態(tài)性能良好。受到擾動(dòng)時(shí)能在很短時(shí)間內(nèi)恢復(fù)到穩(wěn)定值，使系統(tǒng)具有很強(qiáng)的抗干擾能力。在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生較大改變時(shí)，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制方法仍能達(dá)到良好的控制性能指標(biāo)。結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器對(duì)于氣動(dòng)伺服位置控制系統(tǒng)有良好的控制效果，使系統(tǒng)具有良好的信號(hào)跟蹤特性、強(qiáng)抗干擾能力和魯棒性。實(shí)驗(yàn)測(cè)試采用分?jǐn)?shù)階PIλDμ控制器的氣動(dòng)伺服系統(tǒng)定位精度達(dá)到0.5 mm，系統(tǒng)具有較高的穩(wěn)態(tài)精度。