廣東廣雅中學(xué) (510160)

楊志明

最近，劉保乾老師提出了如下不等式：

在文一中，一外國(guó)朋友采用”索-米法”給出了如下分拆證法.

?(4R2-Rr-2r2)s2-32R3r-22R2r2+11Rr3-2r4≥0

?4r(80R2+7Rr+5r2)(R-2r)+(44R2+s2)(s2-16Rr+5r2)+(s2+32r2)(4R2+4Rr+3r2-s2)≥0.(5)

經(jīng)探討發(fā)現(xiàn)，(1)式可以進(jìn)一步加強(qiáng)為

對(duì)(6)式作角變換(π-A,π-B,π-C)→(A,B,C)，則(6)式等價(jià)于

下證(8)成立.

筆者還試圖借助B-C法給出(6)式一個(gè)另證.

下證(9)式成立.

故原不等式等價(jià)于(32y4-16y2)x4+(32y3-64y5)x3+(64y6-64y4+6y2+3)x2(-64y7+96y5-24y3)x+32y8-48y6+6y4+9y2-3≤0．(10)

(10)式是關(guān)于x,y的條件二元多項(xiàng)式不等式，我試圖配方證明，可人工沒有成功．于是，我求助配方專家隋振林．

求助配方法：(-16*y^2+32*y^4)*x^4+

(-64*y^5+32*y^3)*x^3+(-64*y^4+6*y^2+3+64*y^6)*x^2+(-24*y^3-64*y^7+96*y^5)*x+9*y^2-3+32*y^8+6*y^4-48*y^6<=0,1/2<=y，y

十一那天，他回復(fù)如下：

你好，首先祝你節(jié)日快樂，或許祝的晚了一點(diǎn)！讓你失望了，斷斷續(xù)續(xù)運(yùn)行到現(xiàn)在，一直沒有結(jié)果，可能是算法有問(wèn)題，不過(guò)我要感謝你提供的這個(gè)問(wèn)題，這或許是我下一步改進(jìn)算法考慮的重點(diǎn)！謝謝！

可見，此式有一定的研究?jī)r(jià)值，希望有興趣的讀者，能夠?qū)?10)式配方證出．

劉老師還提出了以下一系列的問(wèn)題：

供有興趣的讀者思考．