任志紅 李巖 李艷娜 李衛(wèi)東

(山西大學,理論物理研究所,量子光學與光量子器件國家重點實驗室,極端光學協(xié)同創(chuàng)新中心,太原 030006）

量子計量是超冷原子氣體研究中的一個熱點領域.超冷原子體系獨特的量子性質(量子糾纏)和量子效應有助于大幅度提高待測物理量的測量精度,這已經(jīng)成為量子精密測量中的共識.量子Fisher信息對該領域的發(fā)展起了非常重要的作用.本文首先介紹量子Fisher信息的基本概念和量子計量的主要內容;然后簡要回顧這些理論在提高測量精度方面的應用,特別是多粒子量子糾纏態(tài)的產(chǎn)生及其判定;再介紹線性和非線性原子干涉儀的相關進展;最后論述量子測量過程中的統(tǒng)計方法的研究進展.

1 量子計量簡介

量子計量研究如何利用量子屬性、量子效應來提高物理量的測量精度,以期突破散粒噪聲極限 (shot noise limit,SNL)(或者標準量子極限(standard quantum limit,SQL)),趨近海森伯極限 (Heisenberg limit,HL).大多數(shù)需要精密測量的物理量(如電磁場場強、微弱慣性力以及時間頻率標準等)都能被投影到相位上,而這些相位可以利用干涉儀進行推斷估計.因此,干涉儀的設計是量子計量中的核心內容之一.由于沒有與相位對應的厄米算符,因此其不能直接被實驗測量,只能通過估計的方法獲取.因此,相位估計 (phase estimation)就成為精密測量(量子計量)中的一個重要內容.一個完整的相位估計過程(如:引力波測量、原子鐘以及重力測量儀等)一般由如下幾部分組成:N粒子探測態(tài)制備、相位累積、可測物理量(M)的測量以及相位估計(如圖1所示).換言之,量子計量的目的就是研究如何在探測粒子數(shù)給定、相互作用(相位累積)時間有限的前提下,盡可能獲得精確 (小漲落) 的參數(shù)估計.噪聲 (noise)是決定大小的重要因素,通?？煞譃榻?jīng)典噪聲和量子噪聲[1].一般地講,經(jīng)典噪聲是非本質的,總是可以被克服(或抑制),而量子噪聲由量子力學的基本原理決定[2],是本質的、不可克服的.目前雙模式的原子干涉儀的√測量精度已經(jīng)接近標準量子極限,即,其中是探測態(tài)中非關聯(lián)的粒子數(shù)[3].標準量子極限來源于測量的統(tǒng)計屬性,是中心極限定理的直接結論[4,5].早期的理論研究表明,標準量子極限是可以被突破的[6?8].利用超冷原子系統(tǒng)的量子特性,實驗上已經(jīng)在突破標準量子極限的方向上取得了顯著的進展(見圖2）.如何在有限的量子資源下突破標準量子極限、趨近海森伯極限是量子計量學研究的核心問題之一[9?21].

圖1 相位估計的流程示意圖 (1）探測量子初態(tài) 的制備;(2） 待測相位 的編碼,量子初態(tài)演化為 ;(3）正定的測量算符(POVM)對末態(tài)進行測量;(4）待測相位的統(tǒng)計估計 .圖的下部分是馬赫曾德 (Mach-Zehnder,MZ)干涉儀的應用實例.圖取自文獻[4]Fig.1.Here we schematically plot the elements of complete phase estimation:(1）the preparation of prob state ;(2） the encoding of phase shift ,which transform the probe state to ;(3）the readout measurement of the POVM and finally(4）the mapping from the measurement results to the phase provided by the estimator .The phase sensitivity crucially depends on all these operations.The lower panel shows the application to Mach-Zehnder interferometry.Adapted from Ref.[4].

基于量子力學原理的物質波干涉儀的發(fā)明是量子計量中的一個重要進展.繼電子、中子干涉儀之后,原子干涉儀也已經(jīng)發(fā)展了20多年.特別是隨著對超冷原子的操控與測量技術的進步,原子干涉儀在近十年來有了非?？焖俚陌l(fā)展[22].目前原子干涉儀在重力[23?26]、慣性力[27?34]等方面的測量已經(jīng)達到了很高的精度.國內的相關進展,可參見近期《物理學報》關于“精密測量的專題”[35].

利用原子的內部能級作為雙模干涉儀的模式,通過Ramsey干涉儀技術[36]對原子躍遷頻率的測量是近代原子鐘頻率基準的核心技術之一[37,38].超冷原子系統(tǒng)不僅在推動精密測量方面具有非常重要的意義,而且對深入理解量子力學的基本問題(比如:量子力學非定域性、量子糾纏等)也有重要的促進作用[39](某種意義上也促進了對量子理論基本問題的進一步思考,比如:量子力學詮釋問題的重新討論[39]).傳統(tǒng)的量子計量存在一些缺點：一方面,量子計量原則上要求多粒子(通常成百上千)組成的量子態(tài)作為探測態(tài),但是對這些粒子同時進行單獨測量是非常困難的;另一方面,多粒子量子態(tài)重構所要求的獨立測量次數(shù)呈指數(shù)形式增加,這也是一個難以克服的困難.因此,需要發(fā)展一種全新的、基于有限次測量的多粒子量子糾纏態(tài)刻畫的理論方法.目前,對多粒子量子體系的操作(或測量)基本上都是同時的集體(collective)操作(或測量),新方法需能夠從集體操作過程中汲取多粒子量子關聯(lián)態(tài)的信息.

圖2 近年來利用超冷原子體系取得的超越標準量子極限的實驗進展.對數(shù)增益 (左): 和對應的線性增益 (右): ,其中 或者 為 自 旋 壓 縮 參 數(shù) , 為 量 子 Fisher 信息.空心圖標為凈增益,即去除測量誤差的增益;實心圖標為可能增益，即實驗糾纏態(tài)的可能增益;十字交叉圖標為干涉儀增益，即通過干涉儀驗證的增益. 為實驗中所用的總粒子數(shù)目(或平均數(shù)目).圖取自文獻[5]Fig.2.Gain of phase sensitivity over the standard quantum limit achieved form recent Bose-Einstein condensates experiments.The logarithmic gain is shown in left, and the linear gain is in right,The measured phase precision is obtained by spin-squeezing parameter ,i.e., ,or from ,i.e., .Open patterns are inferred values,being obtained after subtraction of detection noise;Filled patterns report witnesses of metrologically useful entanglement measured on experimentally generated states,representing potential improvement in sensitivity;Cross patterns show the measured phase sensitivity gain obtained from a full interferometer sequence.Here is the total number of particles (or mean total)used in experiments.Adapted from Ref.[5].

近年來,基于量子Fisher信息的基本概念,我們小組以冷原子系統(tǒng)為對象,較為系統(tǒng)地開展了量子計量相關的研究工作.本文以時間頻率測量為主線,簡要回顧量子計量的歷史進程;介紹基于量子Fisher信息的量子計量的主要內容;闡述在此基礎上發(fā)展的多粒子量子糾纏態(tài)的產(chǎn)生及其判據(jù);簡析新型原子干涉儀工作原理以及相位估計過程中新的、可控量子過程的設計思路.

1.1 歷史回顧

早在 1873 年,Maxwell(麥克斯韋)[40]就提議將波長為長度單位的光波的振動周期作為時間單位.但是當時的技術水平無法測量如此短的時間周期.一直到1937年,一系列新發(fā)明和技術進步(如:O.Stern改進了分子束控制技術和Stern-Gerlach實驗[41])才使得原子內部能級的躍遷頻率作為時間標準成為可能[37].同年,Rabi(拉比)[42]首次觀測到中性分子的磁共振效應,并建議利用這種效應發(fā)展時間頻率標準.1939年,實驗上首次觀測到了分子內部能級磁共振現(xiàn)象[41].這些工作為后來原子束磁共振頻率鐘的研究奠定了基礎[37].1945年,第一臺原子鐘研制成功,盡管其精度不如同時期的機械(Mechanical)鐘和石英(Quartz)鐘,但是由于原子內部能級具有穩(wěn)定性和一致性,所以對原子鐘的研究并未停止.隨著1949年Ramsey干涉儀原理的揭示[36],實現(xiàn)原子鐘道路上的最后一個科學堡壘終于被攻克了.1967年,對銫-133原子的基態(tài)超精細能級(鐘能級)躍遷頻率的測量已經(jīng)可以精確到約,較機械鐘和石英鐘的提高了近個數(shù)量級.因此,銫-133原子鐘的躍遷周期被重新定義為秒的國際單位[43],這真正意義上完成了利用量子系統(tǒng)(或量子效應)實現(xiàn)時間標準的設想.從一定意義上講,對頻率(時間)測量精度的不斷追求推動了量子計量的發(fā)展[44],時間測量精度提高的進程與量子計量發(fā)展的過程密不可分.目前所有的可測物理量中,時間測量的精度最高[43].事實上,得益于時間測量的超高精確度,對相關物理量的測量(長度、速度以及電壓等)也可以達到非常高的精度.

關于量子計量的綜述文獻有很多[4,36,37],下面簡要回顧量子計量理論發(fā)展過程中幾個里程碑式的重要進展:1981 年,Caves[45]指出在光學 Michelson-Morley干涉儀的閉置端輸入壓縮真空態(tài)可以突破標準量子極限;隨后的二十年里,人們逐步認識到將探測的量子態(tài)改為具有一定量子關聯(lián)的非經(jīng)典態(tài)可以大幅增加測量的精度,突破散粒噪聲(標準量子)極限[4,7,46].近些年的研究[3]表明突破標準量子極限需要將探測態(tài)改為量子糾纏態(tài).然而,并非所有的量子糾纏態(tài)都對提高量子計量的測量精度有益,只有那些可以被量子Fisher信息識別、對量子計量有用的多粒子量子糾纏態(tài)才可以真正地增強量子測量的測量精度[5,47,48].因此,如何甄別和利用量子態(tài)(特別是多粒子量子糾纏態(tài)的量子屬性[5]和其他量子效應[49])來提高量子測量的測量精度,成為了量子計量的重要研究內容.本文將針對這些內容進行介紹.需要指出的是,量子Fisher信息作為甄別幺正操作下量子態(tài)糾纏特性的重要基本概念,在量子相變等其他熱點問題中也有廣泛的應用[50?59],但這部分內容不在本文的討論范圍之內.

如前所述,本文主要以量子干涉儀為模型進行討論.一方面,物理學的進步某種程度上得益于人們對物理量的精密測量,而量子糾纏態(tài)是進一步提高測量精度并且研發(fā)下一代高靈敏探測儀器的關鍵;另一方面,量子干涉儀是研究量子力學基本問題的重要模型之一.

1.2 相關的基本概念

統(tǒng)計估計的精度到底是多少？是否存在一個基本的極限？這是統(tǒng)計推斷(statistical inference)中的核心問題之一.早在20世紀40年代,Rao[60],Cramér[61]以及 Fréchet[62]就分別獨立證明了對于單變量的統(tǒng)計估計存在一個最低的極限(隨后由Darmois[63]將上述結果推廣到多變量情況).這個極限就是 Cramer-Rao下界 (Cramer-Rao lower bound,CRB),其與 Fisher[64]早些年提出的 Fisher信息有直接關系(在相位估計理論中,還存在許多其他極限.特別是在有限測量次數(shù)時,有些比CRB更為嚴格,本文將在第四部分簡單介紹).因此,Fisher信息是相位估計理論中的核心概念.考慮所有可能的量子測量條件,Fisher信息的最大值被稱為量子Fisher信息[1,65].相應地可定義量子Cramer-Rao 下 界 (quantum Cramer-Rao lower bound,QCRB)[2,66,67].

本節(jié)首先對Fisher信息和量子Fisher信息的定義、基本性質以及與此相關的相位估計理論進行簡單的介紹.關于Fisher信息和量子Fisher信息的相關綜述可以參閱文獻[68,69].在介紹和證明QCRB之前,先介紹似然(likelihood)函數(shù)和估計子.

1）似然函數(shù)和估計子.如圖 1 所示,一個完整的相位估計單元包括:初始的探測態(tài)的制備;一種可參數(shù) (實數(shù))化的、對探測態(tài)的操作 (如:干涉儀的轉動操作,參見第三部分內容);利用末態(tài)(輸出態(tài))獲得可測物理量的測量值 ();對待測參數(shù)的估計(通過對多次測量結果的統(tǒng)計分析而獲得).這里的測量結果既可以是分離變量(如MZ干涉儀中的粒子數(shù)),也可以是連續(xù)變量(如雙縫干涉儀中的干涉條紋).一般地,量子測量用一個正定的測量算符(positive-operator valued measure,POVM)表示(測量理論中的算符在一定程度上具有測度的意義,因為它不只是一個力學量,同時還將概率算符與測度相聯(lián)系.因此,嚴格地說此算符為測度算符).POVM算符是一個厄米算符,需滿足兩個基本要求:1）概率測量值非負;2）.給定時,獲得測量值為的條件概率分布函數(shù)(亦被稱為似然函數(shù))定義為

1.3 Fisher信息和Cramer-Rao lower bound (CRB)

CRB是相位估計理論中一個非常重要的概念,其受中心極限定理的保證.對于任意的估計子而言,其漲落 ((7）式)存在如下極限

其中求和是對所有可能的測量值進行求和.(9）式是CRB的一般表達式.對于無偏差估計而言,即,CRB表明測量的漲落與Fisher信息成反比.CRB可以通過考慮漲落的定義(7）式、似然函數(shù)的歸一化條件和柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwartz)不等式來證明,詳細過程參見附錄A1.

由附錄A1的推導可知,有效估計需要滿足

1.4 量子Fisher信息與量子CRB

1）量子 Fisher信息.對所有可能的 POVMs而言,Fisher信息((10)式)的最大值就定義為量子Fisher信息[1](本文將視情況使用不同的記號:如果只是計算Fisher信息,由于對所有測量值進行了求和,此時 Fisher將只是參數(shù)的函數(shù),記為;而由于概率分布函數(shù)或是條件概率函數(shù)也與末態(tài)以及 POVMs相關,強調這些關系

量子Fisher信息的最大值((13）式)與具體的測量算符并無明顯的依賴關系.對于所有可能的POVMs而言,至少存在一個POVM同時滿足條件(16）式和(17）式,使得Fisher信息取最大值.如果是可逆的,對所有的而言,兩條件可以等(17）式成立的充分但不必要條件.如果考慮是厄米算符,則存在一組完備的量子態(tài),使得,其中是實數(shù).如果選取由組成的 POVM,顯然當時條件 (17） 式成立,同時為實數(shù),即(16）式也成立.這就證明了至少存在一個可以用的正交歸一基底組成的POVM,可以使Fisher信息取到最大值,即量子 Fisher信息.如(15）式所示,即使對最優(yōu)化的 POVM,Fisher信息和量子 Fisher 信息一樣,都是與相關的.這在某種程度上產(chǎn)生了矛盾,因為要找到一個優(yōu)化的POVM使Fisher信息取最大,需要事先知道未知參量的準確值,這看起來是不可能的.但是,文獻[70]表明,可以利用一種漸近的方法來克服這個困難.最近的研究[71]也表明,在一定條件下,最優(yōu)測量是不依賴于待測參數(shù)的.

這個性質((20)式)表明,將量子態(tài)進行線性混合并不能增加已獲得的測量精度.

相應的CRB((9）式)可以寫為

對于非滿秩的密度矩陣,(29）式存在奇點,將造成求解的困難.此時,量子Fisher信息仍存在嚴格的求解方法[73?75].對稱對數(shù)導數(shù)在量子Fisher信息的計算中起重要的作用,因而對稱對數(shù)導數(shù)的本征態(tài)又與最優(yōu)測量有密切的關系[76].

需要指出的是,純態(tài)的量子Fisher信息(31）式還可以利用在探測初態(tài)與其垂直空間的投影測量,在下,漸近地得到.具體證明見文獻 [4].

6）幺正演化下的量子Fisher信息.考慮如下的幺正演化算符:

8）最大似然估計子.最大似然估計子(maximum likelihood estimator,MLE)是指與測量值相關的似然分布函數(shù)的最大值所對應的相位值:].當測量的次數(shù)趨于無窮時,最大似然算子的估計值滿足以真實值為中心的高斯分布,且其方差為Fisher信息的倒數(shù):

因此,最大似然估計子是漸近無偏的,它的方差總是可以達到 CRB,.中心極限定理保證了最大似然估計子比其他的估計子都要好.

正如文獻[47]所表明的,通常情況下(43）式并不是最佳的,即,即使在中心極限定理條件下,也不一定可以達到CRB.只有當統(tǒng)計分布函數(shù)為高斯型時,

2 多粒子量子糾纏態(tài)的制備與判別

利用量子Fisher信息與待測物理量測量精度的關系,基于量子Fisher信息的多粒子量子糾纏判據(jù)已經(jīng)得到了廣泛的應用,比如連續(xù)變量的糾纏判定[82].本節(jié)首先解釋為何多粒子量子糾纏態(tài)可以提高量子計量的測量精度.在上節(jié)介紹的量子Fisher信息基本概念的基礎上,給出一個關于多粒子(分離變量)量子糾纏態(tài)的判據(jù),進而給出對提高量子計算精度有用的多粒子量子糾纏態(tài)的定義.利用條件概率分布函數(shù),介紹一種可以直接從實驗數(shù)據(jù)中提取Fisher信息的方法;利用實驗結果對所提出的方法進行驗證.最后,介紹一種利用光與原子相互作用產(chǎn)生不同自由度量子糾纏的新方案.

2.1 統(tǒng)計距離與相位精度

被映射在量子態(tài)中的參數(shù)估計(或是相位估計)問題,在很大程度上等價于如何有效區(qū)分參數(shù)空間中相鄰量子態(tài)的能力[1,83].因此,從這個角度來講,干涉儀的相位估計精度可以認為是其對可能的最小相位差導致的輸出量子態(tài)與初始探測態(tài)的分辨能力.這個性質可以通過定義在統(tǒng)計空間中的量子態(tài)的統(tǒng)計距離(statistical distance)來描述[84]

(47）式表明,Fisher信息可以理解為某種統(tǒng)計速度或者在最優(yōu)測量條件下寫為.它反映了統(tǒng)計分布函數(shù)在(或者)時隨參數(shù)變化的某種速率.必須指出的是,在所有分析量子測量極限的問題中,條件概率分布函數(shù)是一個共同的出發(fā)點[85].實驗上,固定待測參數(shù)(),對測量量子態(tài)進行多次測量,原則上可以得到在給定參數(shù)條件下測量值空間中的分布函數(shù),如圖3所示.對待測參數(shù)進行改動,重復之前的測量過程,可以得到以為參考點的鄰近條件統(tǒng)計分布函數(shù).因此,原則上 (47）式提供了一種直接從實驗數(shù)據(jù)中獲取Fisher信息的方法[13,84].顯而易見,(45）式和(46）式與具體的測量方式相關,因此會有不同的統(tǒng)計距離定義.比如,也可利用信息論中描述兩個鄰近統(tǒng)計分布關系的物理量[86]來表示,即 Kullback-Leibler(KL)熵

圖3 統(tǒng)計區(qū)分度和統(tǒng)計速度的示意圖.在給定 的條件下,分析測量數(shù)據(jù)可得分布函數(shù) (圖(a)紅線)和調節(jié) 后 得 分 布 函 數(shù) (圖 (b) 綠 線 ).圖(c) 示 意 由 和 定義的態(tài)矢量及其歐幾里得距離(統(tǒng)計距離),其 中 是 衡 量 統(tǒng) 計 區(qū) 分 度 的統(tǒng)計速度.圖取自文獻[84]Fig.3.Here we give the sketch of statistical distinguishability and statistical speed. The probability distribution is obtained by collecting the measurement results for different values of the parameter,here chosen to be (red line)(a)and(green line)(b). (c) to quantify the statistical distinguishability between the two distributions we introduce unit vectors (red)and(green), then we obtain the Euclidean distance between them: .Here the denotes the statistical speed.Adapted from Ref.[84].

圖4 海林格距離 (紅線) 和 KL 熵 (綠線),以及他們共同的二階展開項 (藍線)的比較.圖取自文獻[84]Fig.4.Hellinger distance, (red line),KL entropy,(green line),and their common low-order approximation,(blue line),as a function of .Adapted from Ref.[84].

利用統(tǒng)計距離從實驗中讀取量子Fisher信息囚禁的離子體系,由于其與周圍環(huán)境很好地隔離,可以成功地實現(xiàn)諸如相干控制、獨立尋址和高效率量子態(tài)測量等操作,是成功產(chǎn)生與探索多粒子糾纏態(tài)的重要系統(tǒng)之一.由于篇幅所限,這里不作詳細介紹,有興趣的可以參考文獻[5,89,90].這里采用6個[91]和14個[92]離子的最大糾纏態(tài)(薛定諤貓態(tài))

圖5 宇稱振蕩的測量結果和提取的 Fisher信息 (a)GHZ( )的宇稱測量圖,周期為 ,取自文獻[92];(b)基于近期實驗結果得到的Fisher信息與總粒子數(shù) 的關系 ,其中 為實驗中的對比度.上邊界粗線為海森堡極限,即 ,下邊界黑色粗線代表標準量子極限, .圖中其他的細線分別表示 粒子糾纏的邊界,即方程 (60).其中 的圓圈表明 粒子糾纏.圖取自文獻[84]Fig.5.Experimental results based on parity measurement and extracted Fisher information： (a) Typical parity oscillations obtained with cat states.The period is .Adapted from [92]; (b) summary of the experimental achievements,ions(circle)and photons(square).Here we show the Fisher information as a function of the number of qubits , , obtained from the extracted experimental visibilities .The upper thick line is the Heisenberg limit , the lower thick line is the standard quantum limit, .The different lines are bounds for useful -particle entanglement,Eq.(60).For instance, the filled circle at reveals useful -particle entanglement.Adapted from Ref.[84].

2.2 量子糾纏與相位精度

該極限與測量的估計子、測量方法等無關,但是受限于對系統(tǒng)中各粒子的局域操作.有意思的是,(58）式中測量次數(shù)與探測態(tài)中粒子數(shù)有相似的作用,只使用一個粒子作為探測態(tài)重復次相同的測量,與使用具有個粒子作為探測態(tài)測量一次有著相同的測量精度.這實際上是另一種與量子糾纏無關的量子增強測量理論的核心理念[49].

3）有 用 的 量 子 糾 纏 態(tài) .如 果 某 量 子 態(tài)在(68）式描述的操作下所得到的量子Fisher信息不滿足 (57）式,也就是說

則表明該量子態(tài)具有多粒子量子糾纏特性,因此,(59）式是量子態(tài)是多粒子量子糾纏的充分條件.更準確地講,(59）式可以作為判定有利于量子計量精度提高的量子糾纏態(tài)的一個充分必要條件:對于一個滿足條件(59）的量子態(tài)而言,如果利用它作為探測態(tài)對某個小的相位進行估計,假定該相位通過某種干涉儀的相互作用((68）式)引入,所能得到的測量精度將超過標準量子極限(58）式.這也意味著,并非所有的量子糾纏態(tài)都對提高測量精度或是超越標準量子極限有用[47].而對測量精度提高不大的多粒子量子糾纏態(tài)可能有助于其他量子技術.實際上,量子技術依賴于對量子態(tài)的測量,即依賴于對量子態(tài)自由度的操控.同時,即使是對測量有用的量子糾纏態(tài),對測量精度的提高也不盡相同:具有較大量子Fisher信息的量子態(tài),同時也具有更深的糾纏深度.對于組份的糾纏態(tài)((56）式),其量子Fisher信息滿足如下不等式[100]

圖6 有利于量子計量的 粒子糾纏判據(jù).圖中藍色的實線由方程 (60)給出: 粒子糾纏態(tài)的量子 Fisher 信息.虛線為 ,其中粒子數(shù) .該圖取自文獻[100]Fig.6.Useful -particle entanglement for quantum metrology. -separable states have a quantum Fisher information bounded by the solid line,Eq.(60).The dashed line is .Here .Adapted from Ref.[100].

因此,(61）式確定了由量子理論決定的相位測量的新極限[3],稱之為海森堡極限 (Heisenger limit,HL)(海森伯極限最早在1993年由Holland和Burnett[105]引入,紀念海森伯不確定關系,將它用在粒子數(shù)與相位的測不準關系中.這里所說的海森伯極限特指)(也可以將輸入干涉儀的粒子數(shù)與獨立測量的次數(shù)一起進行優(yōu)化[85,106,107].這樣可將海森伯極限寫為,其中,是在給定測量粒子數(shù)時,使測量精度最大的最優(yōu)測量次數(shù).由于該測量次數(shù)可能與測量態(tài)粒子數(shù)相關,因此,盡管可能測量態(tài)的Fisher較大,但其測度精度較標準極限好).不難看出√,(58） 式與 (62） 式對的依賴關系不同,相差倍,并且這個差別是不可能通過經(jīng)典關聯(lián)(或是可分的)態(tài)來克服的.但需要注意的是,克服標準量子極限(58）式還可采用Multi-round的方法[3,5].

3）多粒子糾纏判據(jù)與量子Fisher信息.自旋壓縮態(tài)是指一類量子態(tài),它在沿某一給定方向上的自旋測量值的漲落較小,同時,在垂直方向上的自旋測量值具有較大的漲落,但是,兩者的乘積滿足海森堡測不準關系.自旋壓縮態(tài)是一類已經(jīng)被證明在突破標準量子極限方面非常有用的量子糾纏態(tài).通常用Wineland等[7,46]在1992年左右提出的自旋壓縮因子

利用直接從實驗數(shù)據(jù)中獲得的量子Fisher信息值,以及關于有利于量子計量的組份的多粒子量子糾纏判據(jù)(60)式,我們得到了圖5.圖中黑色的圓點為從實驗中獲得的宇稱性測量結果的量子Fisher信息值[92].依據(jù)我們的計算,這個實驗結果聲稱得到了14個離子的多粒子糾纏態(tài),從量子Fisher信息的多粒子糾纏判據(jù)的角度來看,它大約得到了6個離子的糾纏態(tài).有意思的是,隨后實驗小組利用Bell測量判據(jù)給出了新的判斷,表明他們也只得到了與我們結果相同的6離子糾纏態(tài)[108].利用(52）式可以看到,粒子量子糾纏態(tài)的量子Fisher信息識別,對測量值的對比度也有要求,即

這就在一定程度上表明,退相干因素也是提高量子測量精度需要克服的因素.最后需指出,有一些具有糾纏性質的量子態(tài)(比如態(tài)),不能利用線性操作下的量子Fisher信息進行識別[5].

2.3 多原子量子糾纏態(tài)的制備

如前所述,多粒子量子糾纏態(tài)是進一步提高量子測量精度,甚至是關乎所有量子新技術的關鍵.因此,如何有效地產(chǎn)生多粒子量子糾纏態(tài)是目前量子物理中的一個關鍵問題和技術.由于粒子之間的糾纏,本質上是粒子的量子態(tài)(某種意義上是標記量子態(tài)的自由度的量子數(shù),或者好量子數(shù)的某種糾纏,亦或可理解為是一些自由度之間的糾纏)之間的糾纏,因此,控制粒子的量子態(tài)(或自由度)之間的相互作用是有效產(chǎn)生多粒子量子糾纏態(tài)的核心要素.光學晶體中的光學非線性相互作用,即自發(fā)參 量 下 轉 換 (spontaneous parametric downconversion,SPDC)方法,是實現(xiàn)糾纏光子對 (實現(xiàn)對偏振或模式的控制)以及壓縮光場的重要手段,其中光子雙數(shù)態(tài)以及連續(xù)變量的壓縮光都是已經(jīng)被證明的、有利于量子計量的量子糾纏資源.圖2表明冷原子物理必將是一種在量子計量及量子信息中起重要作用的新量子資源(作為與光子完全不一樣的量子體系正在引起人們的注意:1）靜止質量;2）與外環(huán)境隔離比較徹底;3）可控的自由度高;4）已經(jīng)在一些重要的測量方面取得相當大的成績,如時間標準、重力測量等).超冷原子體系中可控的原子間彈性碰撞相互作用、囚禁外勢是在其內態(tài)或是空間模式間產(chǎn)生量子糾纏的重要手段[5],比如:玻色約瑟夫森結的糾纏基態(tài)[20]以及非自旋壓縮的量子糾纏態(tài)[13]等;超冷原子體系中的自旋相互作用是產(chǎn)生超冷原子對或是大量原子之間量子糾纏的重要手段(原子的雙數(shù)態(tài)[9,109]和自旋壓縮態(tài)[17,19]等);原子與光場的相互作用也可產(chǎn)生非定域原子之間的量子糾纏關聯(lián);利用里德堡原子偶極-偶極相互作用產(chǎn)生異核原子量子糾纏[110]等.另外,在離子體系中,靜電相互作用和離子與光場的相互作用也是目前多離子體系產(chǎn)生多粒子量子糾纏態(tài)的有效方法[92],相關的綜述可見文獻[111?115].

1）原子雙數(shù)態(tài)與量子相變.在大多數(shù)的原子體系中,多原子量子糾纏態(tài)的產(chǎn)生依賴于系統(tǒng)的動力學特性,即:通過初態(tài)制備并嚴格控制動力學演化時間來得到所需的多粒子(原子)糾纏態(tài).近年來,考慮超冷原子系統(tǒng)的多體量子能譜特征,可以通過系統(tǒng)參數(shù)的絕熱調節(jié),實現(xiàn)系統(tǒng)在不同量子基態(tài)的轉變(即量子相變)進而實現(xiàn)多粒子量子糾纏態(tài)的制備(明顯的優(yōu)點:1）產(chǎn)生可預知確切的量子態(tài);2）一種全新的糾纏態(tài)制備方法).以自旋為的超冷自旋原子氣體為例,相應的哈密頓量[116,117]可寫為

圖7 (a)量子相變產(chǎn)生雙數(shù)態(tài)過程;(b)糾纏寬度分析表明雙數(shù)態(tài)糾纏寬度約為 原子.圖取自文獻[109]Fig.7.(a)Generation of twin-Fock state by quantum phase transition;(b) analysis of entanglement breadth for the Twin-Fock state samples,and it shows the entanglement breadth is at least atoms.Adapted from Ref.[109].

2）不同自由度的非定域特性.原子系統(tǒng)中多粒子量子糾纏態(tài)的研究不僅局限于多粒子量子糾纏態(tài)的產(chǎn)生,而且在理解諸如Einstein-Podolsky-Rosen(EPR)關聯(lián)或是Bell非定域性方面也有重要的意義[5].Bell不等式是甄別粒子間關聯(lián)特性的重要判據(jù),不滿足其要求的量子態(tài)之間的關聯(lián)被稱為最強量子關聯(lián)[121].量子體系中這種非定域的關聯(lián)特性是發(fā)展量子信息和量子計量等量子新技術的核心要素.相同自由度之間的量子糾纏或者非定域特性是一個被研究了很長時間的問題,特別是在光子體系中取得了非常大的進步.近年來,由于不同自由度之間的量子糾纏(非定域)特性在量子信息等領域中的重要作用,比如增加通訊的容量或增強量子通訊能力等,引起了人們的廣泛注意[122].有意思的是,尋求不同自由度之間的相互作用不僅是量子計量,而且也是凝聚態(tài)物理中的重要課題.這在一定程度上促進了超冷原子體系中的另一個研究熱點,人造量子規(guī)范勢相關問題的量子模擬[123,124].因此,產(chǎn)生不同自由度量子態(tài)的量子糾纏的關鍵是要尋找連續(xù)自由度(動量)和分離自由度(自旋)之間的相互作用.

圖8 兩空間分離的粒子的相同自由度(a)和不同自由度(b)之間的非定域關聯(lián)(Bell關聯(lián));(c)產(chǎn)生和驗證自由度間非定域關聯(lián)的實驗方案.Alice和Bob各自制備自旋態(tài)為 的原子并使其通過混合分束器.分束器的兩個輸出分別與本地和對方的分析儀器相連.第二個混合分束器作為各自的分析儀器的一部分,將所得信號組合,在兩個粒子的不同自由度中產(chǎn)生了非定域關聯(lián).通過CHSH不等式來區(qū)別,此時兩探測器的信號同時響應.圖取自文獻[122]Fig.8.(a) Hypernonlocality represents the simultaneous presence of Bell correlations among more than one DOF of two spatially separated particles;(b) hybrid nonlocality identifies Bell correlations among the discrete DOF of one particle and the continuous DOF of another distant particle;(c)experimental scheme for the generation and verification of inter-DOF entanglement.Alice and Bob both prepare one particle in a spin- state and submit it to a hybrid beam splitter.One of the output ports is sent to their local laboratory while the other is send to the opposite party.By mixing the local and the received copy using a second hybrid beam splitter,the desired correlations are established. Both parties now measure either spin or external d.o.f of their received particles,as depicted by the interchangeable measurement devices (white boxes).The recorded data from the events in which both parties receive exactly one particle violate a suitable CHSH inequality,independently of the measured DOF Adapted from Ref.[122].

3 量子增強的原子干涉儀

即使不考慮多原子體系中的量子糾纏特性,利用超冷原子體系作為量子計量的載體,就已經(jīng)充分利用了它的一個基本量子屬性——全同性.因此一定意義上實現(xiàn)了具有量子增強的量子計量:由于全同的超冷原子體系本身就是一個非常難得的、與參數(shù)測量要求完全相同的多粒子統(tǒng)計初態(tài)[49].利用其完成一次測量所獲得測量精度的提高與系統(tǒng)中原子數(shù)的根號成正比(頻率或時間測量中利用光格子將原子分開,亦是相同的道理).這也是利用超冷原子氣體的原子干涉儀進行重力、微磁場以及時間頻標或者原子鐘等進行計量研究的一個原因.無論在光子還是原子體系中,對精密測量而言,干涉儀都是一個非常重要的工作框架.因此,本小節(jié)將簡要回顧有關SU(2）干涉儀的工作原理,再對我們建議的多模式原子干涉進行簡要介紹.

3.1 SU(2）干涉儀

圖9 廣義 Bloch 球上馬赫-曾德干涉儀和拉姆齊干涉儀對集體自旋的操作.圖取自文獻[5]Fig.9.Representation of Mach-Zehnder and Ramsey interferometer operations as rotations of the collective spin on the generalized Bloch sphere.Adapted from Ref.[5].

一個標準的線性、無損的SU(2）干涉儀通常有兩個輸入和兩個輸出端口,可用下面的矩陣運算來表示

1）對稱分束器.對于一個完全對稱的分束器,對兩個不同輸入態(tài)有完全相同的作用,可以利用(69）式來表示.其對稱矩陣(70)式中的兩個角度分別為,,

3.2 原子干涉儀

相較于光學、電子以及中子干涉儀,原子干涉儀具有原子種類多,光學散射截面大,對電、磁環(huán)境靈敏度高和易于測量等特點.從上世紀70年代開始,在對原子的波動特性和其質心運動的相干控制有了一定積累之后,對原子干涉儀[22]的相關研究取得了長足的進步.目前原子干涉儀已經(jīng)成為基礎量子理論、精密測量以及原子分子物理研究中的重要手段[22,126].原子干涉儀的實驗實現(xiàn)一定意義上展現(xiàn)了人們對原子波動性相干操控的能力.關于它的相關研究和綜述很多,有興趣的讀者請參考文獻[22,126,127].本文扼要介紹其工作原理以及一些主要進展.

1）主要組成過程.基于上述SU(2）干涉儀的原理,原子干涉儀是將原子特定量子態(tài)(內態(tài)或動量態(tài))上累積相位精確讀出的儀器,主要由以下幾部分組成:I)初態(tài)(長壽命內態(tài)或是動量態(tài))的選取;II)相干原子分束,通過光柵衍射方法實現(xiàn);III)自由演化階段,即相位差累積過程(在這個過程中,將待測量的物理量與原子內態(tài)或動量態(tài)進行耦合);V)相干復合過程,將不同路徑上的原子進行態(tài)疊加;VI)測量過程,通過測量不同態(tài)上的粒子數(shù),獲得干涉條紋并讀取相位差信息.需要注意的是,依賴于不同測量物理量的原子干涉儀進行相干操控的量子態(tài)并不相同,比如:測量時間頻率標準時,關注的量子態(tài)為原子的內態(tài);而在重力等慣性力的測量中,則是其平動量子態(tài)(動量態(tài))[22,126].

2）相干原子分束.通過降溫和速度選擇等方法,原則上可以得到具有較好空間分布的原子初態(tài).根據(jù)不同原子干涉儀的用途,還需對原子云進行進一步的操作以獲得理想的原子初態(tài).一般來講,原子相干分束通過衍射(diffraction)過程來實現(xiàn).早期的原子衍射選用特定的晶體或微納結構的光柵器件來實現(xiàn)[22].近年來,光與原子相互作用成為原子相干分束的主要手段,下面對其中的兩類相互作用進行簡單介紹:Raman-Nath近似的光格子作用和速度選擇的受激拉曼躍遷作用.在原子束與光場的相互作用中觀察到原子的衍射現(xiàn)象[128,129]以后,原子與光的相互作用才被認為是一種相干原子分束的有效手段[22],即光格子對原子束也可起到光學鏡片對光一樣的作用.一個兩能級原子與光場的相互作用的有效勢函數(shù)可以寫為

圖10 無量綱參數(shù)下的原子衍射圖:KD 衍射和 Bragg 衍射所滿足的條件.圖取自文獻[22]Fig.10.Dimensionless parameter space for atom diffraction,KD labels curves corresponding to conditions that maximize Kapitza-Dirac diffraction,and Bragg indicates curves that correspond to conditions for Bragg reflection.Adapted from Ref.[22].

3）受激拉曼型的原子干涉儀.由于上述的雙光子拉曼過程對原子平動動量有一個小的改動,因此這個過程也被稱為與速度依賴的拉曼轉移過程.將這個過程用來對超冷原子進行相干分束、復合等操作,就是目前原子重力干涉儀的工作原理[44,126,130].如圖11所示,簡單地說,利用第一束拉曼光,將處于的初態(tài)原子平均分束為和;經(jīng)過時間的自由飛行,再利用一個脈沖將兩個內態(tài)上的原子進行交換,即;再經(jīng)過相同的自由飛行時間,兩原子團將回到相同的地方,再進行另一個拉曼光作用,即完成了該原子干涉儀的基本過程.上述相同的自由飛行時間可以在原子噴泉中得到保證.利用原子干涉儀還可以實現(xiàn)微觀粒子弱等效原理檢驗[131?138].

3.3 多模式原子干涉儀

為了進一步提高原子干涉儀的測量精度,除將量子初態(tài)制備為量子糾纏態(tài)之外,還可以考慮一些其他的量子效應,達到提高量子測量精度的目的.但是,這種精度的增加,仍然受到標準量子極限的限制,而遠未達到海森伯極限的量級.本小節(jié)將介紹利用Kaptiza-Dirac(KD)方法對原子進行相干分束操作,同時介紹利用諧振子運動的特性而發(fā)展的一種新的多模式原子干涉儀[140].

圖11 (a)馬赫-曾德原子干涉儀示意圖;(b)重力計原理示意圖.圖取自文獻[139]Fig.11.(a) Schematic plot of Mach-Zehnder atom interferomery; (b) schematic plot of Gravimeter configuration.Adapted from Ref.[139].

1）多模式干涉儀.標準量子極限(58）式表明,增加統(tǒng)計獨立的測量次數(shù)或者增加參與測量初態(tài)的粒子數(shù)均可以有效地提高測量的精度.在光學干涉儀中,還可以通過提高入射激光的功率來提高測量精度(已經(jīng)在LIGO的引力波測量中被提及,當然也特別采用了非經(jīng)典光來提高測量精度),因為激光功率增加相當于輸入了更多的光子.相較于提高光子數(shù)目,在實驗中增加原子初態(tài)的原子數(shù)目就沒那么容易了.有別于輸入非經(jīng)典態(tài)或量子糾纏態(tài),利用多模式或是多通道干涉儀的方法來提高測量精度也逐步引起人們的注意[141,142].在光學干涉儀中,通過多模式的分束器、或是多路的干涉光源,已經(jīng)發(fā)現(xiàn)類似的測量精度的提高,其中是模式或者光源的數(shù)目[142].這樣的測量精度的提高雖與突破散粒噪聲極限無關,但是由于比多原子量子糾纏態(tài)穩(wěn)定、易操作,還是受到人們的關注[49].利用光格子囚禁的超冷原子氣體,也被建議用來實現(xiàn)模式的原子干涉儀[143],此時為囚禁冷原子的光格子的數(shù)目.處在不同格點位置的原子,自然成為探測不同點重力參數(shù)的探針,計算表明其測量的精度可以達到.

2）Kaptiza-Dirac 多模式原子干涉儀.如前所述,KD光脈沖提供了一種將超冷原子在不同動量態(tài)上進行重新相干分布的方法.同時,雖然光與原子的作用時間相對短,但是KD效應已經(jīng)在很多實驗室被觀察到,如圖11所示.在原子噴泉實驗[144]中,要保證更多的原子處于完全相同的動量初態(tài),原則上也需要更低的實驗溫度.相對較長的作用時間也在一定程度上增加了原子量子相干性保持的難度.特別是原子的擴散過程,會造成有效原子數(shù)目的減少.綜合考慮上述原因,我們在2014年建議了一種新的多模式原子干涉儀的實驗方案,特別考慮了KD光與原子相互作用的特性以及在諧振勢中粒子運動的特點.如圖12所示,利用諧振勢中粒子運動的周期性,可以有效減少由于光脈沖相互作用導致的光子數(shù)損失.

2）主要過程:I)初態(tài)制備,處于諧振勢中的超冷原子氣體(無相互作用);II)KD相互作用的原子分束器,純相位器件;III)自由演化,多路的相位累積過程,相鄰兩路之間的相位差設為相同();IV)在時刻(為諧振子勢阱的囚禁頻率),加另一束KD光相干疊加不同路徑的原子;V)在測量,處于不同動量態(tài)的原子數(shù)的測量.由于初始原子之間并無相互作用,該動力學過程可以精確求解.利用量子Fisher信息的計算,可以得到對于相位的估計精度[145]為

3.4 非局域相互作用的原子干涉儀

1）非局域相互作用.通常情況下原子干涉儀與待測物理量之間的耦合相互作用都是局域的,或者與粒子數(shù)成正比,是線性關系,可用幺正變換(68）式來表示.但在一些特定情況下,粒子間的非線性或非局域相互作用也起重要的作用,此時,相位測量精度與探測態(tài)中粒子數(shù)之間的關系,與這些非線性相互作用的大小與形式均相關,可以滿足不同于的關系,其中(SQL)或是1(HL)[147?153].需要指出的是,盡管非線性或非局域相互作用可以導致測量精度與粒子之間新的冪次關系,但仍然滿足標準量子極限和海森伯極限(參見文獻[5]及其參考文獻)(本質上講,由于這些非線性或非局域相互作用也是產(chǎn)生糾纏或增加Fisher信息的主要原因,因此,我們認為在累積相位的過程中也增加了測量初態(tài)的量子Fisher信息或量子糾纏;另外,線性相互作用不會造成量子Fihser信息的增加或量子糾纏).

為簡單起見,以均勻體系的兩種非線性(非局域)相互作用說明這些相位計量精度與非線性相互作 用 強 度 的 依 賴 關 系 .因 此 ,選 擇,,這種情況對應于線性原子干涉儀(68）式.同時,將格點相互作用強度并入到相位中,此時非局域相互作用的貢獻實際上由其與線性或是局域相互作用量的比值決定.

3）Ising型的原子干涉儀.考慮近鄰相互作用且外場與格點自旋方向相同(順場Ising),即信息的定義,使(82）式取最大值的、可分的量子純態(tài)可寫成[84]

圖13 (a)在 Ising 模型中,平均自旋 隨 的變化情況;(b) 隨 的變化情況,以及標準量子極限和亞散粒噪聲極限的邊界,同時其也是判定有用量子糾纏態(tài)的邊界[84].灰色區(qū)域為亞散粒噪聲區(qū)域.圖取自文獻[84]Fig.13.we show the with respect to ;(b)with respect to the and give the boundary between standard quantum limit and sub-shot noise, which also witnesses the useful entanglement in Ref.[84].The gray region denotes the sub-shot noise region.Adapted from Ref.[84].

圖13 及(87）式表明:近鄰相互作用下,量子Fisher信息隨相互作用強度的變化呈單調關系.盡管在時呈現(xiàn)非線性關系,但是,仍可作為判斷多粒子量子糾纏的判據(jù),詳細可參見文獻[84].同時考慮(87）式以及CRB(15）式可以知道,相位測量精度將依賴于非局域相互作用強度,即

4）LMG型的原子干涉儀.另一種極限情況為,(81）式中的任意兩個格點之間存在相等的非局域相互作用,即,同時.該模型最早在核物理研究中提出[155?157],近些年在量子糾纏[158?160]、自旋壓縮[113,161]以及量子計量方面[162]都有較為廣泛的應用.與Ising情況不同,對于任意給定的耦合強度,不同格點上的自旋平均值相等,即(圖 14(a)),使 (82） 式最大.也就是說,系統(tǒng)的量子Fisher信息(82）式可以寫為[84]

圖14 (a)在 LMG 模型中,平均自旋 隨 的變化情況;(b) 隨 的變化情況,以及標準量子極限和亞散粒噪聲極限的邊界,同時其也是判定有用量子糾纏態(tài)的邊界[84].圖取自文獻[84]Fig.14.(a)We show the with respect to in LMG model;(b) with respect to the and give the boundary between standard quantum limit and sub-shot noise,which also witnesses the useful entanglement in Ref.[84].The gray region denotes the sub-shot noise region.Adapted from Ref.[84].

由對Fisher信息(82）式中各項分別最大化得到,如圖14(b)中紅色的虛線表示.顯然,在給定非局域相互作用以及原子數(shù)的條件下,LMG型原子干涉儀可以進一步提高相位測量的精度,因為.利用這種量子Fisher信息與粒子數(shù)的單調關系可以區(qū)分不同多粒子量子糾纏態(tài)的糾纏特性[84].

4 量子計量中的統(tǒng)計方法

相位估計是量子計量,甚至是量子精密測量中的核心環(huán)節(jié)之一,也是經(jīng)典統(tǒng)計推斷(statistical inference)中的一個重要分支.如果待測參數(shù)在測量過程中不隨時間變化,這類參數(shù)估計問題為靜態(tài)參數(shù)估計問題[163],比如重力、引力常數(shù)等;當然還存在測量過程中變化的參數(shù)估計,此類問題不在本文討論的范圍(典型的問題應為時間頻率標準中的估計,此類問題被稱為warm-function估計).對于第一類問題,即待測參數(shù)在測量過程中為常數(shù),通常有兩類不同的估計方法:一種稱為貝葉斯(Bayesian)估計,另一類稱為頻率(frequentist)論估計或Fisher估計,也被稱為非貝葉斯估計.由于兩種估計方法處理數(shù)據(jù)的出發(fā)點完全不同,因此,不同的方法可能導致不同的結論甚至悖論式的結論.相位估計所處理的數(shù)據(jù)都具有隨機數(shù)的特性,它的主要任務是要從這些具有隨機特性的實驗數(shù)據(jù)中,將所關心的待測物理量高精度地估計出來.一般將測量數(shù)據(jù)的隨機性歸結為噪聲(noise).有兩類完全不同的噪聲:一類為經(jīng)典噪聲;另一類為量子噪聲.其中第一類噪聲是固有的,由儀器或操作的不完善造成,是可以壓縮到零的;而第二類噪聲是本質的,由量子力學原理所決定,是不可克服的[164].

4.1 頻率論估計

來評估[166].注意 (93） 式中,待測量相位值并不事先可知,因此,與 (92）式比較就有

從這個角度上講,(92）式更具有實驗的可操作性.對于無偏差的估計子而言,(92）式和(94）式是等價的.由于 (94）式中,所以有.也就是說,任何小于

2）Barankin 極限.經(jīng)典統(tǒng)計理論給出 (92）式的方差存在一個極限,稱為Barankin極限[167,168]

4.2 貝葉斯估計

需要指出的是,后驗分布函數(shù)對先驗分布函數(shù)有非常強的依賴性.如果對待估計參數(shù)一無所知,那么選取一個合適的先驗分布函數(shù)并不是一件容易的事情.也就是說,并非簡單選擇一個常數(shù)作為分布函數(shù)即可,詳細的討論參見文獻[164].但是,如果得到(98）式的后驗分布函數(shù),可以利用找極值的方法得到估計的:.當先驗分布為常數(shù)時,此法與最大似然估計∫相同,也可以通過對后驗分布求平均值來獲得估計值.

與頻率估計方法不同,利用貝葉斯估計方法,可以得到一個關于估計值的置信區(qū)間(confidence interval)(在測量次數(shù)很大時,它與漲落具有相似的含義)

2）Ghosh 極限.1993 年,Ghosh[172]證明 (99）式存在下限

4.3 數(shù)值驗證

1）最大似然分布函數(shù).下面采用與離子實驗[92]相關的宇稱測量結果(51）說明前兩節(jié)中提到的各種統(tǒng)計極限.考慮?離子的 GHZ 糾纏態(tài),,作為初態(tài),再對其進行 (68）式描述的的轉動操作.對于轉動相位,通過對宇稱性 (,為在上的粒子數(shù)) 的測量來估計.測量值的條件概率函數(shù)由(51）式給出,因此,經(jīng)過次獨立測量所得到的似然函數(shù)為

圖15 (a)最 大 似 然 估 計 偏 差 (綠 色 圓 點 ) 隨 獨 立 測 量 次 數(shù) 的 變 化 ,誤 差 為 ;紅 色 曲 線 為;(b) (空心紅圈) 隨 的變化.紅色實線為 .圖取自文獻[164]Fig.15.(a)Bias (green dots)as function of with error bars .The red lines are (b) variance of the maximum likelihood estimator multiplied by the Fisher information,(red circles),as a function of the sample size .It is compared to the bias (red line).We recall that and here.Adapted from Ref.[164].

圖16 不同先驗概率下,頻率論方法得到相位估計值的方差( ,紅色圓圈) 及其邊界 CRB( ,紅色虛線),和貝葉斯相位估計的方差 ( ,藍色圓圈) 及其邊界 ( ,藍色實線) 隨樣本 的變化(a) ;(b);(c) ;(d) .每張圖中內嵌的圖是先驗概率 的分布圖.圖取自文獻 [164]Fig.16.Comparisons of phase estimation variance as a function of the sample size for Bayesian and frequentist data analysis under different prior distributions:(a) ;(b) ;(c) ;(d) .In all figures,Red circles(frequentist)are,the red dashed line is the CRB. ,Eq.(124）.Blue circles(Bayesian)are ,the blue solid line is the likelihood-averaged Ghosh bound ,Eq.(103）.The inset in each panel is .Adapted from Ref.[164].

5 總結與展望

利用超冷原子系統(tǒng)突破標準量子極限是一個充滿生機與挑戰(zhàn)的多學科交叉研究領域.在實驗方面,已經(jīng)完成了若干利用多粒子糾纏態(tài)提高測量精度、趨近海森堡極限的驗證性實驗,未來的研究可能集中到將其擴展到具體的物理參數(shù)測量的系統(tǒng)中.理論方面,基于量子Fisher信息的多粒子量子糾纏態(tài)判據(jù)以及相關的量子計量基本理論仍需進一步發(fā)展,同時也需要關注相關的量子效應,以提高物理量的測量精度.由于該領域發(fā)展很快,這里簡單介紹一下最近在理論方面的幾個進展.

1）連續(xù)變量糾纏判據(jù).量子 Fisher信息已成功地應用在分離變量的量子系統(tǒng)中的多粒子糾纏判據(jù)和量子參數(shù)估計中[4,174].考慮到Fisher信息與測量物理量測量精度之間的關系((9）式),Fisher信息已經(jīng)被推廣到連續(xù)變量的糾纏判定[82,175].考慮一個模式的連續(xù)變量系統(tǒng)相空間.相應的算符矢量為義為

因此(110)式及(112）式就是連續(xù)變量條件下的多粒子糾纏判據(jù).該判據(jù)的有效性,已經(jīng)得到利用2–-4不同組份壓縮光實驗結果的證實[176].

2）多變量參數(shù)估計.前面關于標準量子極限、海森堡極限的進展是基于單參數(shù)的相位估計理論.同時對多個參數(shù)估計的研究才剛剛開始,由于其在量子成像和探測等方面有重要應用前景,多變量的相位估計正在引起人們的關注[177?180].在多變量的參數(shù)估計問題中,要考慮對一個維的矢量進行估計.此時要討論的條件概率分布函數(shù)也是多變量的,此時無偏估計子滿足相應的CRB寫為

3）含時參數(shù)估計問題.在測量時間內,如果待測物理量是隨時間變化的,那么是否存在一個測量極限？如果存在的話,它是多少?隨時間變化的待估計相位在引力波測量、磁場力、光力系統(tǒng)等過程中都是常見的,因此,近幾年引起了人們的關注(參見文獻[181],及其參考文獻).隨時間變化的相位也被稱為波形(waveform)問題,連續(xù)的測量才可能提取其隨時間變化的信息.Tsang等[181]2011年將Bayesian分析方法引入到含時問題的估計中,并給出一個量子 CRB.需要指出的是,對光頻率鐘的測量過程中也存在相應的問題.由于鐘激光不可避免地存在隨時間的頻率變化,因此,如何對其隨時間的變化進行測量是對其實現(xiàn)穩(wěn)定性控制的關鍵問題.一般地,含時待測物理參數(shù)更具有一般性,如何發(fā)展具有普適性的、嚴格的計量理論仍是一個開放的問題.

4）關于統(tǒng)計方法.由前面的討論可以知道,在有限次測量的條件下,要達到統(tǒng)計允許的最佳測量精度是比較困難的,或者說對測量數(shù)據(jù)的分析方法有較強的依賴性.對實驗測量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析有很多種方法,不同的統(tǒng)計方法可能導致不同的邊界.如何在統(tǒng)一的標準量子極限或海森堡極限下理解這些極限,也是一個有挑戰(zhàn)的研究課題.如前所述,若測量算符為有偏差測量時,上述極限原則上不正確,需要更一般的討論[182].近年來,非高斯情況下的統(tǒng)計特性逐漸成為研究的熱點,與此相關的量子Ziv-zakai邊界是其中的熱點之一[183].在考慮非漸近的體系時,則需要考慮Weiss-Weinstein邊界[184].

簡而言之,超冷原子體系中的量子計量不只是一個技術問題,還與許多基本的量子效應、甚至量子理論的基本概念息息相關.因此,它是一個非常有活力的研究領域,是下一代精密測量儀器產(chǎn)生的源泉.

感謝山西省百人計劃專家、意大利科學院光學研究所Smerzi研究員,山西省百人計劃青年學者、意大利科學院光學研究所Pezze博士,以及意大利科學院光學研究所Gessner博士的討論與建議.

附錄A1

附錄A2

附錄A3

可以得到

這樣(95）式得證.