馬堃 陳展斌 黃時中1) (黃山學院信息工程學院, 黃山 245041) (湖南工業(yè)大學理學院, 株洲 412007) (安徽師范大學物理與電子信息學院, 蕪湖 241000)(2018 年10 月27日收到; 2018 年12 月10日收到修改稿)

基于Rayleigh-Ritz變分原理, 發(fā)展了一套處理弱耦合等離子體環(huán)境中多電子原子(離子)非相對論能量及其相對論修正的解析方法. 通過考慮電子間交換相互作用以及內(nèi)外殼層電子的屏蔽效應, 計算了Ar16+基態(tài)1s2 1S、單激發(fā)態(tài)1sns 1,3S (n= 2—5), 1snp 1,3P (n= 2—5) 和雙激發(fā)態(tài)2snp 1P (n= 2—5)非相對論能量及其相對論修正值(包括質(zhì)量修正、單體和雙體達爾文修正以及自旋-自旋接觸相互作用項), 討論了等離子體屏蔽效應對能級的影響. 結(jié)果表明: 相對論質(zhì)量修正和第一類達爾文修正占主導, 比其他相對論修正項高出三個數(shù)量級. 此外, 等離子體屏蔽效應具有明顯的態(tài)選擇性, 屏蔽效應對外殼層電子的影響大于內(nèi)殼層電子, 隨著等離子體屏蔽參數(shù)的增加, 外殼層電子軌道向外延展, 激發(fā)態(tài)越高, 延展程度越大.

1 引 言

等離子體是指由原子或原子團的部分電子被剝奪后產(chǎn)生的正負離子形成的離子化氣體狀物質(zhì),其廣泛存在于宇宙環(huán)境中. 在等離子體環(huán)境下, 核外電子所感受到的勢發(fā)生變化, 導致能級、躍遷光譜和碰撞動力學等原子參數(shù)發(fā)生改變. 這些原子數(shù)據(jù)對解釋和診斷聚變等離子體中的溫度和密度等狀態(tài)具有重要的參考價值. 近年來, 隨著聚變等離子體實驗的開展, 以及先導聚變實驗項目(如國際熱核聚變實驗堆(ITER)等)的推進, 人們越來越關(guān)注等離子體環(huán)境中輻射光譜和動力學參數(shù). 等離子體中粒子之間相互作用與等離子體的溫度和密度等狀態(tài)參數(shù)有關(guān). 人們常使用一些參數(shù)來表征等離子體的性質(zhì), 如等離子體耦合參數(shù)其中a=(3/4πne)1/3,kB為玻爾茲曼常數(shù),Te為等離子體電子溫度,ne為電子密度,e為電荷電量. 當Γ?1時, 等離子體稱為弱耦合等離子體, 其廣泛存在于宇宙大氣、太陽等恒星表面以及實驗室中的氣體放電和托克馬克等離子體中. 當?！? 時, 等離子體稱為強耦合等離子體. 由于物理模型的局限性, 人們構(gòu)造了多種計算模型描述不同溫度和密度條件下的等離子體. 例如, 對于高溫低密弱耦合等離子體, Debye和 Hückel[1]提出了 Debye-Hückel勢代替?zhèn)鹘y(tǒng)的庫侖勢, 即將兩個帶電量分別為q和q′的點電荷之間相互作用庫侖勢改寫成為V(r)=為等離子屏蔽長度. 對于高密度量子等離子體, 引入余弦指數(shù)函數(shù)對Debye-Hückel勢進行了修正,以描述較強耦合效應, 該模型廣泛應用于凝聚態(tài)物理領(lǐng)域[2]. 此外, 人們還采用離子球(IS)模型描述強耦合等離子體中的屏蔽效應. IS模型將離子包圍在一個元包中, 元包所含電子的個數(shù)與離子的電荷態(tài)相等以保證整個元包呈電中性[3-9]. 這些工作的開展, 為人們獲取等離子體內(nèi)部信息提供了重要的幫助.

氬(Ar)作為宇宙豐度元素之一, 其各種離化度離子廣泛存在于太陽耀斑、超行星和黑洞的吸積盤等天體等離子體環(huán)境中. 早期的光學不透明度工程, 對Ar16+和Ar17+光電離截面作了系統(tǒng)的計算研究, 給出了大量可供分析天體輻射光譜的參考數(shù)據(jù)[10-12]. 2000年, 錢德拉空間觀察站在塞弗特星系NGC 3783中觀察到Ar16+的輻射譜線, 這些譜線的分析需要理論數(shù)據(jù)作為依據(jù)[13]. 由此可見, 研究等離子環(huán)境中Ar16+能級和輻射光譜的理論, 不僅對天體等離子體的狀態(tài)診斷和光譜分析起著重要的作用, 而且由于其核外有兩個電子, 是考察電子與原子核、電子與電子間相互作用和相對論效應的理想體系[14-22]. 目前對Ar16+能級的研究主要集中在非屏蔽下能級結(jié)構(gòu)和躍遷數(shù)據(jù)的計算. 如Saha等[14]在非相對論變分框架, 提出了一種新的試探性波函數(shù), 在包含徑向和角向關(guān)聯(lián)效應下, 計算了Ar16+基態(tài)能量, 獲得了較高精度的結(jié)果;Costa等[15]在Dirac-Fock近似下計算了Ar16+高激發(fā)態(tài)到基態(tài)的躍遷能、輻射躍遷幾率和非輻射躍遷幾率; Goryaev等[16]基于Z展開方法的MZ代碼計算了Ar16+共振態(tài)到基態(tài)和低激發(fā)態(tài)之間的躍遷能和躍遷幾率, 為了提高計算精度, 文中的相對論效應包含了Breit作用. Saha等[17]在非相對論框架下計算了弱耦合等離子體環(huán)境中2pnd (n= 3—6)以及2pnp (n= 3—6)雙電子原子的能級結(jié)構(gòu), 他們發(fā)現(xiàn)隨著等離子體耦合強度的增加, 原子趨于不穩(wěn)定, 且束縛態(tài)電子的個數(shù)逐漸減少. Fang等[18]研究了等離子環(huán)境對 H eα線移動的影響, 結(jié)果表明等離子體環(huán)境下的躍遷譜線存在紅移現(xiàn)象, 同時指出紅移與德拜長度之間的規(guī)律可以作為一種重要的診斷等離子體狀態(tài)工具. Kar和Ho[19]采用了高度關(guān)聯(lián)的Hylleraas-type基對氦原子雙激共振態(tài)2s21S的共振能和共振寬度進行了計算. Xie等[20]在多組態(tài)Dirac-Fock方法的基礎(chǔ)上, 將Debye-Hückel勢引入能量及躍遷哈密頓量中, 并對C4+1s2, 1s2l(l= s, p)以及1s3l(l= s, p, d)組態(tài)間的電偶極、磁偶極和磁四極躍遷幾率、振子強度等原子參數(shù)進行了計算, 分析了電子與電子、電子與原子核相互作用對激發(fā)態(tài)和躍遷能的影響. 計算表明, 等離子體屏蔽導致原子激發(fā)能降低.

盡管目前已開展了大量研究工作, 但對等離子屏蔽下Ar16+能級結(jié)構(gòu)的研究結(jié)果匱乏, 有關(guān)相對論效應對等離子體中原子能級和躍遷性質(zhì)影響的報道更少. Chaudhuri等[23]分別利用標準的屏蔽庫侖勢和余弦屏蔽庫侖勢對等離子體環(huán)境效應下類氫離子基態(tài)和最低的兩個激發(fā)態(tài)能級結(jié)構(gòu)進行了計算, 討論了相對論修正項中的質(zhì)量修正項、達爾文修正項以及自旋-軌道相互作用項在等離子體環(huán)境下的行為. Hu等[24]在庫侖屏蔽勢下對類氫離子的激發(fā)能和躍遷幾率進行了計算, 分析了相對論效應對束縛態(tài)能級的影響, 結(jié)果表明, 庫侖屏蔽勢可以很好地描述弱耦合等離子體環(huán)境對原子結(jié)構(gòu)和躍遷線的影響, 屏蔽勢減小原子能級間的躍遷能,同時指出相對論能量對低電荷類氫離子束縛態(tài)能級的影響可以忽略不計. 然而, 以上的解析方法對單電子體系是適用的, 很難推廣到多電子體系.

本文基于變分理論, 發(fā)展了一套處理弱耦合等離子體環(huán)境中多電子原子(離子)基態(tài)和激發(fā)態(tài)非相對論能量及其相對論修正能量的解析計算方法.為了包括內(nèi)外殼層電子的不同屏蔽效應以及交換效應, 組態(tài)波函數(shù)采用了反對稱性的Hartree-Fock波函數(shù), 同時將內(nèi)外層電子徑向軌道的變分參數(shù)取為獨立的值. 我們以類氦氬離子為例, 計算了等離子體環(huán)境下基態(tài)、單激發(fā)態(tài)和雙激發(fā)態(tài)的非相對論能級, 給出了質(zhì)量修正、單體和雙體達爾文修正、自旋-自旋接觸相互作用和軌道-軌道相互作用等相對論修正項的能量值, 并討論離子體屏蔽效應對能級和波函數(shù)的影響.

2 理論方法

2.1 非相對論能量

對于孤立雙電子原子, 非相對論哈密頓量可以表示為

式中Z為核電荷數(shù). 在弱耦合等離子體中, 原子的非相對論哈密頓可以改寫為

需要說明的是, 本文僅考慮電子與原子核之間勢的修正, 沒有包括電子與電子之間相互作用勢的修正. 事實上, 文獻[22]的研究表明, 對于高Z高電荷態(tài)離子電子-電子相互作用勢的修正對結(jié)果影響不大, 可以忽略不計. 依據(jù)Rayleigh-Ritz變分法,在Racah表象下的多電子原子非相對論本征能量可以由(3)式得到:

其中Cβ為組合系數(shù);為將單電子波函數(shù)反對稱化后得到的Slater行列式波函數(shù),分別為單電子主量子數(shù)、軌道量子數(shù)、軌道量子數(shù)投影和自旋量子數(shù)投影.可以進一步寫成單電子徑向、角向和自旋波函數(shù)的乘積形式, 即

將(4)式代入(3)式, 完成角向和自旋部分積分后, 非相對論能量表達式只剩下徑向部分的單電子直接積分和雙電子積分, 即

2.2 相對論修正

非相對論能量的相對論修正哈密頓量可以寫成

式中HMC為相對論質(zhì)量修正項;為達爾文修正項,HD1為單體達爾文修正項,HD2為雙體達爾文修正項;HSSC為自旋-自旋接觸相互作用項;HOO為軌道-軌道相互作用項. 表達式分別為

在Racah表象下, 各相對論修正項的能量可以分別寫為

最后得到總相對論修正能量為

表1 相對論修正對C4+基態(tài)1s2 1S能級的影響(單位: a.u.)Table 1. Effects of relativistic correction on ground state 1s2 1S energies level in C4+ (unit: a.u.).

3 計算與討論

基于上述解析推導, 我們編寫了處理等離子體環(huán)境中原子非相對論能量和相對論修正能量的計算程序. 為了驗證計算方法和代碼的可靠性, 首先對C4+基態(tài)的非相對論能量及其相對論修正能量進行了計算, 并將計算結(jié)果與文獻進行了比較, 結(jié)果如表1 中所列, 其中,u為德拜半徑的倒數(shù),α1s為軌道變分參數(shù),ENR為非相對論能量,EMC和ED1分別為質(zhì)量修正和單體達爾文修正, ΔERS為總相對論修正能量,ET為總能量. 可以看到, 考慮相對論效應之后, 我們的計算結(jié)果與文獻[20, 25, 26]符合得非常好, 誤差小于0.4%. 需要說明的是, 由于基態(tài)的兩個電子均處于s軌道, 雙體達爾文修正項、自旋-自旋接觸作用項和軌道-軌道相互作用項為零.

3.1 Ar16+非相對論能量

為了研究相對論修正對原子能級結(jié)構(gòu)的影響,我們對弱耦合等離子環(huán)境下類氦Ar16+基態(tài)1s21S、單激發(fā)態(tài) 1sns (n= 2—5)1,3S, 1snp (n=2—5)1,3P和雙激發(fā)態(tài)2snp (n= 2—5)1,3P的非相對論能量及其相對論修正能量值進行了系統(tǒng)的計算.

對于雙電子體系單重態(tài), 其原子態(tài)的Racah波函數(shù)可以展開為

式中

將(16)式的Racah波函數(shù)代入(3)式, 完成角向和自旋部分積分, 可得徑向積分部分的非相對論能量表達式, 以1s2s組態(tài)為例, 其表達式為

將徑向波函數(shù)代入(18)式, 完成徑向積分, 可得關(guān)于變分參數(shù)的非相對論能量解析表達式, 即

對(19)式取極值, 可以得到各軌道的變分參數(shù), 具體數(shù)據(jù)在表2中給出. 可以看到, 電荷虧損隨著電子軌道的增高逐漸減小, 這是由于電子軌道越高, 電子貫穿和屏蔽效應越來越弱.

3.2 等離子環(huán)境中Ar16+基態(tài)和激發(fā)態(tài)相對論能級

在球張量的形式下, 將(10)—(13)式代入各相對論修正項(14)式, 利用不可約張量理論完成徑向、角向和自旋部分的積分, 最終可以得到各原子態(tài)解析的相對論能量參數(shù)表達式. 以基態(tài)1s2(1S)態(tài)和激發(fā)態(tài)1s2s (1S)態(tài)為例, 基態(tài)1s2(1S)各相對論修正項的解析參數(shù)表達式為

激發(fā)態(tài)1s2s (1S)各項相對論修正項的解析參數(shù)表達式為

將非相對論能量計算時得到的變分參數(shù)代入以上的解析式中, 即可得到各相對論修正項的能量值. 表3—表8分別給出了基態(tài)1s2(1S)和激發(fā)態(tài)1sns (1,3S,n= 2—5), 1snp (1,3P,n= 2—5), 2snp(1P,n= 2—5)的相對論性能量. 需要說明的是,因為雙電子原子單重態(tài)的兩個電子自旋方向相反,所以雙體達爾文修正和自旋-自旋接觸相互作用修正項對應的相對論能量為零; 1sns組態(tài)兩電子軌道量子數(shù)相同, 軌道-軌道相互作用項的貢獻為零.

表2 Ar16+ 1sns, 1snp和2s2p組態(tài)變分參數(shù)Table 2. Variation parameters of 1sns, 1snp and 2snp configurations in Ar16+.

表3 Ar16+基態(tài)1s2 1S相對論性能量(單位: a.u.)Table 3. Relativistic correction on ground state 1s2 1S energies level in Ar16+ (unit: a.u.).

表4 Ar16+激發(fā)態(tài)1s2s 1S相對論性能量(單位: a.u.)Table 4. Relativistic correction on excited state 1s2s 1S energies level in Ar16+ (unit: a.u.).

表5 Ar16+激發(fā)態(tài)1s2s 3S相對論性能量(單位: a.u.)Table 5. Relativistic correction on excited state 1s2s 3S energies level in Ar16+ (unit: a.u.).

表6 Ar16+激發(fā)態(tài)1s2p 1P相對論性能量(單位: a.u.)Table 6. Relativistic correction on excited state 1s2p 1P energies level in Ar16+ (unit: a.u.).

表7 Ar16+基態(tài)1s2p 3P相對論性能量(單位: a.u.)Table 7. Relativistic correction on excited state 1s2p 3P energies level in Ar16+ (unit: a.u.).

表8 Ar16+基態(tài)2s2p 1P相對論性能量(單位: a.u.)Table 8. Relativistic correction on excited state 2s2p 1P energies level in Ar16+ (unit: a.u.).

等離子體效應導致的原子能級移動是反映等離子體內(nèi)部性質(zhì)的重要參量. 通過計算, 我們發(fā)現(xiàn)等離子體環(huán)境導致電荷虧損減小, 即核外電子感受到的原子核的影響減弱, 能級位置發(fā)生偏移. 此外我們發(fā)現(xiàn), 由等離子效應導致的非相對論能量偏移量大于相對論修正部分的偏移量. 圖2以單激發(fā)態(tài)1sns 和雙激發(fā)態(tài)2s2p的單重態(tài)為例, 分別給出了等離子體效應產(chǎn)生的總能量(非相對論能量+相對論修正能量)偏移與等離子體屏蔽參數(shù)之間的關(guān)系, 其中縱坐標δE=E(u)-E(u=0) . 可以看出,等離子體屏蔽效應導致能級向高能移動, 且隨著屏蔽參數(shù)的增加, 能移值越大. 這主要由于參數(shù)u越大, 等離子體對原子核的屏蔽越明顯, 核外電子感受到原子核的吸引勢減弱, 從而導致能級向高能移動. 此外, 隨著激發(fā)態(tài)的增高, 核外電子的距離原子核越遠, 等離子屏蔽效應對其影響也越小, 三重態(tài)也具有類似規(guī)律, 圖中沒有給出.

圖1 A16+ 1s2 1S, 1s2s 1,3S, 1s2p 1,3P和2s2p 1P 的相對論修正能量隨參數(shù)u的變化Fig.1. Relativistic corrections against parameter ufor 1s2 1S, 1s2s 1,3S, 1s2p 1,3P and 2s2p 1P of Ar16+.

圖2 等離子能級偏移與參數(shù)u之間的關(guān)系Fig.2. Plasma energy shifts against parameter u.

3.3 等離子效應對波函數(shù)的影響

由于等離子屏蔽效應改變核外電子感受到原子核的勢場, 從而導致核外電子的波函數(shù)形狀發(fā)生改變, 并進一步導致原子能級位置、躍遷譜線以及碰撞動力學參數(shù)的改變. 下面我們將借助(6)式和變分參數(shù)的數(shù)值展示等離子體屏蔽對不同原子態(tài)電子軌道波函數(shù)的影響. 圖3分別給出了屏蔽參數(shù)u= 0, 0.5和1時, 1sns單重態(tài)s軌道徑向波函數(shù)模方. 圖3(a)和圖3(b)分別給出了基態(tài)1s2和激發(fā)態(tài)1s4s單重態(tài)內(nèi)殼層1s軌道徑向波函數(shù)模方|R1s|2. 可以看到, 基態(tài)1s2和高激發(fā)態(tài)1s4s內(nèi)殼層1s電子軌道的波函數(shù)幾乎一樣, 且等離子體屏蔽效應對其影響可以忽略不計; 圖3(c)和圖3(d)分別給出了 1s2s1S, 1s4s1S單重態(tài)外殼層2s和4s軌道徑向波函數(shù)模方|R2s|2和|R4s|2. 可以看到,屏蔽參數(shù)越大, 電子軌道越往外側(cè)延展, 且4s軌道比2s軌道延展的明顯. 這表明等離子體屏蔽效應使得原子外殼層電子遠離原子核, 且激發(fā)態(tài)越高,電子軌道感受到等離子體屏蔽效應越明顯.

4 結(jié) 論

基于Rayleigh-Ritz變分法, 我們發(fā)展了一套計算等離子體環(huán)境中原子或離子非相對論能量及其相對論能量的計算程序, 該方法可以逐項解析的給出質(zhì)量修正、第一類和第二類達爾文修正、自旋-自旋接觸相互作用以及軌道-軌道相互作用等相對論修正項, 且便于推廣到任意多電子原子體系.為充分考慮了內(nèi)外殼層電子所感受到不同的屏蔽效應以及電子之間的交換效應, 本文在實際計算時內(nèi)外殼層電子采用了不同的屏蔽參數(shù), 且原子態(tài)波函數(shù)采取了Hartree-Fock反對稱化性質(zhì). 通過對等離子體環(huán)境中的C4+基態(tài)非相對論能量及其相對論修正能量進行的計算, 驗證了程序和計算方法的正確性. 利用該程序進一步系統(tǒng)計算了弱耦合等離子體環(huán)境下Ar16+基態(tài)1s2和激發(fā)態(tài)1sns, 1snp,2snp的非相對論能量及其相對論修正能量, 計算結(jié)果表明等離子體屏蔽改變核外電子的勢場, 導致外殼層電子軌道向外延展, 且電子軌道越高, 感受到等離子體屏蔽效應越明顯. 此外, 計算表明等離子體屏蔽效應對非相對論能量影響較大, 對相對論修正部分的能量影響較小.

圖3 內(nèi)外殼層電子徑向波函數(shù)模方Fig.3. Module of radial wave functions for inner and outer shell electron.