樊慶端,王國(guó)強(qiáng)

(上海工程技術(shù)大學(xué)數(shù)理與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 上海 201620)

1 待定系數(shù)法

不定積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中非常重要的一部分內(nèi)容,其方法主要有換元法與分部積分法,還有對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行恒等變形、化簡(jiǎn)等方法,這樣一些具體問(wèn)題的求法就會(huì)層出不窮[1-2]。待定系數(shù)法作為一種重要的數(shù)學(xué)方法,它在計(jì)算有理函數(shù)的不定積分與常系數(shù)非齊次線性微分方程求解方面已有重要體現(xiàn),其思想方法是將一個(gè)函數(shù)表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式,令它們相等就得到一個(gè)恒等式[3]。根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出這些系數(shù)應(yīng)滿足的方程或方程組,進(jìn)而求出待定的系數(shù)或其所滿足的關(guān)系式,這種解決問(wèn)題的方法叫做待定系數(shù)法。該方法在不定積分中應(yīng)用較多的是有理函數(shù)的不定積分,將被積函數(shù)表示成至多一個(gè)多項(xiàng)式與若干真分式之和,然后通分、運(yùn)用比較系數(shù)法求出系數(shù)[4]。簡(jiǎn)單地說(shuō),運(yùn)用待定系數(shù)法的一般步驟:首先確定所求問(wèn)題所含待定系數(shù)的解析式;然后根據(jù)題設(shè)、數(shù)學(xué)性質(zhì)等恒等列出含待定系數(shù)的方程或方程組;最后求解得出待定系數(shù)或找出待定系數(shù)所滿足的關(guān)系式。本文從待定系數(shù)法的角度討論一些不定積分的計(jì)算。

2 不定積分運(yùn)算的封閉性

函數(shù)對(duì)求導(dǎo)或不定積分運(yùn)算的封閉性討論較少。像指數(shù)函數(shù)與弦函數(shù)(本文中指正弦函數(shù)與余弦函數(shù))這樣的函數(shù)經(jīng)求導(dǎo)與不定積分運(yùn)算后函數(shù)的類型不變,稱它們對(duì)求導(dǎo)與不定積分運(yùn)算都是封閉的。多項(xiàng)式函數(shù)不區(qū)別次數(shù)時(shí),對(duì)求導(dǎo)與不定積分運(yùn)算也是封閉的。以不定積分為例：

對(duì)不定積分運(yùn)算封閉的函數(shù)還有很多復(fù)雜的類型,比如多項(xiàng)式函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積、多項(xiàng)式函數(shù)與弦函數(shù)之積等情形,這些不定積分均可用待定系數(shù)法進(jìn)行討論。

3 運(yùn)用待定系數(shù)法求幾類不定積分

3.1 指數(shù)函數(shù)或弦函數(shù)與多項(xiàng)式之積的不定積分

例1 求下列不定積分.

解:(1) 設(shè)不定積分的結(jié)果為y=e2x(ax3+bx2+cx+d)+C,則

y′=e2x(2ax3+3ax2+2bx2+2bx+2cx+2d+c),

比較系數(shù)得 2a=4,3a+2b=0,2b+2c=0,2d+c=5.

解得a=2,b=-3,c=3,d=1.

=e2x(2x3-3x2+3x+1)+C.

(2) 設(shè)不定積分的結(jié)果為y=(ax3+bx2+cx+d)cos2x+(ex3+fx2+gx+h)sin2x+C,則

y′=(2ex3+3ax2+2fx2+2bx+2gx+c+2h)cos2x+(-2ax3-2bx2+3ex2-2cx+2fx-2d+g)sin2x.

比較cos2x與sin2x系數(shù)分別得

聯(lián)立解得a=c=f=0,b=e=2,

可以看到,兩個(gè)小題都是求解多元線性方程組來(lái)確定系數(shù)的,如果采用分部積分法,它們都需要多次分部積分才能完成。

3.2 指數(shù)函數(shù)、弦函數(shù)以及多項(xiàng)式之積的不定積分

解:設(shè)不定積分的結(jié)果為y=[(ax2+bx+c)cos2x+(dx2+ex+f)sin2x]e3x+C,則

[(3a+2d)x2+(2a+3b+2e)x+(b+3c+2f)]cos2x+[(3d-2a)x2+(2d+3e-2b)x

+(3+3f-2c)]sin2x=(7x2+9x+4)cos2x+(4x2-5x+7)sin2x,

比較系數(shù)可得a=1,b=3,c=-1,d=2,

e=-1,f=2.

所以

3.3 冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的多項(xiàng)式之積的不定積分

先比較下面三個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

[x3(ln3x+ln2x+2lnx+3)]′=3x2(ln3x+ln2x+2lnx+3)+x2(3ln2x+2lnx+2),

[2(ln3x+ln2x+2lnx+3)]′

解:設(shè)不定積分的結(jié)果為y=x6(aln3x+bln2x+clnx+d)+C,

求導(dǎo)得y′=6x5(aln3x+bln2x+clnx+d)+x5(3aln2x+2blnx+c)

=x5(6aln3x+3aln2x+6bln2x+2blnx+6clnx+c+6d),

解:設(shè)不定積分的結(jié)果為y=x(a0+a1lnx+a2ln2x+…+anlnnx)+C,則

y′=a0+a1lnx+a2ln2x+…+anlnnx+x(a1+2a2lnx+…+nanlnn-1x),

這個(gè)公式適用于被積函數(shù)為冪函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之積的情形。如果被積函數(shù)是關(guān)于對(duì)數(shù)函數(shù)的多項(xiàng)式乘以冪函數(shù),需要展開再利用公式來(lái)解。比如前面的例3,運(yùn)用公式可得解法如下:

4 小結(jié)

本文從不定積分運(yùn)算的封閉性出發(fā),運(yùn)用待定系數(shù)法給出了幾類函數(shù)的不定積分的計(jì)算,避免了大量分部積分法的運(yùn)用。這些實(shí)例表明待定系數(shù)法豐富了計(jì)算不定積分的方法,在計(jì)算量方面也具有一定的優(yōu)勢(shì)。除了前面所介紹的,還有冪函數(shù)與反正切或反余切函數(shù)之積、冪函數(shù)與反正弦或反余弦函數(shù)之積等幾類函數(shù)對(duì)不定積分運(yùn)算不具有封閉性,只要明確了不定積分結(jié)果中函數(shù)的類型,運(yùn)用待定系數(shù)法也可以快捷地計(jì)算這些不定積分。