曹慧秋，徐箭，洪敏，廖思陽，周過海

（1．武漢大學 電氣工程學院，武漢430072；2．國網(wǎng)金華供電公司，浙江 金華 321000）

0 引 言

隨著風資源的大規(guī)模開發(fā)與利用，風電接入電網(wǎng)運行困難的問題日益突出。與火電等常規(guī)能源相比，風電具有顯著的不確定性［1］，主要體現(xiàn)在風電功率既不能準確預測，又頻繁波動。前者本文稱之為隨機性，后者稱為波動性。對于調度而言，對風電功率的不確定性建模是需要研究的關鍵技術。

當前對風電功率的隨機性建模主要采用概率分布的模型，通常用直方圖［2-3］或者正態(tài)分布［4-5］近似表征風電功率的概率分布，這兩種方法的優(yōu)缺點可總結為：（1）直方圖也可以稱作是實際分布，它本質上相當于隨機變量的離散型的概率分布，通過離散化會降低運算速度，但用直方圖表征概率分布是最準確的；（2）正態(tài)分布由于是對稱的分布，因此不能刻畫實際風電功率概率分布的非對稱的情況，但正態(tài)分布由于有顯示表達式，而且其數(shù)值解法非常方便。本文引入文獻［6］中的通用分布，克服直方圖和正態(tài)分布的缺點，將通用分布應用于風電功率的隨機性建模，并將其應用于場景生成。

當前對風電功率的波動性建模研究不多。文獻［7］提出測量在一定的條件下的風電波動范圍的方法，但該方法不能直接用于電力系統(tǒng)的調度，文獻［8］提出用“t location-scale”分布描述短期的風電功率波動量的效果較好，本文發(fā)現(xiàn)在擬合某些風電功率的波動數(shù)據(jù)時，“t location-scale”分布的擬合效果沒有通用分布的好，因此在文獻［9］的基礎上，利用通用分布對風電功率波動性進行建模。

基于“分箱”理論［10］以及蒙特卡洛抽樣［11］來生成場景。首先利用通用分布對不同的“箱”內歷史數(shù)據(jù)進行擬合，得到在某一風功率預測區(qū)間內的實際值分布，然后根據(jù)文獻［9］的逆變換抽樣方法，同時考慮風電的波動性而進行動態(tài)場景生成，生成大量既符合風電的隨機性又符合風電的波動性的場景并進行削減，最后進行仿真驗證。

1 通用分布對風電的不確定性的描述

本節(jié)先介紹通用分布的數(shù)學模型與性質，再利用通用分布的特性去近似表征風電功率的實際概率分布，再根據(jù)動態(tài)場景生成方法隨機生成大量的既符合風電的隨機性又符合波動性的場景，從而實現(xiàn)對風電功率的不確定性的描述。

1．1 通用分布的數(shù)學模型與性質

文獻［6］提出了通用分布。通用分布的概率密度函數(shù)（Probability Density Function，PDF）定義為：

通用分布的累積分布函數(shù)（Cumulative Distribution Function， CDF）定義為：

作為一種隨機變量的分布，通用分布滿足均勻分布、正態(tài)分布等常見的數(shù)學分布的PDF和CDF具有的數(shù)學性質［12］，而且在工程應用方面，通用分布有下面兩個良好的工程性質：

（1）擬合效果好，即通用分布能較精確地表征風電功率在給定預測值下的概率分布；

（2）通用分布CDF的逆函數(shù)具有顯示表達式。

由式（2）推導出通用分布的CDF的逆函數(shù)為：

式中c為CDF值。在解決隨機變量的機會約束或需用到CDF的逆函數(shù)數(shù)值時，通用分布能帶來極大方便。

1．2 基于通用分布的風電功率概率分布建模

采用“預測箱”（forecast bin）理論分析風電功率的概率分布，并用通用分布去擬合。用到的歷史數(shù)據(jù)是由愛爾蘭島電力系統(tǒng)網(wǎng)站提供的，該數(shù)據(jù)為每15 min一個時段的時間序列。在使用數(shù)據(jù)時，首先進行標幺化，采用50個箱子即每個箱子數(shù)據(jù)長度為0．02 p．u．。

在圖1中，正態(tài)分布對峰值的“高度”擬合效果不好，而在圖2中，正態(tài)分布除了對實際分布的“高度”擬合不夠好，而且還產(chǎn)生了明顯的偏移現(xiàn)象。通過大量試驗發(fā)現(xiàn)通用分布對風電的實際分布擬合效果較好，從而考慮用通用分布模型近似表征風電功率的實際概率分布。

圖1 Bin19的風電功率擬合圖Fig．1 Wind power fitting diagram of Bin 19

圖2 Bin37的風電功率擬合圖Fig．2 Wind power fitting diagram of Bin 37

1．3 基于通用分布的場景生成

1．3．1 逆變換抽樣

根據(jù)隨機變量服從的概率分布函數(shù)獲得有限個樣本近似表示隨機變量稱之為“場景生成”。逆變換抽樣方法用于隨機抽樣大量的風電功率樣本，其思路如下：

對于某一個服從Pr（pt≤p）=Fl（p）分布的隨機變量pt，其逆變換抽樣可表示為：

式中Unif［0，1］為在［0，1］區(qū)間上的均勻分布；F-l1是CDF的逆函數(shù)。

文獻［9］中用MATLAB統(tǒng)計工具箱函數(shù)ecdf求出累積經(jīng)驗分布（Empirical Cumulative Distribution Function，ECDF）得到風電功率的近似CDF，再利用文獻［13］中的拉丁超立方抽樣（Latin Hypercube Sampling，LHS）得到CDF逆函數(shù)，逆變換過程求解較為復雜；對于正態(tài)分布，需要查表求出CDF逆函數(shù)的數(shù)值解，但其擬合精度不高；對于通用分布，當三參數(shù)確定時，其CDF及逆函數(shù)的解析表達式可直接寫出，逆變換過程求解非常簡單。由后文的仿真對比可知，在逆變換抽樣環(huán)節(jié)，通用分布具有簡單、高效和準確的優(yōu)勢。

由于標準正態(tài)分布Zt的CDF值是服從［0，1］之間的均勻分布的。所以，將式（4）中的U用標準正態(tài)分布函數(shù)的CDF代替，式（4）可表示為：

1．3．2 考慮風電波動性的動態(tài)場景生成

連續(xù)時間段上的風電功率可以視為一個多元隨機向量Z=｛Z1，Z2，…ZK｝，K為時間預測長度。 設Z服從多元正態(tài)分布Z～N（μ0，∑），期望μ0是K維零向量，協(xié)方差矩陣∑是指：

式中σi，j=cov（Zi，Zj） 是隨機變量Zi和Zj之間的協(xié)方差，其刻畫了跨時間斷面的風電功率的相關性，協(xié)方差矩陣反映了風電的波動性。

采用文獻［9］的思想，構建如下的指數(shù)函數(shù)對協(xié)方差進行建模：

式中ε參數(shù)用來調節(jié)跨時間斷面的風電功率的相關性強度，當ε確定了，協(xié)方差和協(xié)方差矩陣都唯一確定了。

風電功率波動量可以看作是一個隨機變量，文獻［8］提出“t location-scale”分布更適合描述短期的風電功率波動量的概率分布。

對愛爾蘭島的風電功率的波動量進行擬合，由圖3可直觀看出，通用分布的擬合效果比“t location-scale”分布好。

因此本文設計確定ε參數(shù)的目標函數(shù)Iε為：

圖3 愛爾蘭島的風電功率波動量擬合圖Fig．3 Wind power fluctuation fitting diagram of Ireland

式中S是風電功率波動區(qū)間；s為等距離抽樣點；N是抽樣的個數(shù)；pdf（s）-pdf?（s） 分別為將隨機生成的動態(tài)場景和歷史數(shù)據(jù)的風電功率波動量用通用分布擬合得到的PDF。

給定預測的風電功率和所有預測箱內的通用分布的三參數(shù)作為輸入，對日前風電功率進行場景生成的具體步驟如下：

（1）利用式（9）辨識出ε參數(shù)，確定多元正態(tài)分布Z～N（μ0，∑）；

（2）對于每一個時間斷面t，判斷Pt屬于哪一個箱子內，從而得到該箱子內通用分布的三參數(shù)；

（3）利用MATLAB工具箱生成d個T元正態(tài)分布函數(shù)Z～N（μ0，∑），d一般取為500；

（4）對生成的Z～N（μ0，∑），根據(jù)式（3）～式（6）就可以得到日前風電功率的d個場景。

2 場景生成方法的比較

從場景生成的速度與精確度兩個方面對三種分布模型的場景生成方法進行比較。

2．1 場景生成速度的比較

本節(jié)采用通用分布模型，正態(tài)分布模型和實際分布模型分別生成了500、5 000和50 000條場景，生成場景所耗時間如表1所示，其中相同場景數(shù)量分別生成5次，取其平均值作為最終時間。

表1 三種模型的耗時對比Tab．1 Time consuming comparison of three models

由表1可知，當生成場景數(shù)量較少時，三種分布模型所耗平均時間都比較短，但是實際分布模型所耗時間是其他兩者的將近10倍，隨著場景數(shù)量的增加，通用分布模型和正態(tài)分布模型所耗時間基本相似，而且較小，但是實際分布模型所耗時間比較大，分別是其他兩者的將近30倍和50倍。由此可以得出結論，在場景生成時間方面，通用分布模型和正態(tài)分布模型比實際分布模型更優(yōu)越，其中通用分布模型生成場景耗時最短。

2．2 場景生成精確度的比較

本節(jié)以愛爾蘭島風電數(shù)據(jù)為測試樣本，通過文獻［14］中定義的Brier Score（BS）去比較隨機生成的風電功率場景與實測的風電功率時間軌跡之間的誤差。BS值越小表示誤差越小。本節(jié)主要考慮了文獻［9］中2個事件下的BS：

（1）事件 1：風電功率在 2小時內的波動量大于10%；

（2）事件2：風電功率在4小時的出力水平持續(xù)大于40%。

本節(jié)分別比較了基于通用分布、經(jīng)驗分布以及正態(tài)分布生成的場景的精確度，通過生成某一天的場景，從中長期（1年）的統(tǒng)計角度衡量了場景生成方法的精確程度，其BS值如圖4、圖5和表2所示。

圖4 事件1對應的BSFig．4 BS corresponding to Event 1

圖5 事件2對應的BSFig．5 BS corresponding to Event 2

表2 三種模型的準確度結果對比Tab．2 Precision results comparison of three models

由圖4和圖5可以看出，基于通用分布生成的場景在時間軌跡上對應的BS在大部分時間均小于另外兩種方法生成的場景，而由表2可知，基于通用分布生成的場景的平均BS最小，這表明生成的場景最接近于實際的風電功率時間軌跡。

3 結束語

在分析風電功率隨機性與波動性的基礎上，提出了基于通用分布隨機生成大量模擬風電不確定性的場景的方法。仿真結果表明：

（1）在場景生成時間方面，通用分布模型和正態(tài)分布模型比實際分布模型更優(yōu)越，其中通用分布模型生成場景耗時最短；

（2）從中長期的統(tǒng)計角度衡量，基于通用分布生成的場景最接近于實際的風電功率時間軌跡。

由此，本文論證了基于通用分布生成風電功率動態(tài)場景方法的可行性。