馮 立 杰
(天津大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,天津 300350)
0 引言
近年來,分?jǐn)?shù)階微分方程受到了廣泛關(guān)注.與整數(shù)階微分方程相比,分?jǐn)?shù)階微分方程應(yīng)用范圍更廣,其在物理學(xué)、生物學(xué)、分析化學(xué)等領(lǐng)域發(fā)揮了重要的作用.[1-2]許多學(xué)者對分?jǐn)?shù)階微分方程進(jìn)行了深入的研究,取得了豐碩的成果.[3-7]
文獻(xiàn)[7]運(yùn)用單調(diào)迭代法,研究了分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題
本文考慮非線性分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題
(1)

1 預(yù)備知識
定義1[1]函數(shù)y:(0,+∞)→R的階數(shù)為α>0的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為
這里等式右邊是在(0,+∞)上逐點(diǎn)定義的.
定義2[1]函數(shù)y:(0,+∞)→R的階數(shù)為α>0的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為
其中:n=[α]+1,[α]表示α的整數(shù)部分;右邊在(0,+∞)上是逐點(diǎn)定義的.
引理1[1]假設(shè)y∈C(0,1)∩L1(0,1)且α>0,則
其中ci∈R,i=1,2,…,n,n如定義2所述.
引理2[1]假設(shè)y∈L1([0,1],R),且p>q>0,則對任意的t∈[0,1],有:
引理3給定y∈C[0,1],n-1<α≤n,β>0,則分?jǐn)?shù)階微分方程
(2)
(3)
的唯一解為

其中
(4)
這里d=[Γ(α+β)-Γ(α-n+2)ρηα+β-1]-1>0.
證明根據(jù)引理1可知方程(2)的一般解為


因此

(5)

(6)
引理4函數(shù)Gk(t,s)有以下性質(zhì):
(ⅰ)Gk(t,s)是連續(xù)函數(shù),并且滿足Gk(t,s)≥0,t,s∈[0,1],k=0,1,2,…,n-3;
(ⅱ) 對任意的t,s∈[0,1],有tα-k-1Gk(1,s)≤Gk(t,s)≤Gk(1,s),k=0,1,2,…,n-3.
證明(ⅰ) 由等式(6)可知Gk(t,s)為連續(xù)的.
當(dāng)0≤s≤min{t,η}≤1時,
當(dāng)0≤t≤s≤η≤1時,
當(dāng)0<η≤s≤t≤1時,
當(dāng)0(7)
另外,顯然有Gk(t,s)≥tα-k-1Gk(1,s).結(jié)論證畢.
引理5[8](Schauder不動點(diǎn)定理) 設(shè)U是Banach空間E中的一個非空有界閉凸子集,T:U→U是全連續(xù)算子,則T在U中至少存在一個不動點(diǎn).
設(shè)E是一個Banach空間,P?E是一個錐.假設(shè)α,β:E→R+是兩個連續(xù)的凸泛函,并且滿足:對于u∈E,λ∈R有α(λu)=|λ|α(u),β(λu)=|λ|β(u);當(dāng)u∈E時,‖u‖≤kmax{α(u),β(u)};當(dāng)u1,u2∈P,u1≤u2時,α(u1)≤α(u2),其中k是一個常數(shù).
引理6[9]令r2>r1>0,L>0都是常數(shù),
Ωi={u∈E|α(u)是E上的兩個有界開集.記Di={u∈E|α(u)=ri}.假設(shè)T:P→P是全連續(xù)算子并且滿足:
(ⅰ)α(Tu)r2,u∈D2∩P.
(ⅱ)β(Tu)
2 主要結(jié)果
定義E=Cn-3[0,1],定義范數(shù)
則(E,‖·‖)是一個Banach空間.
定義如下形式的錐:
P={u∈E|u(k)(t)≥0,u(k)(t)≥tα-k-1‖u(k)‖0,t∈[0,1],k=0,1,2,…,n-3;
u(i)(0)=0,i=0,1,2,…,n-4}.
在P上定義算子T為

(8)
則算子T的不動點(diǎn)即為邊值問題(1)的解.

證明首先證明算子T:P→P.根據(jù)引理4,有(Tu)(k)(t)≥0,?t∈[0,1],k=0,1,2,…,n-3.另外,


且

因此算子T:P→P.
下面證明算子T是全連續(xù)的.由于函數(shù)G,f都是連續(xù)的,所以算子T是連續(xù)的.設(shè)Ω為E中的任意有界集,則存在常數(shù)N>0,對?u∈Ω,有‖u‖≤N.記
對?u∈Ω,由引理4可知

所以,T(Ω)為一致有界的.
另一方面,?t1,t2∈[0,1],不妨設(shè)t1
當(dāng)t1→t2時,上述不等式趨于0.因此T(Ω)為等度連續(xù)的.

則邊值問題(1)至少存在一個正解.
證明定義有界集Br={u∈P|‖u‖≤r},其中:
下證T:Br→Br.如果u∈Br,有
因此


又根據(jù)引理7知T:Br→Br是全連續(xù)的,從而由Schauder不動點(diǎn)定理可得邊值問題(1)至少存在一個正解.
定義泛函
則有:
α(λu)=|λ|α(u),β(λu)=|λ|β(u),λ∈R;
當(dāng)u1,u2∈P,u1≤u2時,α(u1)≤α(u2).
記
其中0<γ<1.
定理2假設(shè)L>r2>γα-1r2>r1>0,其中0<γ<1為常數(shù).f(t,u0,u1,…,un-3)滿足以下條件:
(H1)f(t,u0,u1,…,un-3)(H2)f(t,u0,u1,…,un-3)≥Dr2,(t,u0,…,uk,…,un-3)∈[γ,1]×[γα-1r2,r2]×…×[γα-k-1r2,L]×…×[γα-n+2r2,L];
(H3)f(t,u0,u1,…,un-3)則邊值問題(1)至少有一個正解u(t)滿足
r1<α(u)證明對f做如下修改:
依次進(jìn)行下去有

考慮邊值問題
(9)
定義

Ω1={u∈E|α(u)與
Ω2={u∈E|α(u)為E中的兩個有界開集.記
D1={u∈E|α(u)=r1},
D2={u∈E|α(u)=r2}.
分三步對定理進(jìn)行證明.
步驟一:對u∈D1∩P有α(u)=r1,0≤u(t)≤r1.
由(H1),

對u∈D2∩P,有α(u)=r2,‖u‖0=r2,0≤u(t)≤r2,t∈[0,1].另u(i)(0)=0,i=0,1,2,…,n-4.
由

可得
‖u(i)‖0≤‖u(i+1)‖0,‖u(k)‖0≥‖u‖0=r2,k=1,2,…,n-3.
因此
u(k)(t)≥γα-k-1‖u(k)‖0≥γα-k-1r2,t∈[γ,1],k=0,1,2,…,n-3.
其中0<γ<1.由(H2),
步驟二:根據(jù)(H3),對于u∈P有

步驟三:由α(u)的定義,存在一個非負(fù)函數(shù)p∈{(Ω2∩P)