王富英 吳立寶 黃祥勇

( 1.成都市龍泉驛區(qū)教育科學(xué)研究院 610100；2.天津師范大學(xué)教師教育學(xué)院 300387； 3.成都市教育科學(xué)研究院 610031)

德國(guó)教育家第斯多惠說(shuō)：“一個(gè)好的教師應(yīng)該教人去發(fā)現(xiàn)真理.”美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞在《數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)》中指出：“學(xué)習(xí)任何東西的最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)”[1].可以看出發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是個(gè)人獲得真知的主要途徑[2].在數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.發(fā)現(xiàn)的過(guò)程是一個(gè)知覺(jué)的過(guò)程，布魯納認(rèn)為，知覺(jué)的過(guò)程是一種類(lèi)型化的過(guò)程.這種類(lèi)型化是以一個(gè)人從觀察到的線索到認(rèn)出物體的種類(lèi)所作出推理上的飛躍為基礎(chǔ)的.認(rèn)知過(guò)程的基本操作是對(duì)外部事物的類(lèi)型化和概括化[3].

在數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，正確區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的類(lèi)型不僅是研究數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的需要，而且也是研究數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)本身的認(rèn)知過(guò)程.因此，定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的類(lèi)型分析對(duì)于提高定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的質(zhì)量和效率十分重要.

1 數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的概念、類(lèi)型及結(jié)構(gòu)

1.1 數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的概念

發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)又叫探究學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí).它是指通過(guò)學(xué)習(xí)者自己獨(dú)立思考去發(fā)現(xiàn)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程.在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)習(xí)者自己提出問(wèn)題并尋求問(wèn)題的答案.最早明確提出探究學(xué)習(xí)的是美國(guó)教育家杜威.杜威是從思維與經(jīng)驗(yàn)的角度對(duì)探究的特征和思維過(guò)程進(jìn)行了研究，提出了著名的經(jīng)驗(yàn)與思維的五個(gè)步驟.這實(shí)際上就是探究學(xué)習(xí)最早的操作程序，到現(xiàn)在還被人們廣泛沿用.雖然杜威最早提出探究學(xué)習(xí)，但明確提出并研究發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)且被大規(guī)模應(yīng)用到教育實(shí)踐中的則是美國(guó)教育家布魯納.在20世紀(jì)50年代末60年代初的美國(guó)課程改革中，布魯納提出的結(jié)構(gòu)主義課程和發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)成為了主要的理論支撐.發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)也就成為了布魯納認(rèn)知發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論的主要內(nèi)容．布魯納認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)能夠激發(fā)內(nèi)在動(dòng)機(jī)、促進(jìn)發(fā)現(xiàn)策略的習(xí)得與發(fā)展、促進(jìn)對(duì)知識(shí)更加牢固的掌握.[4]

由于數(shù)學(xué)定理是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和論證的重要依據(jù).因此，在數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)過(guò)程中，根據(jù)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)和功能，教師有目的地引導(dǎo)學(xué)生去探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理，不但能使學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)定理，更有效地提高學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)的能力，而且也是有效形成學(xué)生“數(shù)學(xué)抽象”、“數(shù)學(xué)推理”與“直觀想象”等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑.

國(guó)內(nèi)很多學(xué)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中把發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)作為一種重要的探究學(xué)習(xí)方式進(jìn)行了很多研究.但在數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)中的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)還沒(méi)有一個(gè)確切的定義.我們根據(jù)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的特征和數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)的特征對(duì)數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的概念給出以下界定：數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，對(duì)教師提供的一些研究、探討的素材與問(wèn)題，通過(guò)閱讀、思考、觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、抽象、概括、歸納、類(lèi)比等步驟和方法獲得數(shù)學(xué)定理的學(xué)習(xí)過(guò)程.

值得指出的是，這里的數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是指學(xué)校里學(xué)生在教師的指導(dǎo)下的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，而不是一般的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí).而且這里的發(fā)現(xiàn)并不限于發(fā)現(xiàn)人類(lèi)已發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)定理，而是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下通過(guò)獨(dú)立地閱讀書(shū)籍或文獻(xiàn)資料，經(jīng)過(guò)獨(dú)立思考而獲得對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)是新知識(shí)的過(guò)程.正如布魯納指出的：“我認(rèn)為，發(fā)現(xiàn)不限于那種尋求人類(lèi)尚未知曉之事物的行為.正確的說(shuō)，發(fā)現(xiàn)包括用自己的頭腦親自獲得知識(shí)的一切形式”.[5]

1.2 數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的類(lèi)型及結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)定理學(xué)習(xí)屬于數(shù)學(xué)命題學(xué)習(xí)的范疇.奧蘇貝爾根據(jù)命題之間的關(guān)系把命題學(xué)習(xí)分為上位學(xué)習(xí)、下位學(xué)習(xí)和并列學(xué)習(xí)三種類(lèi)型.根據(jù)奧蘇貝爾關(guān)于命題學(xué)習(xí)的分類(lèi)，我們把數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)分為類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、形成發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)和類(lèi)比發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)三種類(lèi)型，其中類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)又可分為派生類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)和相關(guān)類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)；形成發(fā)現(xiàn)又可分為觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和歸納概括發(fā)現(xiàn)，而歸納概括發(fā)現(xiàn)又可分為完全歸納發(fā)現(xiàn)和不完全歸納發(fā)現(xiàn)兩種類(lèi)型.

數(shù)學(xué)教育的目的除了讓學(xué)生掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)外，最主要的目的是提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)文化修養(yǎng)，形成和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)的目標(biāo). 由發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的特征和功能可知，數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)重在發(fā)現(xiàn)過(guò)程，重在引導(dǎo)學(xué)生積極主動(dòng)，使得學(xué)生明確數(shù)學(xué)定理的來(lái)龍去脈，知之從哪里來(lái)到哪里去.在這個(gè)主動(dòng)發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，離不開(kāi)數(shù)學(xué)的抽象、推理和直觀想象，這有利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)“數(shù)學(xué)抽象”、“邏輯推理”和“直觀想象”的形成和發(fā)展.因此，我們把數(shù)學(xué)的這三個(gè)核心素養(yǎng)作為定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的主要學(xué)習(xí)目標(biāo).

基于此，數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的理論基礎(chǔ)是奧蘇貝爾關(guān)于命題學(xué)習(xí)的分類(lèi)理論，瞄準(zhǔn)的目標(biāo)是數(shù)學(xué)的三個(gè)學(xué)科核心素養(yǎng).因此，命題學(xué)習(xí)分類(lèi)、發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)類(lèi)型和三個(gè)學(xué)科核心素養(yǎng)一起構(gòu)成了數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，如下圖1所示.

圖1 數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)

2 數(shù)學(xué)定理發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)的類(lèi)型分析

2.1 定理的類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)

定理的類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)是指新學(xué)習(xí)的定理與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的定理之間具有類(lèi)屬關(guān)系，根據(jù)這種類(lèi)屬關(guān)系而獲得新定理的過(guò)程.定理的類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)具有兩種形式：派生類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)和相關(guān)類(lèi)屬發(fā)現(xiàn).定理的派生類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)是指新學(xué)習(xí)的定理直接從原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有較高包容性和概括性的定理中推演出來(lái)，或者隱含在其中，也就是說(shuō)新定理是由已有定理直接派生出來(lái)的.數(shù)學(xué)中定理的推論都屬于派生類(lèi)屬發(fā)現(xiàn).例如“矩形的對(duì)角線互相平分”這一定理是包攝面較廣的定理“平行四邊形的對(duì)角線互相平分”的一個(gè)類(lèi)屬.派生類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)是利用居于上位的一般化知識(shí)特殊化后而獲得的下位知識(shí)，即由一般到特殊.所以，定理的類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)實(shí)際上是一種演繹推理的方法.因此，也可把定理的派生類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)稱(chēng)為“演繹發(fā)現(xiàn)”.

定理的相關(guān)類(lèi)屬發(fā)現(xiàn)是指新學(xué)習(xí)的定理屬于原有較高概括性定理，將原有定理進(jìn)行擴(kuò)展、精確化、限制或修飾而獲得新定理的過(guò)程.例如，菱形的判定定理“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”就是對(duì)原有較高概括性的平行四邊形的判定定理“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”中對(duì)角線加了“互相垂直”的限制而獲得，這時(shí)該定理的發(fā)現(xiàn)就屬于相關(guān)類(lèi)屬發(fā)現(xiàn).

2.2 定理的形成發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)定理的形成發(fā)現(xiàn)是指學(xué)習(xí)者通過(guò)考察命題的特例，基于特例，然后運(yùn)用觀察、實(shí)驗(yàn)、分析、比較、歸納、概括等方法而獲得數(shù)學(xué)定理的過(guò)程．定理形成發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)方式是發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)的心理過(guò)程是以辨認(rèn)、分化、猜想、驗(yàn)證、抽象、歸納、概括等為主的一系列認(rèn)知加工過(guò)程.定理形成發(fā)現(xiàn)主要有觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和歸納概括發(fā)現(xiàn)兩種.

2.2.1 觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)定理

觀察是一種有計(jì)劃、有目的的特殊形態(tài)的知覺(jué)，是按照客觀事物本身存在的自然狀態(tài)，在自然條件下去研究和確定事物的特征和聯(lián)系[6].從現(xiàn)象學(xué)的角度說(shuō)，觀察就是“回到事實(shí)本身”，是從不同的角度去認(rèn)識(shí)事實(shí)，從而揭示事物的本質(zhì)特征.實(shí)踐表明，決定觀察質(zhì)量的前提條件是要明確觀察的目的和任務(wù)，并在觀察的過(guò)程中聯(lián)系已有知識(shí)進(jìn)行分析、判斷與猜想.例如，在學(xué)習(xí)球的體積公式時(shí)，教師首先要讓學(xué)生明確觀察的目的和任務(wù)：探究獲取球的體積公式，接著先讓學(xué)生觀察等底、等高的圓柱體、半球和圓錐.學(xué)生通過(guò)觀察可發(fā)現(xiàn)：圓柱的體積>半球的體積>圓錐的體積，而由已知圓柱體的體積公式和圓錐的體積公式，可以發(fā)現(xiàn)(猜想)半球的體積公式，從而得出球的體積公式.又如，在學(xué)習(xí)“平面與平面平行的判定定理”時(shí)，讓學(xué)生觀察長(zhǎng)方體模型AC′．平面ABCD內(nèi)兩條相交對(duì)角線AC，BD分別與平面A′B′C′-D′內(nèi)兩條相交對(duì)角線A′C′，B′D′平行，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知．相交直線AC，BD與平面A′B′C′D′平行，此時(shí)，平面ABCD與平面A′B′C′D′平行.再設(shè)想更一般的情況：若一個(gè)平面內(nèi)的相交二直線平行于另一個(gè)平面，而“相交直線確定一個(gè)平面”，從而聯(lián)系前面的模型通過(guò)猜想可發(fā)現(xiàn)定理：若平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一平面，則這兩個(gè)平面平行.

實(shí)驗(yàn)是所研究對(duì)象的需要，根據(jù)研究對(duì)象(現(xiàn)象)的自然狀態(tài)和發(fā)展，人為地創(chuàng)設(shè)條件，人為的將它們分成若干部分，并同其它事物(現(xiàn)象)聯(lián)系起來(lái)，以深入了解所研究對(duì)象(現(xiàn)象)的自然狀態(tài)和發(fā)展情況[7].大數(shù)學(xué)家歐拉說(shuō)，數(shù)學(xué)這門(mén)科學(xué)需要觀察，也需要實(shí)驗(yàn).實(shí)驗(yàn)是科學(xué)研究的基本方法之一，數(shù)學(xué)也不例外.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)就是讓學(xué)生通過(guò)自己動(dòng)手操作，進(jìn)行探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納等思維活動(dòng)，最后獲得對(duì)知識(shí)的形成與理解或解決問(wèn)題的一種教學(xué)過(guò)程.

圖2

觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)是指對(duì)所研究的對(duì)象在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上去觀察研究對(duì)象的各種情況，并同其它事物聯(lián)系起來(lái)確定事物的特征和聯(lián)系.實(shí)踐表明，觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)與教師的設(shè)計(jì)和安排密切相關(guān).因此，在利用觀察實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)定理時(shí)，教師要為學(xué)生提供或者指導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)備足夠的實(shí)驗(yàn)材料，并明確觀察實(shí)驗(yàn)研究的目的和任務(wù).如，在學(xué)習(xí)探究“直線與平面垂直的判定定理”時(shí)，教師可以進(jìn)行以下實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì).請(qǐng)學(xué)生準(zhǔn)備如圖2所示的三角形紙片，并作如下操作：過(guò)△ABC的頂點(diǎn)A沿AD翻折后豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸).觀察折痕AD與桌面的關(guān)系，并提出思考問(wèn)題：如何翻折才能使折痕與桌面所在平面α垂直？通過(guò)再次實(shí)驗(yàn)容易發(fā)現(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)折痕AD是BC邊上的高時(shí)，折痕所在的直線與桌面所在的平面α才垂直(圖3，圖4)．在此基礎(chǔ)上可發(fā)現(xiàn)直線與平面垂直的判定定理：若一直線垂直于平面內(nèi)相交二直線，則該直線與平面垂直.

圖3

圖4

2.2.2 歸納概括發(fā)現(xiàn)定理

歸納是從一類(lèi)事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而作出該類(lèi)事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的推理方法[8].歸納發(fā)現(xiàn)是從特殊到一般的思維方法.

歸納發(fā)現(xiàn)可分為完全歸納發(fā)現(xiàn)和不完全歸納發(fā)現(xiàn)兩種.完全歸納發(fā)現(xiàn)是將事物分成幾種獨(dú)立的類(lèi)型，然后考察每種類(lèi)型都具有某一共同的屬性，從而歸納概括獲得一般性結(jié)論的定理.例如，正弦定理的獲得是先將三角形分成直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形三種獨(dú)立的類(lèi)型.再分別考察這三類(lèi)都有“各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等”這一共同屬性后通過(guò)歸納概括獲得定理：“在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦之比相等.”由于這里是在窮盡考察了三角形的所有類(lèi)型后通過(guò)歸納概括而獲得的定理，因此，這里的發(fā)現(xiàn)就是完全歸納發(fā)現(xiàn).

不完全歸納發(fā)現(xiàn)，是指在研究事物的規(guī)律時(shí)，往往不能把要研究的對(duì)象按它的一切情形考察完畢，于是不得不通過(guò)對(duì)其中一部分或者若干個(gè)別情況的考察，再通過(guò)歸納猜想得出一般結(jié)論的方法.不完全歸納發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的一種重要方法，數(shù)學(xué)中的許多定理、公式、猜想都是用不完全歸納發(fā)現(xiàn)的，如著名的費(fèi)馬大定理、歐拉公式、哥德巴赫猜想等.因此，數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：“在數(shù)學(xué)里發(fā)現(xiàn)真理的主要工具也是歸納與類(lèi)比”[9]．同時(shí)，歸納發(fā)現(xiàn)不僅是數(shù)學(xué)研究的重要方法，也是學(xué)生數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的重要方法.

值得指出的是，完全歸納發(fā)現(xiàn)定理時(shí)由于窮盡了考察對(duì)象的所有情況，因此得出的結(jié)論一般都是確定無(wú)疑的，容易被學(xué)習(xí)者接受，而用不完全歸納獲得的結(jié)論不一定正確，還需要進(jìn)行邏輯證明予以確定.

2.3 定理的類(lèi)比發(fā)現(xiàn)

類(lèi)比是在兩個(gè)或兩類(lèi)事物間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或者相似點(diǎn)后，猜測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處而作出某種判斷的推理方法[10].定理的類(lèi)比發(fā)現(xiàn)是指在新學(xué)習(xí)的定理與學(xué)習(xí)者原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)定理具有相似和相同之處，通過(guò)比較分析找出相同或相似之處后猜測(cè)其它方面也有相似或相同之處而獲得定理的過(guò)程.類(lèi)比發(fā)現(xiàn)與歸納發(fā)現(xiàn)、演繹發(fā)現(xiàn)均具有不同的特點(diǎn)，歸納發(fā)現(xiàn)是從特殊到一般，演繹發(fā)現(xiàn)是從一般到特殊，而類(lèi)比發(fā)現(xiàn)則是從特殊到特殊或者一般到一般的推理.與歸納發(fā)現(xiàn)相比，類(lèi)比發(fā)現(xiàn)需要更豐富的知識(shí)和想象力，包含更多的直覺(jué)成分，有利于“直觀想象”素養(yǎng)的培養(yǎng)[11].類(lèi)比發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵是尋找合適的類(lèi)比對(duì)象，并確定它們之間的相同或相似的屬性.在數(shù)學(xué)里，類(lèi)比發(fā)現(xiàn)也是一種發(fā)現(xiàn)定理的主要工具．而且數(shù)學(xué)中的許多定理都是用類(lèi)比發(fā)現(xiàn)獲得的．例如，立體幾何的許多定理可類(lèi)比平面幾何的定理得出；在數(shù)與式之間、一維與多維之間、低次與高次之間、相等與不等之間、有限與無(wú)限之間通過(guò)類(lèi)比獲得了許多相互類(lèi)似的定理和運(yùn)算法則.

值得注意的是，在教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)中，類(lèi)比既是發(fā)現(xiàn)定理和創(chuàng)新的重要方法，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效方法，還是培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力與數(shù)學(xué)推理能力、數(shù)學(xué)抽象能力等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要方法[12].