拓展“田忌賽馬”故事，感悟?qū)Σ哒撍枷?/h1>
2018-09-01 09:32:06方增慎
小學(xué)教學(xué)參考(數(shù)學(xué)) 2018年7期 關(guān)鍵詞：田忌賽馬
方增慎
[摘 要]學(xué)生只有分析、理解田忌實施最優(yōu)策略的基本條件，才能體會對策論的重要性，感悟?qū)Σ哒摰乃枷?，因此教師一定要指?dǎo)學(xué)生分析田忌實施最優(yōu)策略的基本條件。把“田忌賽馬”故事進(jìn)行拓展，再增加兩次賽馬比賽，然后以問題為引領(lǐng)，指導(dǎo)學(xué)生分析比賽過程，讓學(xué)生更深刻地理解田忌實施最優(yōu)策略的基本條件，更好地感悟?qū)Σ哒撍枷搿?/p>
[關(guān)鍵詞]田忌賽馬；對策論思想；最優(yōu)策略
[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）20-0027-02
“田忌賽馬”是人教版教材四年級上冊第八單元“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”的例3內(nèi)容。教材的編寫意圖是通過“田忌賽馬”故事，讓學(xué)生初步了解對策論的思想。為此，教材呈現(xiàn)了如下兩個表格。
表1反映的是故事中的第二次比賽，即田忌獲勝的那次比賽，其作用是讓學(xué)生回顧“田忌賽馬”的故事，明確田忌所用的獲勝策略；表2反映的是針對齊王的出馬情況（三場比賽依次出上等馬、中等馬、下等馬），田忌共有多少種可采用的應(yīng)對策略，其作用是讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去理解田忌共有多少種可采用的應(yīng)對策略，并從中找到最優(yōu)策略，體會對策論思想的重要性。為了實現(xiàn)這一意圖，與教材配套的《教師教學(xué)用書》給出的教學(xué)建議有三點：一是引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度去分析歷史事件；二是引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法尋找并分析最優(yōu)策略；三是指導(dǎo)學(xué)生分析實施最優(yōu)策略的基本條件（一是齊王先出馬，且田忌知曉他的出馬情況；二是全盤考慮，田忌一方必須以最弱的馬對齊王最強的馬，然后再依次應(yīng)對，從而整體取勝）。
很多教師在教學(xué)“田忌賽馬”這一內(nèi)容時，先是創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課，在探究階段大都分為兩個環(huán)節(jié)。第一個環(huán)節(jié)，教師先播放“田忌賽馬”故事的視頻，接著讓學(xué)生填寫教材上的表1（有的教師另加一個反映第一次比賽的表格），以回顧故事中的賽馬比賽。表格填好后，教師以問題為引領(lǐng)，引發(fā)學(xué)生思考：第一次比賽，田忌為什么輸了？第二次比賽，田忌為什么能贏？田忌為什么要用自己最弱的馬對付齊王最強的馬？從而讓學(xué)生感悟到田忌以弱勝強策略的產(chǎn)生過程。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)符合“教學(xué)建議”的第一點。
第二個環(huán)節(jié)，教師以問題“田忌在第二次比賽中所用的策略是不是唯一能贏齊王的方法？”為引領(lǐng)，給出表2，讓學(xué)生通過有序排列、列舉填表、相互對照，得出針對齊王的出馬情況（三場比賽依次出上等馬、中等馬、下等馬），田忌共有六種可采用的應(yīng)對策略，其中只有一種策略”可以獲勝，是最優(yōu)策略。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)符合“教學(xué)建議的第二點。
很多教師在第二個環(huán)節(jié)之后，就生硬地給出“田忌實施最優(yōu)策略，即取得以弱勝強的結(jié)局需要滿足兩個基本條件”的結(jié)論，從而結(jié)束新課探究，進(jìn)入練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)。甚至有的教師沒有總結(jié)田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件，直接忽略了“教學(xué)建議”的第三點。筆者認(rèn)為這樣的處理都是不妥的。學(xué)生只有分析、理解了田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件，才能體會對策論的重要性，感悟?qū)Σ哒摰乃枷耄@是本節(jié)課教學(xué)至關(guān)重要的一點，是精髓所在。因此，教學(xué)中教師一定要指導(dǎo)學(xué)生分析田忌實施最優(yōu)策略的基本條件。那么，如何指導(dǎo)學(xué)生分析田忌實施最優(yōu)策略的基本條件呢？筆者認(rèn)為，僅靠故事中的兩次比賽和教材上的兩個表格是不能有效地指導(dǎo)學(xué)生分析田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件的。因為故事中的兩次比賽以及教材上的兩個表格都是設(shè)定齊王先出馬，且依次出上等馬、中等馬和下等馬，這樣學(xué)生頭腦里容易形成思維定式，即“田忌獲勝的策略也就是最優(yōu)策略是齊王先出馬，且依次出上等馬、中等馬、下等馬，田忌依次出下等馬、上等馬、中等馬”，至于為什么齊王要先出馬，田忌為什么要依次出下等馬、上等馬和中等馬，學(xué)生并不知其所以然。如果齊王后出馬，田忌先出馬，很多學(xué)生就不知道田忌不可能獲勝了。如果齊王調(diào)換了出馬順序，比如齊王依次出下等馬、中等馬和上等馬，很多學(xué)生就不知道田忌如何應(yīng)對才能獲勝了。究其原因是，學(xué)生不知道或者沒能領(lǐng)會“齊王先出馬”是實施最優(yōu)策略的一個基本條件，不知道或者沒能領(lǐng)會“田忌必須以最弱的馬對齊王最強的馬”這個實施最優(yōu)策略的關(guān)鍵一招。
“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，筆者認(rèn)為，要讓學(xué)生分析、理解田忌實施最優(yōu)策略的基本條件，僅靠以上兩個環(huán)節(jié)，僅靠故事中的兩次比賽是不夠的，還要有更鮮活的可供學(xué)生探究的素材。不妨把“田忌賽馬”的故事進(jìn)行拓展，再增加兩次賽馬比賽，然后以問題為引領(lǐng)，指導(dǎo)學(xué)生分析比賽過程，讓學(xué)生進(jìn)一步理解實施最優(yōu)策略的基本條件，不妨把此作為探究階段的第三個環(huán)節(jié)。
以下是新增的第三個環(huán)節(jié)的具體教學(xué)過程。
師（講故事或者以動畫呈現(xiàn)）：話說第二次比賽結(jié)束之后，齊王回到王宮，心里一直在納悶：兩次比賽，寡人和田忌都是同樣的三匹馬，第一次比賽寡人大獲全勝，第二次比賽寡人為什么卻輸了呢？齊王百思不得其解，就問身邊的太監(jiān)和宮女。有一個聰明的太監(jiān)好像發(fā)現(xiàn)了其中的奧妙，就向齊王進(jìn)言：“陛下，田忌第二次比賽之所以獲勝，是因為他調(diào)換了出馬順序，陛下明天再與他賽一次，到時也調(diào)換出馬順序，陛下肯定能贏?！?/p>
師（課件出示問題）：第三次比賽齊王調(diào)換了出馬順序，這樣田忌還能贏嗎？
（學(xué)生思考，教師指導(dǎo)學(xué)生分析田忌的應(yīng)對策略）
生1：齊王的馬無論以怎樣的順序出場，只要田忌總是以上等馬對齊王的中等馬、以中等馬對齊王的下等馬、以下等馬對齊王的上等馬，就能以2∶1獲勝。
【設(shè)計意圖：幫助學(xué)生進(jìn)一步理解田忌實施最優(yōu)策略的第二個基本條件，即“全盤考慮，田忌一方必須以最弱的馬對齊王最強的馬，然后再依次應(yīng)對，從而整體取勝”?！?/p>
師（接著講故事或者以動畫呈現(xiàn)）：第三次比賽齊王又輸了，回到王宮他更加納悶了：寡人這次也調(diào)換了出馬順序，但田忌還是贏了，寡人真的沒辦法戰(zhàn)勝田忌嗎？他把平時鬼點子多的大臣都叫來了，問他們有什么辦法能戰(zhàn)勝田忌。大臣們冥思苦想，過了好長時間，終于有一個大臣恍然大悟，忙啟奏齊王：“陛下，第二次、第三次比賽您接連都輸了，是因為陛下先出馬，田忌后出馬。陛下明天再與他賽一次，讓田忌先出馬，陛下就一定能贏了?！?/p>
師（課件出示問題）：田忌先出馬，齊王一定能贏嗎？
（學(xué)生思考，教師指導(dǎo)學(xué)生分析齊王的應(yīng)對策略）
生2：田忌先出馬，不管是怎樣的出馬順序，齊王最簡單的辦法就是每場出與田忌同一級別的馬應(yīng)對，由于同一級別的馬，齊王的比田忌的跑得快，因此齊王能以3∶0大獲全勝。
【設(shè)計意圖：幫助學(xué)生進(jìn)一步理解田忌實施最優(yōu)策略的第一個基本條件，即“齊王先出馬”。】
像這樣，把“田忌賽馬”的故事進(jìn)行拓展，指導(dǎo)學(xué)生分析增加的第三次、第四次賽馬比賽，學(xué)生才能真正理解田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件?？梢?，教師在使用教材的時候，不能囿于教材，要創(chuàng)造性地使用教材，學(xué)會根據(jù)教學(xué)需要對教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木幒脱a充。
（責(zé)編 黃春香）
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[關(guān)鍵詞]田忌賽馬；對策論思想；最優(yōu)策略
[中圖分類號] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 1007-9068（2018）20-0027-02
“田忌賽馬”是人教版教材四年級上冊第八單元“數(shù)學(xué)廣角——優(yōu)化”的例3內(nèi)容。教材的編寫意圖是通過“田忌賽馬”故事，讓學(xué)生初步了解對策論的思想。為此，教材呈現(xiàn)了如下兩個表格。
表1反映的是故事中的第二次比賽，即田忌獲勝的那次比賽，其作用是讓學(xué)生回顧“田忌賽馬”的故事，明確田忌所用的獲勝策略；表2反映的是針對齊王的出馬情況（三場比賽依次出上等馬、中等馬、下等馬），田忌共有多少種可采用的應(yīng)對策略，其作用是讓學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去理解田忌共有多少種可采用的應(yīng)對策略，并從中找到最優(yōu)策略，體會對策論思想的重要性。為了實現(xiàn)這一意圖，與教材配套的《教師教學(xué)用書》給出的教學(xué)建議有三點：一是引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)角度去分析歷史事件；二是引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)方法尋找并分析最優(yōu)策略；三是指導(dǎo)學(xué)生分析實施最優(yōu)策略的基本條件（一是齊王先出馬，且田忌知曉他的出馬情況；二是全盤考慮，田忌一方必須以最弱的馬對齊王最強的馬，然后再依次應(yīng)對，從而整體取勝）。
很多教師在教學(xué)“田忌賽馬”這一內(nèi)容時，先是創(chuàng)設(shè)情境導(dǎo)入新課，在探究階段大都分為兩個環(huán)節(jié)。第一個環(huán)節(jié)，教師先播放“田忌賽馬”故事的視頻，接著讓學(xué)生填寫教材上的表1（有的教師另加一個反映第一次比賽的表格），以回顧故事中的賽馬比賽。表格填好后，教師以問題為引領(lǐng)，引發(fā)學(xué)生思考：第一次比賽，田忌為什么輸了？第二次比賽，田忌為什么能贏？田忌為什么要用自己最弱的馬對付齊王最強的馬？從而讓學(xué)生感悟到田忌以弱勝強策略的產(chǎn)生過程。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)符合“教學(xué)建議”的第一點。
第二個環(huán)節(jié)，教師以問題“田忌在第二次比賽中所用的策略是不是唯一能贏齊王的方法？”為引領(lǐng)，給出表2，讓學(xué)生通過有序排列、列舉填表、相互對照，得出針對齊王的出馬情況（三場比賽依次出上等馬、中等馬、下等馬），田忌共有六種可采用的應(yīng)對策略，其中只有一種策略”可以獲勝，是最優(yōu)策略。這一環(huán)節(jié)的教學(xué)符合“教學(xué)建議的第二點。
很多教師在第二個環(huán)節(jié)之后，就生硬地給出“田忌實施最優(yōu)策略，即取得以弱勝強的結(jié)局需要滿足兩個基本條件”的結(jié)論，從而結(jié)束新課探究，進(jìn)入練習(xí)鞏固環(huán)節(jié)。甚至有的教師沒有總結(jié)田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件，直接忽略了“教學(xué)建議”的第三點。筆者認(rèn)為這樣的處理都是不妥的。學(xué)生只有分析、理解了田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件，才能體會對策論的重要性，感悟?qū)Σ哒摰乃枷耄@是本節(jié)課教學(xué)至關(guān)重要的一點，是精髓所在。因此，教學(xué)中教師一定要指導(dǎo)學(xué)生分析田忌實施最優(yōu)策略的基本條件。那么，如何指導(dǎo)學(xué)生分析田忌實施最優(yōu)策略的基本條件呢？筆者認(rèn)為，僅靠故事中的兩次比賽和教材上的兩個表格是不能有效地指導(dǎo)學(xué)生分析田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件的。因為故事中的兩次比賽以及教材上的兩個表格都是設(shè)定齊王先出馬，且依次出上等馬、中等馬和下等馬，這樣學(xué)生頭腦里容易形成思維定式，即“田忌獲勝的策略也就是最優(yōu)策略是齊王先出馬，且依次出上等馬、中等馬、下等馬，田忌依次出下等馬、上等馬、中等馬”，至于為什么齊王要先出馬，田忌為什么要依次出下等馬、上等馬和中等馬，學(xué)生并不知其所以然。如果齊王后出馬，田忌先出馬，很多學(xué)生就不知道田忌不可能獲勝了。如果齊王調(diào)換了出馬順序，比如齊王依次出下等馬、中等馬和上等馬，很多學(xué)生就不知道田忌如何應(yīng)對才能獲勝了。究其原因是，學(xué)生不知道或者沒能領(lǐng)會“齊王先出馬”是實施最優(yōu)策略的一個基本條件，不知道或者沒能領(lǐng)會“田忌必須以最弱的馬對齊王最強的馬”這個實施最優(yōu)策略的關(guān)鍵一招。
“問渠哪得清如許，為有源頭活水來”，筆者認(rèn)為，要讓學(xué)生分析、理解田忌實施最優(yōu)策略的基本條件，僅靠以上兩個環(huán)節(jié)，僅靠故事中的兩次比賽是不夠的，還要有更鮮活的可供學(xué)生探究的素材。不妨把“田忌賽馬”的故事進(jìn)行拓展，再增加兩次賽馬比賽，然后以問題為引領(lǐng)，指導(dǎo)學(xué)生分析比賽過程，讓學(xué)生進(jìn)一步理解實施最優(yōu)策略的基本條件，不妨把此作為探究階段的第三個環(huán)節(jié)。
以下是新增的第三個環(huán)節(jié)的具體教學(xué)過程。
師（講故事或者以動畫呈現(xiàn)）：話說第二次比賽結(jié)束之后，齊王回到王宮，心里一直在納悶：兩次比賽，寡人和田忌都是同樣的三匹馬，第一次比賽寡人大獲全勝，第二次比賽寡人為什么卻輸了呢？齊王百思不得其解，就問身邊的太監(jiān)和宮女。有一個聰明的太監(jiān)好像發(fā)現(xiàn)了其中的奧妙，就向齊王進(jìn)言：“陛下，田忌第二次比賽之所以獲勝，是因為他調(diào)換了出馬順序，陛下明天再與他賽一次，到時也調(diào)換出馬順序，陛下肯定能贏?！?/p>
師（課件出示問題）：第三次比賽齊王調(diào)換了出馬順序，這樣田忌還能贏嗎？
（學(xué)生思考，教師指導(dǎo)學(xué)生分析田忌的應(yīng)對策略）
生1：齊王的馬無論以怎樣的順序出場，只要田忌總是以上等馬對齊王的中等馬、以中等馬對齊王的下等馬、以下等馬對齊王的上等馬，就能以2∶1獲勝。
【設(shè)計意圖：幫助學(xué)生進(jìn)一步理解田忌實施最優(yōu)策略的第二個基本條件，即“全盤考慮，田忌一方必須以最弱的馬對齊王最強的馬，然后再依次應(yīng)對，從而整體取勝”?！?/p>
師（接著講故事或者以動畫呈現(xiàn)）：第三次比賽齊王又輸了，回到王宮他更加納悶了：寡人這次也調(diào)換了出馬順序，但田忌還是贏了，寡人真的沒辦法戰(zhàn)勝田忌嗎？他把平時鬼點子多的大臣都叫來了，問他們有什么辦法能戰(zhàn)勝田忌。大臣們冥思苦想，過了好長時間，終于有一個大臣恍然大悟，忙啟奏齊王：“陛下，第二次、第三次比賽您接連都輸了，是因為陛下先出馬，田忌后出馬。陛下明天再與他賽一次，讓田忌先出馬，陛下就一定能贏了?！?/p>
師（課件出示問題）：田忌先出馬，齊王一定能贏嗎？
（學(xué)生思考，教師指導(dǎo)學(xué)生分析齊王的應(yīng)對策略）
生2：田忌先出馬，不管是怎樣的出馬順序，齊王最簡單的辦法就是每場出與田忌同一級別的馬應(yīng)對，由于同一級別的馬，齊王的比田忌的跑得快，因此齊王能以3∶0大獲全勝。
【設(shè)計意圖：幫助學(xué)生進(jìn)一步理解田忌實施最優(yōu)策略的第一個基本條件，即“齊王先出馬”。】
像這樣，把“田忌賽馬”的故事進(jìn)行拓展，指導(dǎo)學(xué)生分析增加的第三次、第四次賽馬比賽，學(xué)生才能真正理解田忌實施最優(yōu)策略的兩個基本條件?？梢?，教師在使用教材的時候，不能囿于教材，要創(chuàng)造性地使用教材，學(xué)會根據(jù)教學(xué)需要對教材進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木幒脱a充。
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