王利娟

摘 要：如果說培養(yǎng)專業(yè)型人才是高校的目標(biāo)和宗旨，那么對于學(xué)生創(chuàng)新和應(yīng)用能力的培養(yǎng)，則是整個高等教育階段的靈魂所在，尤其是對于理工類院校。眾所周知，高校線性代數(shù)屬于一門公共類的必修課程，對于理工專業(yè)學(xué)生而言，有助于協(xié)助專業(yè)學(xué)習(xí)與課程實(shí)踐的順利推進(jìn)。對此，新教育理念下本科高校線性代數(shù)的課程改革與內(nèi)容編排，應(yīng)緊緊圍繞教學(xué)目標(biāo)和人才培養(yǎng)目標(biāo)。通過教學(xué)內(nèi)容及其方式的革新，輔助并最大限度體現(xiàn)出學(xué)生學(xué)習(xí)主體型，最終有助于增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平和專業(yè)終身學(xué)習(xí)。本研究結(jié)合本校實(shí)際，結(jié)合近兩年教學(xué)實(shí)踐，提出一些可循改進(jìn)措施。

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)；創(chuàng)新；課程改革

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：2096-000X（2018）21-0027-03

Abstract： If cultivating professional talents is the goal of a university， the cultivation of students' innovation and application ability is the soul of the higher education， especially for colleges of science and engineering. As is known to all， linear algebra in universities is a basic compulsory course. For students majoring in science and engineering， linear algebra is helpful to facilitate students' learning and practice. In view of this， the curriculum reform and content arrangement of linear algebra in undergraduate universities under the new educational concept should be closely centered on teaching objectives and personnel training objectives. Through the innovation of teaching content and teaching methods， it can help maximize the students' learning initiative， enhancing students' mathematical thinking ability and lifelong learning awareness. Based on the specific situation of our university and the teaching practice in the past two years， some strategies are put forward.

Keywords： linear algebra； innovation； curriculum reform

馬克思曾說：“各種學(xué)科只有與數(shù)學(xué)融合，才能真正更好發(fā)揮并完善”。思索一番不難發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)屬于一門公共學(xué)科、基礎(chǔ)學(xué)科，盡管在現(xiàn)實(shí)生活中并不顯現(xiàn)，但實(shí)際上早已融入社會發(fā)展的各個領(lǐng)域。教育教學(xué)中，無論是中小學(xué)階段，還是高等教育階段，對于絕大部分的學(xué)生來說，喜歡數(shù)學(xué)的依舊喜歡，不喜歡數(shù)學(xué)的還是不喜歡。在筆者看來，如何讓我們的學(xué)生愛上數(shù)學(xué)，重視數(shù)學(xué)，特別是對于理工類的專業(yè)學(xué)生，清楚認(rèn)識到學(xué)好數(shù)學(xué)的好處。這也是我們每一位數(shù)學(xué)教師重點(diǎn)考慮的問題，可將重點(diǎn)放在對數(shù)學(xué)內(nèi)容的創(chuàng)新改進(jìn)層面，迎合社會發(fā)展需要、迎合學(xué)生學(xué)習(xí)特點(diǎn)。

一、《線性代數(shù)》屬于絕大部分專業(yè)的基礎(chǔ)課程

本課程與微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程一樣，均屬于高等教育階段的公共必修課程。如開篇所言，對于絕大部分的理工類學(xué)生而言，學(xué)習(xí)好線性代數(shù)非常有必要。

具體來講，《線性代數(shù)》首先可以培養(yǎng)專業(yè)學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)，提升和拓展其基礎(chǔ)能力。高等教育階段不同于中小學(xué)階段，對于學(xué)生而言，需要盡快調(diào)整、適應(yīng)新環(huán)境。對于我們教師而言，則需通過一定的策略方式，或創(chuàng)新內(nèi)容知識體系，持續(xù)性擴(kuò)充學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，加快培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和抽象概括能力。

對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言，該課程雖然只是一門公共課程，但它對其他專業(yè)學(xué)習(xí)輔助作用很顯現(xiàn)，包括邏輯推理能力、自學(xué)能力、分析問題與解決問題能力等。更重要的是，《線性代數(shù)》還是一門獨(dú)立存在的課程，其知識結(jié)構(gòu)更為系統(tǒng)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，對其要求比較高。然而，線性代數(shù)知識點(diǎn)很瑣碎，所以對于部分學(xué)生有一種“云深不知處”的感覺。如果最淺層的問題得不到解決，也就無從談起創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。對此，筆者結(jié)合既往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)為線性代數(shù)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新能力、創(chuàng)造思維的培養(yǎng)，應(yīng)圍繞最基礎(chǔ)的部分來推進(jìn)，即課程教學(xué)內(nèi)容。既往很多時候，大家都過于看重教學(xué)方式、課堂組織方案等，殊不知教材內(nèi)容才是最基礎(chǔ)的環(huán)節(jié)，其他方面更多是輔助效果。宗旨，教學(xué)內(nèi)容與實(shí)際相結(jié)合，理論融入實(shí)際，這樣可讓學(xué)生對于相關(guān)概念的認(rèn)知理解不再停留表面。

二、結(jié)合計算機(jī)技術(shù)巧用教材、精心搭配教學(xué)內(nèi)容

一門學(xué)科課程教學(xué)管理中，教材始終都是不可缺的材料，同時也是用來培養(yǎng)專業(yè)學(xué)生綜合能力的載體。對于線性代數(shù)這門課程，它在整個專業(yè)體系中的地位，上文中已經(jīng)多番闡明。換言之，如何將數(shù)學(xué)思維傳輸給學(xué)生，以此來增強(qiáng)學(xué)生的能力素養(yǎng)，這是課堂教學(xué)實(shí)踐中的關(guān)注點(diǎn)。

如上，對于從事在一線的數(shù)學(xué)教師來說，當(dāng)務(wù)之急并不是想著怎樣去改變學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)生的學(xué)習(xí)行為習(xí)慣、思考方式相當(dāng)程度上還是要靠我們教師來影響。與此同時，課堂教學(xué)中要求體現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)主體性并非目的，而是一種特定策略下的成效呈現(xiàn)。故此，在教學(xué)中應(yīng)盡量將教學(xué)內(nèi)容、課本材料適時改進(jìn)，以此來最大限度迎合專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)心理、特點(diǎn)等。

此外，教材內(nèi)容更多是對學(xué)生基本知識傳教，再加上老師的巧妙引導(dǎo)，來發(fā)揮出知識結(jié)構(gòu)鞏固的作用。但是，要想持續(xù)創(chuàng)造性開發(fā)思維，讓其形成屬于自己的一套認(rèn)知體系，就不能拘泥于教材本身。筆者以為，可借助外部資源，并結(jié)合專業(yè)學(xué)生實(shí)際，創(chuàng)造性運(yùn)用教材。如此以來，根據(jù)不斷變化的教材版本適時做出調(diào)整。條件允許的情況下，學(xué)?？勺灾骶幹平滩模_保教材與教師之間的契合，即吃透教材，方可靈活運(yùn)用教材。在此基礎(chǔ)上，教師彼此間相互交流、學(xué)習(xí)，結(jié)合自身經(jīng)驗(yàn)，確保教材符合自己的教學(xué)設(shè)計。實(shí)際教學(xué)中，結(jié)合多媒體、計算機(jī)信息技術(shù)，填充自己的教學(xué)素材。

對于教學(xué)內(nèi)容的創(chuàng)新，并不是為了改變而改變，而是要與新時代下?lián)碛卸嘣獌r值觀的大學(xué)生群體相吻合。只有調(diào)動了專業(yè)學(xué)生對于高數(shù)、對于線性代數(shù)的興趣，才能將整個教學(xué)系統(tǒng)及其整體性體現(xiàn)出來，共存性中強(qiáng)調(diào)個性化，保障課堂教學(xué)效率。通俗點(diǎn)來理解，就是指教學(xué)內(nèi)容要貼近生活實(shí)際、學(xué)生實(shí)際，包括基礎(chǔ)的概念、定理等，均可通過具體實(shí)踐來應(yīng)用。譬如，以線性代數(shù)的第一章節(jié)內(nèi)容為例，主要知識點(diǎn)有行列式、矩陣。對于剛接觸的學(xué)生來說，的確有困難，但掌握了其中規(guī)律，會容易很多。譬如，老師可以提醒學(xué)生們，回憶一下中學(xué)時代經(jīng)常運(yùn)用到的加減消元和二元方程、三元方程等。對于數(shù)學(xué)，答案是唯一的，但解題思路則不是，而是很寬泛的。當(dāng)學(xué)生們能根據(jù)自身喜好熟練掌握某種方法，那么也就會持續(xù)嘗試著其他方法。在體現(xiàn)數(shù)學(xué)求簡思想的前提下，更能培養(yǎng)和增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維。

三、傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)的弊端及新時期教學(xué)內(nèi)容的改革

（一）傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)的體系缺失

對于剛進(jìn)入到大學(xué)校園的大一新生，數(shù)學(xué)類課程的確很枯燥乏味。不可否認(rèn)，無論是我們教師還是學(xué)生們，均需要承擔(dān)一定的責(zé)任。

先從我們教師角度來看，首要的就是來自教學(xué)管理方面的壓力。此外，還包括生活壓力以及周圍環(huán)境的影響，造成很多教師無法投入大量的時間用于教學(xué)內(nèi)容的探尋與思考。在這種局面下，課堂教學(xué)實(shí)踐過程中也就無法為學(xué)生呈現(xiàn)出貼近現(xiàn)實(shí)生活的案例。所以，先前很多年可以看到，線性代數(shù)等數(shù)學(xué)課程課堂教學(xué)中，呈現(xiàn)為單一傳授基本概念、性質(zhì)、理論、公式等。

反觀學(xué)生，由于課堂吸引力不足，導(dǎo)致學(xué)生的課堂注意力較差。特別是在當(dāng)下，與以往不同的是，網(wǎng)絡(luò)的普及、智能手機(jī)的全民化，每一位學(xué)生都擁有智能手機(jī)，上課打游戲、聊天等更是家常便飯。在學(xué)習(xí)方面也是如此，對于疑惑、不解的學(xué)習(xí)問題，上網(wǎng)簡單搜索查詢，根本不需要動腦子、認(rèn)真思考。

如上，種種跡象均表明，傳統(tǒng)線性代數(shù)教學(xué)組織模式，顯然不再適應(yīng)新環(huán)境下的教學(xué)需求。絕大部分學(xué)生對于課程內(nèi)容的思考與理解程度持續(xù)下降，長此以往，對于本專業(yè)主課程的學(xué)習(xí)也會受到影響。

以近幾年本校畢業(yè)生的實(shí)際情況為例，很多學(xué)生就業(yè)后，短時間內(nèi)無法為所在企業(yè)帶來經(jīng)濟(jì)社會效益。仔細(xì)思考不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)思維的缺失必然造成創(chuàng)造意識的不足，包括在畢業(yè)前的專業(yè)學(xué)習(xí)中，只聽其課而不知其意。即便是相當(dāng)努力的部分學(xué)生，大多也只是掌握了基本的數(shù)學(xué)只是、初步的解題能力，同樣很難將各部分知識融會到實(shí)際應(yīng)用中。鑒于此，則需要聯(lián)系到教師的教學(xué)問題。傳統(tǒng)教學(xué)方式基本都是以傳授知識點(diǎn)掌握、解題技能為主，而知識內(nèi)容本身似乎成為了一個考核指標(biāo)。在這種局面下，直接忽略了教學(xué)內(nèi)容、學(xué)生特點(diǎn)、教學(xué)環(huán)境等。實(shí)際上，明確教學(xué)目標(biāo)并非目的，而是指明教學(xué)的方向。所以，核心還是在于教學(xué)內(nèi)容。

（二）新環(huán)境下線性代數(shù)教學(xué)內(nèi)容的改革

如上所述，對于線性代數(shù)這門公共必修課程，由于學(xué)科本身的特點(diǎn)，經(jīng)常會使得教學(xué)目標(biāo)空洞化。故此，教學(xué)內(nèi)容必須切實(shí)反映出教學(xué)目標(biāo)。相對而言，教學(xué)內(nèi)容的合理性與編排設(shè)計的有效性，需要聯(lián)系到整個教學(xué)組織形式、課程結(jié)構(gòu)體系。在此基礎(chǔ)上，還需要結(jié)合教學(xué)學(xué)時、學(xué)生知識基礎(chǔ)掌握狀況。鑒于此，筆者結(jié)合近幾年教學(xué)管理實(shí)際，提出一些改進(jìn)建議。

首先，梳理知識體系，盡量多引入一些過渡性內(nèi)容。對于富有思維、創(chuàng)造力的學(xué)生而言，很多公式都可以自己推算出來。然而，在絕大多數(shù)學(xué)生眼中，公式就是一條單調(diào)的公式，只會死記，缺乏有效思考。歸根結(jié)底，還是在于課程知識點(diǎn)的零碎，定理多，概念雜等。但是，它們相互之間又緊密聯(lián)系著，老師需要做的就是依照恰當(dāng)?shù)姆绞綄⑦@些知識點(diǎn)梳理歸納。如此以來，有助于認(rèn)知的深入。

對于知識體系板塊的設(shè)計，可圍繞兩部分。其一，以矩陣為核心的代數(shù)部分。該部分實(shí)際上屬于最基礎(chǔ)的內(nèi)容，雖然前期接觸學(xué)習(xí)中會有困難，但整體并不太難學(xué)習(xí)。其二，以線性空間為核心的幾何部分。譬如，哪些是核心的內(nèi)容，彼此間有什么關(guān)系，如何加強(qiáng)相互間的空間概貌及其認(rèn)知等。總的來看，圍繞“空間為體，矩陣為用”的既定原則。不過，內(nèi)容教學(xué)難度梯度過大，在理解方面會讓很多學(xué)生短時間內(nèi)無法消化。隨著時間的推移，學(xué)習(xí)興趣逐漸降低。故此，提議引入過渡性的教學(xué)內(nèi)容。在代數(shù)教學(xué)中，可增加三維空間中的向量概念，從二維、三維向量空間引入，繼而建立一個N維空間，即線性空間的順序來推進(jìn)，這樣可使得抽象空間的概念更容易理解。

其次，融入幾何要素。對于幾何思維較好的學(xué)生來說，實(shí)際上很簡單，就如同高中時期的幾何學(xué)習(xí)。但是，對于很大一部分學(xué)生仍比較困難。此外，線性代數(shù)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用，包括與其他工學(xué)類課程的學(xué)習(xí)中，幾何這一知識點(diǎn)均是重點(diǎn)所在。與此同時，對于本學(xué)科自身，如果沒有數(shù)軸、沒有復(fù)數(shù)的幾何意義，那么學(xué)生將會更加難理解實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)的概念和實(shí)際意義。故此，在新教育內(nèi)容的編排設(shè)計上，可將幾何要素作為基礎(chǔ)內(nèi)容，逐層滲透到知識體系的每一個環(huán)節(jié)。然后通過二維、三維空間的可視化呈現(xiàn)，將幾何對象與對象間的關(guān)系變得更加清晰可視。如此，也就很自然的能夠被學(xué)生們理解、感知。在此基礎(chǔ)上，借助于多媒體計算機(jī)等設(shè)備，條件允許的情況下，教師可提前制作相關(guān)課件、動畫視頻等。通常情況下，線性代數(shù)幾何部分，看重的是學(xué)生繪圖能力，特別是對于工科專業(yè)學(xué)生。一般都不會涉及高緯繪圖，基本都是低維空間。但是，在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，會存在低維空間幾何遷移高維的情形?？紤]于此，建議老師們可適當(dāng)兼顧此層面的教學(xué)。

（三）基于內(nèi)容革新下的線性代數(shù)教學(xué)實(shí)踐

由于線性代數(shù)課程內(nèi)容過于單一，且知識點(diǎn)繁瑣，再加上當(dāng)今高校教學(xué)管理對于學(xué)生們的約束性下降，包括前文中提到的上課玩手機(jī)等等。由此可見，確保教學(xué)內(nèi)容的貼切性與有效性，基礎(chǔ)前提就是要吸引學(xué)生的注意力。鑒于此，筆者曾多次試圖嘗試引入嚴(yán)肅游戲的理念，該理念目前在國內(nèi)不少獨(dú)立本科院校也均有實(shí)施，效果較佳。所謂“嚴(yán)肅游戲”，簡言之就是一種游戲策略，通過電子游戲的方式，試圖改變所處的教學(xué)環(huán)境。準(zhǔn)確地說，是依照著現(xiàn)有的教學(xué)環(huán)境，盡可能體現(xiàn)出教學(xué)目標(biāo)、對象、設(shè)備的有效性。尤其是運(yùn)用到大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中來，更加有助于學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，并且在計算機(jī)技術(shù)方面也均以成熟。

教學(xué)是教與學(xué)的構(gòu)成，教與學(xué)只有體現(xiàn)出交互性，才能傳達(dá)出課堂知識傳授的現(xiàn)實(shí)意義。嚴(yán)肅游戲只是一種策略、手段，在于滿足線性代數(shù)課堂教學(xué)需求。它所起到的作用同時也是大家對其的期許，即創(chuàng)造學(xué)習(xí)氛圍，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣，提供學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的能動性。

如上，以矩陣為例。矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，也是重點(diǎn)關(guān)注對象。不僅是數(shù)學(xué)領(lǐng)域，包括在其他關(guān)聯(lián)學(xué)科領(lǐng)域，應(yīng)用是比較廣泛的，即便是社會生活與工業(yè)生產(chǎn)、工程設(shè)計中的一些難題，均離不開矩陣及其理論的支撐。在既往，單純的向?qū)W生們講授一些破碎的知識理論，實(shí)際效果很差，并且非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生大多屬于大一階段，也不可能提前出校去實(shí)習(xí)。故此，在日常教學(xué)管理中，設(shè)計一些游戲環(huán)節(jié)，將實(shí)際應(yīng)用的問題融入到教學(xué)實(shí)踐中來。一來調(diào)動學(xué)生們的積極性和高度參與性，同時也逐漸改變并增強(qiáng)著學(xué)生的學(xué)習(xí)行為習(xí)慣、思考與應(yīng)用水平。

比如，在學(xué)習(xí)矩陣?yán)碚撛頃r，這些理論概念并不難理解，絕大部分學(xué)生在較短時間內(nèi)均可掌握住。但是，實(shí)際演練推算起來，前期問題比較多。在這里，筆者并不贊同“熟能生巧”的說法，熟能生巧、題海戰(zhàn)術(shù)，這些都是中學(xué)時代的應(yīng)試?yán)砟?，在高等教育階段顯然不現(xiàn)實(shí)，也沒有任何必要。因?yàn)槲覀兣囵B(yǎng)的是能夠從事社會各崗位一線的應(yīng)用型人才，而非書呆子、理論詞典。眾所周知，矩陣的計算過程是比較復(fù)雜的，計算量也很大，包括秩、逆等，整個過程一旦出現(xiàn)一絲差錯，可能就會前功盡棄。仔細(xì)來分析，加減法的運(yùn)算比較容易，難點(diǎn)在于乘法運(yùn)算，雖然很多學(xué)生掌握一些解題技巧，但仍會浪費(fèi)大量時間。對此，筆者提議，可引入Maple軟件。引入該軟件的目的并不是簡化計算過程，而是傳遞一種數(shù)學(xué)思路。主要適用于對前期低層次運(yùn)算部分的簡化，從而讓學(xué)生有更多的時間關(guān)注高層次的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)。此外，現(xiàn)在學(xué)生人手一部智能手機(jī)，實(shí)際可操作性非常大。

總之，筆者以為，線性代數(shù)與概率論數(shù)理統(tǒng)計、微積分等相比，運(yùn)算方面似乎成為了主流，但實(shí)際上這些運(yùn)算并不能絕對檢驗(yàn)學(xué)生們的學(xué)習(xí)水平和運(yùn)算能力，可適當(dāng)降低對運(yùn)算的要求，包括逆矩陣的求解、代數(shù)余子式的求解、分塊矩陣的計算等。具體可培養(yǎng)學(xué)生的技巧性，這些屬于較高層次的數(shù)學(xué)知識。

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