楊晉生，柳建飛，陳為剛

(天津大學(xué) 微電子學(xué)院，天津 300072)

0 引 言

對入射信號的二維波達方向估計是陣列信號處理中的一個基本問題，也是雷達、無線通信等許多領(lǐng)域的重要任務(wù)之一。二維到達角(direction-of-arrival, DOA)估計的性能取決于天線陣列的結(jié)構(gòu)配置和所選擇的算法[1]。文獻[1]分析了幾種常見的天線陣列形式的性能表現(xiàn)，其中,雙L型陣列具有更低的克拉美羅界(cramer rao bounds, CRB)，在進行聯(lián)合角度估計時具有更大的優(yōu)勢。典型的DOA估計方法包括二維多重信號分類(multiple signal classification, MUSIC)[2]、旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)的參數(shù)估計(estimation of signal parameters via rotational invariance technology, ESPRIT)[3]、平行因子技術(shù)[4]、高階累計量法[5]、基于壓縮感知的方法[6]、傳播算子的方法等。其中以MUSIC和ESPRIT算法最為經(jīng)典，但MUSIC算法需要進行譜峰搜索，而ESPRIT算法則需要對接收數(shù)據(jù)矩陣進行奇異值或者特征值分解，兩者的計算復(fù)雜度都比較高。

基于傳播算子的方法利用線性運算代替特征分解，計算量較小，因此，受到廣泛研究[7-12]。在文獻[8]中，Marcos將傳播算子(propagator method,PM)算法應(yīng)用到一維DOA估計中，無需對接收數(shù)據(jù)進行特征值或者奇異值分解，降低了計算復(fù)雜度?；陔p平行線陣，Wu[9]將基于擴展PM算法擴展到2-D DOA估計中，不需要搜索譜峰的步驟，但是存在角度估計失效問題。Tayem[10]將PM算法推廣到L型和雙L型陣列中，解決了角度估計失敗的問題，提高了估計性能，但是不能對二維角度自動配對，并且存在陣元信息損失問題。文獻[11]在雙平行線陣中提出了一種擴展孔徑的PM算法，更加有效地利用了陣元的輸出數(shù)據(jù)信息，并且無需額外的配對算法，具有更低的計算復(fù)雜度，但是仍然存在角度估計失敗問題。為了解決文獻[11]中算法存在的問題，Chen[12]基于三平行線陣提出了一種改進的DOA算法，提高了俯仰角的估計性能。以進一步降低計算量為目的，文獻[13]提出了一種特殊結(jié)構(gòu)的雙平行線性陣列，將歐拉方程引入到PM算法中，可以實現(xiàn)角度自動配對。通過利用陣列流形矩陣的共軛對稱性增加陣列的有效孔徑[14]，Dong提出了一種計算量較低并且可以自動配對的估計方法，該方法通過結(jié)合PM算法和ESPRIT算法來獲得二維DOA估計。文獻[15]基于L型陣列提出一種利用互相關(guān)矩陣來消除噪聲干擾的計算方法，對互相關(guān)矩陣進行一些線性運算便可獲得角度信息，有效降低了計算量。文獻[16]首先構(gòu)造互相關(guān)矩陣消除噪聲干擾，然后通過利用傳播算子的方法進行角度估計，并且實現(xiàn)了角度的自動配對。

針對文獻[10]中出現(xiàn)的陣元信息損失問題，本文通過利用雙L型天線陣列的結(jié)構(gòu)特征，提出一種新的子陣劃分方法，使得對俯仰角和方位角估計時都能夠利用水平方向和垂直方向的陣元信息。同時，這種子陣劃分方法可以降低協(xié)方差矩陣中的冗余數(shù)據(jù)，比文獻[10]中的方法具有更低的計算復(fù)雜度。為了避免陣列孔徑損失，本文將文獻[11]在雙平行線陣中提出的擴展孔徑的PM方法思想應(yīng)用到雙L型陣列的角度估計中。由于在角度估計時能充分利用陣元信息并且避免陣列孔徑損失，因此，估計誤差小。本文提出的方法雖然需要額外的配對算法，但是角度估計精度高，計算量小，對不同信噪比和不同角度組合的魯棒性較好，具有一定的實用性。

1 DOA估計算法模型

1.1 陣列結(jié)構(gòu)和信號模型

陣列結(jié)構(gòu)如圖1所示，本文采用雙L型均勻線性陣列。3條均勻線性正交陣列分布在x,y,z軸上，每個軸上有M個陣元，位于原點的陣元是參考陣元，每個軸上相鄰陣元之間的間距都是d。

圖1 雙L型均勻線性陣列結(jié)構(gòu)Fig.1 Two L-shaped uniform linear array configuration

Ax=[ax(θ1,φ1),ax(θ2,φ2),…,ax(θK,φK)]

Ay=[ay(θ1,φ1),ay(θ2,φ2),…,ay(θK,φK)]

(1)

Az=[az(θ1,φ1),az(θ2,φ2),…,az(θK,φK)]

(1)式中，

(2)

則3個子陣列的陣元輸出數(shù)據(jù)表達式為

X(t)=AxS(t)+Wx(t)

Y(t)=AyS(t)+Wy(t)

(3)

Z(t)=AzS(t)+Wz(t)

在t時刻，觀測得到子陣X,Y,Z的接收數(shù)據(jù)矢量分別表示為X(t)=[x1(t),x2(t),…,xM(t)]T,Y(t)=[y1(t),y2(t),…,yM(t)]T和Z(t)=[z1(t)，…z2(t)…zM(t)]T。入射到天線陣列上的K個信號源的矢量表達式為S(t)=[s1(t),s2(t),…,sK(t)]T。噪聲矢量表示為Wi(t)=[wi,1(t),wi,2(t),…,wi,M(t)]T(其中，i指x,y,z)。假定各陣元受到的噪聲是均值為零、方差為σ2的加性復(fù)高斯白噪聲，且與入射信號不相關(guān)。

1.2 傳播算子方法

假設(shè)A為陣列流形矩陣，將A分塊

(4)

(4)式中，矩陣A1和A2的維度分別為K×K和(M-K)×K。假設(shè)A1為非奇異矩陣，即A1的前K行獨立，那么A2是A1的線性變換，有

A2=PHA1

(5)

PK×(M-K)為傳播算子，令QH=[PH,-IM-K]，則有

QHA=0(M-K)×K

(6)

(7)

求出傳播算子之后，再根據(jù)Q構(gòu)造PM算法空間方位譜

FPM=aHQQHa

(8)

(9)

分別用Pa和Pb表示Pe的前M-1行和后M-1行，用Aa和Ab表示A的前M-1行和后M-1行，則有

(10)

則有以下關(guān)系式

(11)

通過(11)式便可求出包含角度信息的矩陣Φr。文獻[12]則將文獻[11]提出的擴展孔徑的傳播算子方法應(yīng)用到三平行陣列中，提高了俯仰角的估計性能。為了解決文獻[10]中存在的陣元信息損失問題，本文將此擴展孔徑的傳播算子方法應(yīng)用到雙L型陣列的角度估計中，有效提高了角度估計的精度。

2 基于改進傳播算子的二維DOA估計

首先根據(jù)陣列結(jié)構(gòu)特點，將雙L型陣列虛擬地按2個獨立的L型陣列進行分析，即位于xoz平面的L型陣列和位于yoz平面的L型陣列，并對每一個L型陣列的子陣列數(shù)據(jù)進行重排整理。與文獻[10]中劃分子陣和構(gòu)造陣元數(shù)據(jù)接收矩陣的方式不同，本文的劃分方式可以充分利用陣元輸出數(shù)據(jù)的有效信息，同時又避免出現(xiàn)孔徑損失的問題。然后通過利用文獻[11]中提出的基于擴展孔徑的傳播算子方法得到傳播算子，進而可以求得4個包含角度信息的旋轉(zhuǎn)矩陣。由于2個虛擬L型陣列存在一個公共子陣Z，可以利用求最小范數(shù)的方法對2個旋轉(zhuǎn)矩陣的元素配對。最后利用配對后的信息聯(lián)合估計信號的俯仰角和方位角。

2.1 子陣劃分

本文對接收數(shù)據(jù)矩陣X和Y做如下的處理得到2個新的矩陣Xd和Yd

Xd=JMX

Yd=JMY

(12)

(12)式中，JM=[0(M-1)×1,I(M-1)×(M-1)],I(M-1)×(M-1)是反對角線上全為1且其余元素全為0的選擇矩陣。為了能在構(gòu)造協(xié)方差矩陣時能利用所有的陣元數(shù)據(jù)并且使陣元數(shù)據(jù)不存在重疊，構(gòu)造2個新的接收數(shù)據(jù)矩陣C和Q如下

(13)

文獻[10]提出的方法將整個天線陣列分解成3個均勻線性陣列，通過z軸的陣列獨立估計求俯仰角的信息，通過x軸和y軸的陣列獲取方位角的信息，這種求解方式不能夠充分利用陣元信息。為了獲取角度信息，每個軸的陣列又劃分為2個最大重疊的子陣，但這種劃分方式在求解協(xié)方差矩陣時會有較大的冗余。從(13)式中可以看出，接收數(shù)據(jù)矩陣C和Q都包含有垂直方向和水平方向的陣元信息，相比于文獻[10]的劃分方式更加有效。雖然按照本文的子陣劃分方式會帶來角度配對的額外過程，但是可以使得傳播算子算法可以充分利用陣元輸出數(shù)據(jù)，聯(lián)合估計俯仰角和方位角的信息。

2.2 求解旋轉(zhuǎn)矩陣

首先對xoz平面內(nèi)的L型陣列的陣元數(shù)據(jù)進行分析，將Am分塊表示如下

(14)

(14)式中:Am1∈CK×K是一個非奇異矩陣；Am2∈C(2M-1-K)×K可由Am1線性表示，即存在一個K×(2M-1-K)維度的傳播算子矩陣P滿足

PHAm1=Am2

(15)

PeAm1=Am

(16)

取Pe的前M行和后M行分別構(gòu)成矩陣Px和Pxz，定義矩陣Px1和Px2分別為矩陣Px的后M-1行和前M-1行，考慮到均勻線性陣列的旋轉(zhuǎn)不變性，則有

Px1Am1Φx=Px2Am1

(17)

(17)式中，Φx=diag[e-j2πsinθ1cosφ1d/λ,e-j2πsinθ2cosφ2d/λ,…,e-j2πsinθK-1cosφK-1d/λ,e-j2πsinθKcosφKd/λ]，那么由(17)式推出

(18)

(19)

2.3 角度配對

(20)

s.t. ?Ξi,j={0,1},

(21)

(21)式中：‖·‖F(xiàn)和‖·‖1分別代表取矩陣的Frobenius范數(shù)和1范數(shù)；(·)i·，(·)·j和(·)i,j分別代表取矩陣的第i行、第j列和位于第i行與第j列交叉處的元素。通過求出置換矩陣獲得和的配對關(guān)系，并將二者的平均值作為新的估計值

(22)

(23)

則俯仰角和方位角的估計值分別為

(24)

(25)

2.4 算法步驟總結(jié)

算法主要步驟總結(jié)如下。

步驟1對接收數(shù)據(jù)進行重排整理，并構(gòu)造2個新的數(shù)據(jù)接收矩陣C和Q；

步驟2計算C的協(xié)方差矩陣，劃分協(xié)方差矩陣并由(9)式得到擴展傳播算子Pe；

步驟5通過(23)式得到3個配對后的旋轉(zhuǎn)矩陣關(guān)系式；

步驟6計算(24)式和(25)式，獲得估計的俯仰角和方位角。

2.5 算法復(fù)雜度分析

表1為取N=200時，復(fù)雜度隨Mt變化的情況?？梢钥闯?本文所提算法比其他幾種算法的計算量要小。

表1 算法復(fù)雜度比較Tab.1 Comparison of algorithm complexity

3 實驗仿真及分析

(26)

3.1 仿真1

圖2a和圖2b分別展示了本文算法在信噪比為5 dB和15 dB時對方位角和俯仰角估計結(jié)果的散布圖，用以說明對3個目標(biāo)源信號的分辨情況。圖2中的3個不同位置的散點分布表示對3個不同信號源角度估計值的分布情況。仿真實驗中設(shè)置3個目標(biāo)源的方位角和俯仰角分別為(50°，80°),(75°，20°)和(30°，60°)，蒙特卡洛仿真次數(shù)為500次，快拍數(shù)、每個子陣的陣元數(shù)和信源數(shù)分別為N=200，M=9，K=3。

從圖2a和圖2b中可以看出，在信噪比為5 dB和15 dB的實驗環(huán)境下，3個信號源的方位角和俯仰角的估計值分布都比較集中，且比較接近于實驗設(shè)置的真實值，沒有出現(xiàn)偏離真實值較大的異常值。說明本文算法可以比較穩(wěn)定準(zhǔn)確地分辨出各個信號的方位角和俯仰角，驗證了本文算法的有效性，同時也說明對于不同的信噪比有較好的魯棒性。對比圖2a和圖2b可以看出，在高信噪比的環(huán)境下，角度估計值更加接近真實值，誤差更小。

圖2 角度估計散布圖Fig.2 Scatter gram of DOA estimation

3.2 仿真2

圖3展示了在相同環(huán)境條件下，隨著信噪比變化時文獻[10]算法、文獻[11]算法、文獻[12]算法、本文提出的算法以及克拉美羅界(CRB)的性能比較。采用角度估計的均方誤差來衡量算法的性能表現(xiàn)。實驗中設(shè)置(50°，70°)和(70°，85°)2個目標(biāo)信號源，陣元總數(shù)都設(shè)置為25，快拍數(shù)為200，蒙特卡洛仿真次數(shù)為500次，信噪比的變化為0～30 dB。

從圖3中可以看出，無論是方位角、俯仰角還是聯(lián)合角度誤差估計，本文算法的RMSE都是幾種方法中最低的，更接近于CRB，整體上來看優(yōu)于其他幾種方法。這不僅僅是因為雙L型陣列結(jié)構(gòu)有著良好的性能，更是由于本文算法充分利用了陣元的接收數(shù)據(jù)信息，避免了陣列孔徑損失，從而獲得了更高的角度估計精度。

文獻[10]的方法在俯仰角和聯(lián)合角度估計時可以獲得比文獻[11]和文獻[12]更小的估計誤差，而其方位角估計性能比較差。從圖3a中可以看出,文獻[11]的方位角估計誤差要比文獻[10]和文獻[12]中方法的誤差要小，這是由于文獻[11]采用雙平行陣列，在水平面具有更大的陣列孔徑，在對方位角估計時有更大的優(yōu)勢。從圖3b和圖3c中可以看出，文獻[12]在俯仰角估計和聯(lián)合角度估計時的性能優(yōu)于文獻[11]，說明其對于文獻[11]的改進是有效果的。

圖3 不同信噪比下角度估計均方誤差圖Fig.3 RMSE performance of DOA estimation at different SNR

3.3 仿真3

圖4為RMSE的三維mesh圖，展示了本文算法和其他算法在不同方位角和俯仰角組合下的聯(lián)合均方誤差。仿真實驗中假設(shè)有一個信號源入射到天線陣列上，信噪比SNR=10 dB,其他條件與仿真2中相同。入射信號源的方位角和俯仰角均在10°～80°，以2°的步長變化。

圖4 不同角度組合下均方誤差的三維mest圖Fig.4 Three dimensional mest diagram of RMSE performance at different angles

從圖4a可以看出，對于不同的二維角度組合，本文給出算法的均方誤差曲線比較平滑,并且誤差比較小。這是由于雙L型陣列在結(jié)構(gòu)上有對稱性，在水平面和垂直面內(nèi)具有相同的陣列孔徑。本文提出的劃分子陣的方式也充分利用了這種特點，每個子陣都可以獲取水平面和垂直面的信源信息，所以對于給定的俯仰角和方位角的角度組合，其性能是近似平均的。

文獻[10]雖然也采用了雙L型陣列結(jié)構(gòu)，但是其劃分子陣的方式不能充分利用其結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造的信號協(xié)方差矩陣存在冗余數(shù)據(jù)，利用傳播算子方法求解旋轉(zhuǎn)矩陣時存在陣元信息丟失問題，所以其算法性能表現(xiàn)不如本文。從圖4b可以看出，由于在估計俯仰角時只是利用了z軸方向的陣元信息，所以當(dāng)俯仰角越接近于0度時，即信號源接近于垂直入射，誤差越大。而在方位角較小和較大時，誤差會變大。出現(xiàn)這種現(xiàn)象是因為在方位角較小和較大時會出現(xiàn)陣元信息損失問題。

文獻[11]采用的是雙平行陣列，在圖4c中可以看出，在俯仰角和方位角都較小或者都較大時誤差都會變大，這是由于在這2種情況下信號在天線陣列上產(chǎn)生的相移接近于0。

從圖4d中可以看出，由于文獻[12]采用的是三平行陣列，相比于雙平行陣列增加了垂直方向的陣元信息，所以僅在俯仰角較小且方位角較大時估計誤差増大，比文獻[11]的估計效果更好。

4 結(jié)束語

本文針對雙L型結(jié)構(gòu)的陣列天線角度估計問題進行了研究。通過對子陣接收數(shù)據(jù)的重新排列和組合，使所有的陣元信息得到有效利用。構(gòu)造的信號協(xié)方差矩陣不存在冗余數(shù)據(jù)，降低了求解二階統(tǒng)計特性時的計算代價。結(jié)合均勻線性陣列的旋轉(zhuǎn)不變性，將平行線陣中采用的改進傳播算子的二維DOA估計算法擴展到雙L型陣列中，并通過求最小范數(shù)的方法對角度信息配對，配對方法簡單。該算法無需對接收數(shù)據(jù)進行特征值或奇異值分解，因此，具有較低的計算復(fù)雜度。計算機仿真證明該算法的估計精度要高于其他一些經(jīng)典文獻的算法，具有良好的估計性能。在無線電電子偵測中精確測定輻射源來向、智能天線中測定信號來向和測定無線電臺方位等場景中具有一定的應(yīng)用價值。

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