李秀真

閱讀理解型問(wèn)題是指通過(guò)閱讀材料，理解材料中所提供的新的方法或新的知識(shí)（當(dāng)然也有可能是依據(jù)已有的概念、認(rèn)知進(jìn)一步得到一個(gè)新的概念），并靈活運(yùn)用這些新方法或新知識(shí)去分析、解決類(lèi)似的或相關(guān)的問(wèn)題.

解決這類(lèi)問(wèn)題需要對(duì)閱讀理解材料認(rèn)真閱讀，先讀懂、讀透，然后進(jìn)行合情推理.

一、閱讀新定義，解決新問(wèn)題

例1 規(guī)定：求若干個(gè)相同的不為零的有理數(shù)的除法運(yùn)算叫做除方，如2÷2÷2，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）等.類(lèi)比有理數(shù)的乘方，我們把2÷2÷2記作2③，讀作“2的圈3次方”，（-3）÷（-3）÷（-3）÷（-3）記作（-3）④，讀作“-3的圈4次方”.一般地，把n個(gè)a（a≠0）記作an，讀作“a的圈n次方”.

（2）我們知道，有理數(shù)的減法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，除法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算，請(qǐng)嘗試把有理數(shù)的除方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為乘方運(yùn)算，例如：除方2④=2÷2÷2÷2=（）2轉(zhuǎn)化為乘方.歸納如下：一個(gè)非零有理數(shù)的圈n次方等于.

（3）計(jì)算24÷23+（-8）×2③.

【分析】理解除方的意義是解答本題的關(guān)鍵.

（2）這個(gè)數(shù)倒數(shù)的（n-2）次方.

【點(diǎn)評(píng)】該題考查了轉(zhuǎn)化思想和乘方的相關(guān)知識(shí)，從讀題中悟出：當(dāng)a≠0時(shí)，an=（1a）n-2.

二、閱讀題中信息，提煉數(shù)學(xué)思想方法

例2 （2017·南通）我們知道，三角形的內(nèi)心是三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，過(guò)三角形內(nèi)心的一條直線(xiàn)與兩邊相交，兩交點(diǎn)之間的線(xiàn)段把這個(gè)三角形分成兩個(gè)圖形.若有一個(gè)圖形與原三角形相似，則把這條線(xiàn)段叫做這個(gè)三角形的內(nèi)似線(xiàn)”.

（1）等邊三角形“內(nèi)似線(xiàn)”的條數(shù)為 ；

（2）如圖1，△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D在AC上，且BD=BC=AD，求證：BD是△ABC的“內(nèi)似線(xiàn)”；

圖1

（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分別在邊AC、BC上，且EF是△ABC的“內(nèi)似線(xiàn)”，求EF的長(zhǎng).

【分析】（1）過(guò)等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線(xiàn)，共有3條；（2）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=∠C=∠BDC，即BD是△ABC的角平分線(xiàn)，證△BCD∽△ABC即可；（3）分兩種情況：①EF與AB平行，②EF與AB不平行.

解：（1）等邊三角形“內(nèi)似線(xiàn)”的條數(shù)為3條.理由如下：

過(guò)等邊三角形的內(nèi)心分別作三邊的平行線(xiàn)，如圖2所示，則△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，∴MN、EF、GH是等邊三角形ABC的“內(nèi)似線(xiàn)”.

圖2

（2）證明：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∴△BCD∽△ABC，且BD是∠ABC的角平分線(xiàn)，即△ABC的內(nèi)心在BD上，

∴BD是△ABC的“內(nèi)似線(xiàn)”.

（3）如圖3，設(shè)D是△ABC的內(nèi)心，連接CD，

則CD平分∠ACB，

∵EF是△ABC的“內(nèi)似線(xiàn)”，

∴△CEF與△ABC相似.

分兩種情況：

圖3

則DN∥AC，DN是Rt△ABC的內(nèi)切圓半徑，∴DN=（AC+BC-AB）=1，

∵EF∥AB，

∴△CEF∽△CAB，

【點(diǎn)評(píng)】該題綜合考查了相似形的知識(shí).

三、閱讀題中信息，借助已有數(shù)學(xué)思想方法解決新問(wèn)題

例3 閱讀理解：

如圖4，圖形l外一點(diǎn)P與圖形l上各點(diǎn)連接的所有線(xiàn)段中，若線(xiàn)段PA1最短，則線(xiàn)段PA1的長(zhǎng)度稱(chēng)為點(diǎn)P到圖形l的距離.

圖4

例如：圖5中，線(xiàn)段P1A的長(zhǎng)度是點(diǎn)P1到線(xiàn)段AB的距離；線(xiàn)段P2H的長(zhǎng)度是點(diǎn)P2到線(xiàn)段AB的距離.

圖5

解決問(wèn)題：

如圖6，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（8，4），（12，7），點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向x軸正方向運(yùn)動(dòng)了t秒.

圖6

（1）當(dāng)t=4時(shí)，求點(diǎn)P到線(xiàn)段AB的距離；

（2）t為何值時(shí)，點(diǎn)P到線(xiàn)段AB的距離為5？

（3）t滿(mǎn)足什么條件時(shí)，點(diǎn)P到線(xiàn)段AB的距離不超過(guò)6？（直接寫(xiě)出此題的結(jié)果）

【分析】（1）作AC⊥x軸，由OP=4，OC=8，則PC=4，AC=4，根據(jù)勾股定理求解可得.（2）作BD∥x軸，分點(diǎn)P在AC左側(cè)和右側(cè)兩種情況求解，P在AC左側(cè)時(shí)，根據(jù)勾股定理即可求得；P在AC右側(cè)時(shí)，作AP2⊥AB，交x軸于點(diǎn)P2，證△ACP2≌△BEA得AP2=AB=3，繼而可得答案.（3）分點(diǎn)P在AC左側(cè)和右側(cè)兩種情況求解，P在AC左側(cè)時(shí)，根據(jù)勾股定理即可求得；P在AC右側(cè)且P3M=6時(shí)，作P2N⊥P3M于點(diǎn)N，知四邊形AP2NM 是矩形，證△ACP2∽△P2NP3，得=，可求得PP的長(zhǎng).23

解：（1）如圖7，作AC⊥x軸于點(diǎn)C，則AC=4、OC=8，當(dāng)t=4時(shí)，OP=4，∴PC=4，

圖7

∴點(diǎn)P到線(xiàn)段AB的距離PA= PC2+AC2=4.

（2）如圖8，過(guò)點(diǎn)B作BD∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，

圖8

①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)時(shí)，

②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AP2⊥AB，交 x軸于點(diǎn) P2，延長(zhǎng) CA交 BD 于 E，則∠AEB=90°，而B(niǎo)A=

在△ACP2和△BEA中，

∴△ACP2≌△BEA，

∴AP2=BA=5，且P2C=AE=3，

∴OP2=11，即t=11.

（3）如圖9，①當(dāng)點(diǎn)P位于AC左側(cè)，且AP1=6時(shí)，

圖9

∴OP1=OC-CP1=8-25；

②當(dāng)點(diǎn)P位于AC右側(cè)，且MP3=6時(shí)，

過(guò)點(diǎn)P2作P2N⊥P3M于點(diǎn)N，則四邊形AP2NM是矩形，

∴∠AP2N=90°，

∠ACP2=∠P2NP3=90°，AP2=MN=5，

∴△ACP2∽△P2NP3，且NP3=1，

【點(diǎn)評(píng)】同學(xué)們應(yīng)認(rèn)真仔細(xì)地閱讀給定的材料，重點(diǎn)讀出是點(diǎn)到線(xiàn)段的距離.展開(kāi)聯(lián)想，將獲得的新信息、新知識(shí)、新方法進(jìn)行遷移，建模應(yīng)用，才能解決題目中提出的問(wèn)題.