奚立平， 蔡文慶， 吳海鷹

(1.安徽水利水電職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 合肥 231603；2.無為縣氣象局，安徽 蕪湖 238300)

無為縣地處安徽省中南部,屬亞熱帶季風(fēng)氣候區(qū),旱澇頻發(fā),嚴(yán)重影響農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、社會經(jīng)濟發(fā)展等,因此利用時間序列分析法,建立降水量預(yù)測數(shù)學(xué)模型,服務(wù)于生活生產(chǎn),尤其在防汛抗旱、農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等方面具有現(xiàn)實需求。

1 時間序列分析原理

降水是隨時間變化的,對其觀測形成一組有序的數(shù)據(jù),稱為時間序列,從“時域”角度對降水進(jìn)行分析,稱為時間序列分析,其基本思想是認(rèn)為降水在隨時間變化過程中任一時刻的變化和前期降水變化有關(guān),利用這種關(guān)系建立適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠砻枋鏊鼈冏兓囊?guī)律性,然后利用所建立的模型做出降水未來時刻的預(yù)報值估計。平穩(wěn)時間序列模型主要有3種。

(1)自回歸模型AR(p)。

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+at

(1)

其中,p為模型的自回歸階數(shù);Xt為平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列;φ為不為零的模型系數(shù),表示時間序列中要素前后時刻間相關(guān)性大小;at為白噪聲序列。

(2)移動平均模型MA(q)。

Xt=at-θ1at-1-θ2at-2-…-θqat-q

(2)

其中,q為模型的移動平均階數(shù);Xt為平穩(wěn)、正態(tài)、零均值的時間序列;θ為不為零的模型系數(shù),表示時間序列中要素與前期時刻白噪聲間相關(guān)性大小;at為白噪聲序列。

(3)自回歸移動平均模型ARMA(p,q)。

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φpXt-p+at-θ1at-1-θ2at-2-…-θqat-q

(3)

自回歸移動平均模型ARMA(p,q)可以看成是自回歸模型AR(p)的發(fā)展,即用p階自回歸模型AR(p)描述Xt所余下無法擬合的部分,用q階移動平均模型MA(q)來描述。

2 降水量時間序列模型的建立及預(yù)測

圖1 無為縣年降水量序列圖

圖2 無為縣年降水量自相關(guān)系數(shù)圖

圖3 無為縣年降水量偏自相關(guān)系數(shù)圖

利用spss 23統(tǒng)計軟件,輸入無為縣1957～2016年年降水量資料,其序列圖如圖1所示,顯然是平穩(wěn)序列。

進(jìn)一步對自相關(guān)性和偏自相關(guān)性進(jìn)行檢驗,結(jié)果如圖2、圖3所示,由圖可知,無為縣年降水量序列接近于白噪聲序列,反映無為縣年降水量隨機性強。

對序列進(jìn)行1階和2階差分處理,其相關(guān)性仍然較弱難以建模。

為了增強序列的相關(guān)性,對降水量進(jìn)行5年疊加,1957～1961年的降水量疊加作為新序列的第1個值,1958～1962年的降水量疊加作為新序列的第2個值,以此類推,得到5年疊加后的新序列,對自相關(guān)性和偏自相關(guān)性進(jìn)行檢驗,結(jié)果如圖4、圖5所示,由圖可知,新序列是平穩(wěn)非白噪聲序列。

由圖4、圖5可見,自相關(guān)系數(shù)在K=2之后基本都落在2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi),可判斷其為自相關(guān)系數(shù)2階截尾,偏自相關(guān)系數(shù)在K=1后基本上落入2倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍以內(nèi),可以判斷其偏自相關(guān)系數(shù)1階截尾,而自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)開始逐漸變化,且后邊還有接近甚至稍大于2倍標(biāo)準(zhǔn)差的,故也可以判斷其拖尾,因此,可采用MA(2)、AR(1)以及ARMA(1,2)分別進(jìn)行擬合。

圖5 無為縣5年疊加降水量偏自相關(guān)系數(shù)圖

嘗試建立MA(2)模型,從模型統(tǒng)計量表1可知,平穩(wěn)的R2=0.493,楊-博克斯統(tǒng)計量為32.520,伴隨概率小于0.05,反映擬合模型的殘差存在相關(guān)性,不為純隨機序列,從自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖如圖6所示也能看出這一點,因此,采用MA(2)建模效果較差。

表1 MA(2)模型統(tǒng)計量

再嘗試建立AR(1)模型,從模型統(tǒng)計量表2、自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖(圖7)可得出與上述相似的結(jié)論,因此,采用AR(1)建模效果也較差。

表2 AR(1)模型統(tǒng)計量

圖6無為縣5年疊加降水量MA(2)自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)圖

圖7 無為縣五年疊加降水量AR(1)自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)圖

最后,嘗試建立ARMA(1,2)模型,模型參數(shù)如表3所列,經(jīng)過t檢驗,自回歸系數(shù)的伴隨概率均小于0.05,顯著非零,有統(tǒng)計學(xué)意義。從模型統(tǒng)計量表4可知,平穩(wěn)的R2=0.563,楊-博克斯統(tǒng)計量為22.375,伴隨概率大于0.05,再結(jié)合從自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖(圖8)來看,反映擬合模型的殘差項不存在相關(guān)性,殘差序列為白噪聲序列,另外,采用ARMA(1,2)擬合的模型不存在離群值,模型的擬合度較好。

表3 ARMA(1,2)模型參數(shù)

表4 ARMA(1,2)模型統(tǒng)計量

圖8無為縣5年疊加降水量ARMA(1,2)自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)圖

綜上可知,擬合的模型為:

Xt=-0.742Xt-1+at+1.608at-1+0.963at-2

(4)

利用上述模型對時間序列進(jìn)行模擬,用擬合值與5年疊加的實測值進(jìn)行對比,結(jié)果如圖9所示。

圖9 無為縣5年疊加降水量采用ARMA(1,2)模型擬合值與實測值對比圖

由圖9可見,擬合的最大相對誤差約為11.3%,最近2年(2015、2016)的擬合值與實測值對比如表5所列,其相對誤差分別為0.30%和-6.53%,說明模型精度較高,擬合效果良好。

表5 2015、2016年5年疊加降水量的擬合值與實測值比較

表6 5年疊加降水量預(yù)測

利用模型對未來的值進(jìn)行預(yù)測,2017、2018、2019年的預(yù)測值如表6所列。2017年至2019年的疊加降水量呈下降趨勢。需要說明的是,由于分析的序列是5年降水的疊加值,所以擬合模型計算出的預(yù)測值不是某一年的降水量,而是5年累計的降水量。

3 結(jié) 論

由于無為縣降水量隨機性強,相關(guān)性弱,即使進(jìn)行1階和2階差分處理,其相關(guān)性仍然較弱,因此采用五年疊加的方法增強序列的相關(guān)性,得到平穩(wěn)的新序列。

根據(jù)自相關(guān)系數(shù)、偏自相關(guān)系數(shù)判斷,新序列可能存在MA(2)、AR(1)以及ARMA(1,2)3種模型。其中MA(2)和AR(1)模型的伴隨概率均小于0.05,從自相關(guān)圖和偏自相關(guān)圖,可以看出2種模型的殘差序列為非白噪聲序列,不采用。ARMA(1,2)模型的擬合度較好、符合要求,是選定的模型。

ARMA(1,2)模型的預(yù)測表明,無為縣5年疊加降水量自2017年至2019年處于下降通道。

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