盧勁鍇 李絡(luò) 胡永鵬 付文萱

摘 要：在干熱巖鉆井過(guò)程中，井壁與鉆井液接觸產(chǎn)生熱作用。干熱巖地層在鉆井液持續(xù)冷卻的條件下，由于內(nèi)外溫度差，在巖體內(nèi)部產(chǎn)生極大的熱應(yīng)力。這對(duì)于控制井壁穩(wěn)定是不利的，而對(duì)于后續(xù)水力壓裂來(lái)說(shuō)是有利的。通過(guò)建立模型的方法來(lái)評(píng)估和了解這種熱應(yīng)力的分布和變化規(guī)律。由在熱作用影響范圍內(nèi)的溫度的數(shù)學(xué)模型，分析得到溫度變化的規(guī)律。同時(shí)根據(jù)彈性力學(xué)中平面軸對(duì)稱熱應(yīng)力問(wèn)題的基本解，建立了徑向和切向熱應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型，從而分析得到熱應(yīng)力隨位置和時(shí)間的變化規(guī)律。

關(guān)鍵詞：干熱巖；熱應(yīng)力；彈性力學(xué)；數(shù)學(xué)模型

中圖分類號(hào)：P314 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：2095-2945（2018）10-0026-03

Abstract： During dry-hot rock drilling， the contact between borehole lining and drilling fluid produces thermal effect. Under the condition of continuous cooling of drilling fluid， the dry hot rock formation produces great thermal stress in the rock mass due to the difference of internal and external temperature. This is unfavorable for controlling wellbore stability and favorable for subsequent hydraulic fracturing. The distribution and variation of the thermal stress are evaluated and understood by establishing a model. Based on the mathematical model of temperature in the range of thermal effect， the law of temperature change is obtained. At the same time， according to the basic solution of plane axisymmetric thermal stress in elastic mechanics， the mathematical model of radial and tangential thermal stress is established， and the variation law of thermal stress with position and time is obtained.

Keywords： dry hot rock； thermal stress； elastic mechanics； mathematical model

引言

隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)的迅猛發(fā)展，能源需求量與日俱增。干熱巖（Hot Dry Rock，簡(jiǎn)稱HDR）型地?zé)崮茏鳛橐环N綠色可再生的新型能源近年來(lái)受到社會(huì)的廣泛關(guān)注。干熱巖所處的地層一般為堅(jiān)花崗巖地層，具有完整堅(jiān)硬、致密低滲的特點(diǎn)。為使地下?lián)Q熱面積增大，人們采取在干熱巖地層中制造增強(qiáng)型地?zé)嵯到y(tǒng)（EGS）的方法，來(lái)更加有效利用干熱巖地層所儲(chǔ)存的熱能。增強(qiáng)型地?zé)嵯到y(tǒng)是通過(guò)水力壓裂的方法來(lái)使兩個(gè)（或更多）井體之間的裂隙貫通。干熱巖所處的地層溫度一般為200-300°C，甚至更高。井壁接觸循環(huán)鉆井液時(shí)迅速降溫，井壁到圍巖的區(qū)間產(chǎn)生溫度差，這將會(huì)使井壁附近一定范圍內(nèi)的干熱巖地層產(chǎn)生巨大的熱應(yīng)力。因此，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)衡量其產(chǎn)生的熱應(yīng)力具有重要意義。

1 模型的建立

1.1 地層環(huán)境的抽象

從地面向干熱巖目標(biāo)地層打一口豎直井，由于鉆井液與井壁接觸產(chǎn)生熱作用的時(shí)間是有限的，因此在有限時(shí)間內(nèi)熱影響區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)圓筒體。

由熱學(xué)定理可得，熱影響的距離R-r0為：

1.2 冷卻后干熱巖溫度變化模型

由于鉆孔截面為沿軸向無(wú)變化的軸對(duì)稱截面，且不考慮軸向熱流和滲透作用的情況下，溫度場(chǎng)僅為點(diǎn)到鉆孔中心距離r的函數(shù)，滿足定常無(wú)熱源的熱傳導(dǎo)方程[1]：

1.3 冷卻后干熱巖熱應(yīng)力變化的模型

抽象后的地層為一個(gè)厚壁圓筒，由于低溫梯度的變化比較小，在干熱巖鉆井底部區(qū)域內(nèi)的軸向作用可忽略不計(jì)。利用彈性力學(xué)中平面軸對(duì)稱熱應(yīng)力問(wèn)題的一般解[1]如下：

將鉆井井壁表面和熱作用半徑面無(wú)面力的邊界條件

代入即可解得常數(shù)D1、D2。

將上式代入應(yīng)力分量表達(dá)式，并將T的表達(dá)式代入后積分可得：

點(diǎn)到鉆井中心的距離相等時(shí)熱應(yīng)力大小相等，則把由這樣的點(diǎn)構(gòu)成的圓定義為等熱應(yīng)力圓。

1.4 鉆井液與井壁巖體的熱傳導(dǎo)模型

由牛頓冷卻定律可知液體從外界下到孔底時(shí)，液固界面滿足方程[2]：

式中：h為鉆井液和巖石的熱交換系數(shù)。

當(dāng)井壁內(nèi)表面與鉆井液循環(huán)溫度相等時(shí)，熱作用半徑為

2 模型的分析

為了方便研究模型中變量的相互關(guān)系，不妨取變量的值為一般經(jīng)驗(yàn)值。其中，巖石密度、比熱容導(dǎo)熱系數(shù)的取值參考了文獻(xiàn)[3]；熱膨脹系數(shù)、對(duì)流換熱系數(shù)、泊松比和彈性模量的取值參考了文獻(xiàn)[4]。

2.1 時(shí)間與熱作用半徑的關(guān)系

由式（1）可知，熱作用半徑與時(shí)間和導(dǎo)熱系數(shù)為正相關(guān)，與密度和比熱容成負(fù)相關(guān)。在鉆井周圍，熱作用半徑的大小能夠衡量巖石受熱應(yīng)力影響的范圍，其關(guān)系為：隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，熱作用半徑不斷增加，當(dāng)在鉆井液循環(huán)11.6天時(shí)，熱作用半徑約為2.5m。如果需要更大的熱應(yīng)力作用范圍，則需要更長(zhǎng)的鉆井液循環(huán)時(shí)間。

2.2 熱作用范圍內(nèi)溫度的變化規(guī)律

由于模型在水巖截面引入等溫假定，即井壁表面巖石溫度等于鉆井液循環(huán)溫度。在鉆井液剛剛通入鉆井內(nèi)與井壁接觸時(shí)，二者實(shí)際溫度并不相等，由式（9）可推求溫度相等時(shí)所用的時(shí)間。此時(shí)間與巖石表面對(duì)流換熱系數(shù)有關(guān)，一般情況下不超過(guò)10秒。因此式（4）適用于熱作用時(shí)間超過(guò)10秒的情況。

鉆井內(nèi)溫度保持在鉆井液循環(huán)溫度，在熱作用半徑以外溫度始終為地層溫度。在由式（4）可知，在熱作用范圍內(nèi)，溫度與等應(yīng)力圓半徑的自然對(duì)數(shù)值成正比，二者關(guān)系如圖1所示：

2.3 熱應(yīng)力的變化規(guī)律

由式（8）可知，在熱作用時(shí)間確定時(shí)，熱應(yīng)力的大小與等應(yīng)力圓半徑有關(guān)；在等應(yīng)力圓半徑確定時(shí)，熱應(yīng)力的大小隨熱作用時(shí)間而改變。下面分別研究其中的變化規(guī)律。

2.3.1 熱應(yīng)力與等應(yīng)力圓半徑的關(guān)系

我們得到：徑向熱應(yīng)力始終是拉力，100秒時(shí)徑向熱應(yīng)力的最大值為1.59MPa，10000秒時(shí)徑向熱應(yīng)力的最大值為8.15MPa，1000000秒時(shí)徑向熱應(yīng)力的最大值為15.6MPa。徑向熱應(yīng)力的最大值隨時(shí)間延長(zhǎng)而逐漸增大。時(shí)間很短時(shí)，熱應(yīng)力的變化趨勢(shì)類似拋物線，徑向熱應(yīng)力最大值位于熱作用范圍內(nèi)的中點(diǎn)附近；而隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，熱應(yīng)力的趨勢(shì)發(fā)生改變，徑向熱應(yīng)力最大值向鉆井壁移動(dòng)，且熱應(yīng)力的變化率逐漸增大。

切向熱應(yīng)力在熱作用范圍內(nèi)切向熱應(yīng)力方向發(fā)生一次改變，由拉力逐漸減小到0，然后變?yōu)閴毫Αr(shí)間很短時(shí)，切向熱應(yīng)力的趨勢(shì)近似線性，最大切向拉應(yīng)力值位于井壁處最大切向壓應(yīng)力值位于熱作用半徑處，即最大等熱應(yīng)力圓處。隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，切向熱應(yīng)力的下凸的趨勢(shì)越來(lái)越明顯，切向最大拉應(yīng)力的增長(zhǎng)幅度要小于徑向最大拉應(yīng)力；切向最大壓應(yīng)力的值逐漸減小。

2.3.2 同一位置下熱應(yīng)力隨時(shí)間的改變規(guī)律

計(jì)算出等熱應(yīng)力半徑為0.2m處，熱應(yīng)力隨時(shí)間（10000秒到100000秒）的變化和等熱應(yīng)力半徑為1m處，熱應(yīng)力隨時(shí)間（100000秒到1000000秒）的變化。變化如圖2、3如下：

開(kāi)始很快，經(jīng)過(guò)某一時(shí)間節(jié)點(diǎn)后突然變慢。切向熱應(yīng)力的增長(zhǎng)速度比徑向熱應(yīng)力快，在增速拐點(diǎn)處切向熱應(yīng)力大于徑向熱應(yīng)力，此后二者之間差距逐漸增大。圖3也反映了應(yīng)力增長(zhǎng)速度變慢的規(guī)律。

3 結(jié)束語(yǔ)

（1）熱作用半徑與時(shí)間和導(dǎo)熱系數(shù)為正相關(guān)，與密度和比熱容成負(fù)相關(guān)。當(dāng)在鉆井液循環(huán)11.6天時(shí)，熱作用半徑約為2.5m。如果需要更大的熱應(yīng)力作用范圍，則需要更長(zhǎng)的鉆井液循環(huán)時(shí)間。

（2）徑向熱應(yīng)力是拉力，最大值隨時(shí)間延長(zhǎng)單調(diào)遞增。時(shí)間很短時(shí)，變化趨勢(shì)類似拋物線，最大值位于熱作用范圍內(nèi)的中點(diǎn)附近；而隨著時(shí)間的延長(zhǎng)，徑向熱應(yīng)力最大值向鉆井壁移動(dòng)。

（3）在熱作用范圍內(nèi)，切向熱應(yīng)力方向由拉力逐漸變?yōu)閴毫Αr(shí)間很短時(shí)，切向熱應(yīng)力的趨勢(shì)近似線性，最大切向拉應(yīng)力值位于井壁處；最大切向壓應(yīng)力值位于熱作用半徑處，即最大等熱應(yīng)力圓處。切向最大壓應(yīng)力的值隨時(shí)間逐漸減小。

（4）某位置巖石受到的熱應(yīng)力隨時(shí)間的延長(zhǎng)而增加，熱應(yīng)力增長(zhǎng)速度開(kāi)始很快，經(jīng)過(guò)某一時(shí)間節(jié)點(diǎn)后突然變慢。

（5）由模型可得，通過(guò)地面上鉆井液冷卻降溫系統(tǒng)使鉆井液循環(huán)溫度降低，可使熱應(yīng)力變大；增加鉆井液的循環(huán)時(shí)間，也可以使熱應(yīng)力變大。

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