李 環(huán),遲秀秀

(沈陽(yáng)理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院,沈陽(yáng) 110159)

地震波是從震源產(chǎn)生的向周圍傳播的彈性波,分為體波和面波,而艦船地震波是沿著液-固界面?zhèn)鞑サ囊活惷娌╗1]。航行艦船是一個(gè)很大的振動(dòng)和噪聲源,其振動(dòng)和噪聲引起的壓力波經(jīng)由流體介質(zhì)傳播到海底,引起海底巖層振動(dòng),產(chǎn)生彈性波并向遠(yuǎn)處傳播[2],這種艦船地震波和普通的地震波特性基本相同。實(shí)際上,當(dāng)震源激發(fā)后,會(huì)受到地上和地下各種彈性介質(zhì)的影響,使得采集到的地震波數(shù)據(jù)中含有規(guī)則干擾波和不規(guī)則干擾波,其中不規(guī)則干擾波具有隨機(jī)性,且無(wú)規(guī)律可循[3],在很大程度上影響了艦船地震波識(shí)別的準(zhǔn)確性。

近年來(lái),國(guó)內(nèi)外不少學(xué)者從不同的角度對(duì)艦船地震波識(shí)別方法進(jìn)行了研究,但在完全消除干擾波方面都存在一定困難[1]。本文以雷克子波為艦船地震波模型,利用小波變換與多分辨率之間的關(guān)系,把小波變換和濾波器組結(jié)合在一起,構(gòu)造出基于無(wú)限沖激響應(yīng)濾波器組(IIR)具有艦船地震波波形特征,且消除干擾能力強(qiáng)的5階Butterworth小波。

1 Butterworth小波設(shè)計(jì)原理

若設(shè)尺度函數(shù)和小波函數(shù)分別為φ(t)、φ(t),則二尺度差分方程為

式中:t為時(shí)間變量;i是從-～+的整數(shù);k為正整數(shù)。由二尺度差分方程可得線性組合的平滑逼近權(quán)重h0k和離散細(xì)節(jié)權(quán)重h1k分別為

h0k=<φ10(t),φ0k(t)>

(2)

h1k=<φ10(t),φ0k(t)>

(3)

從文獻(xiàn)[4]可知以上兩個(gè)權(quán)重序列分別為信號(hào)的平滑逼近和離散細(xì)節(jié)信號(hào)的濾波器,即離散平滑逼近

(4)

離散細(xì)節(jié)信號(hào)

(5)

根據(jù)小波函數(shù)和尺度函數(shù)的一些性質(zhì)[4],可以推導(dǎo)出由二尺度關(guān)系迭代出的尺度函數(shù)頻域表達(dá)式為

(6)

(7)

H(ω)是h(n)的頻域形式?？梢岳檬?6)和式(7)推導(dǎo)出尺度函數(shù)和小波函數(shù)解析形式的解,但在通常情況下無(wú)法求解,只能通過對(duì)h(n)作迭代數(shù)值卷積來(lái)求尺度函數(shù)φ(t),進(jìn)而通過φ(t)和φ(t)的聯(lián)系推導(dǎo)出相應(yīng)的φ(t)。

2 Butterworth小波的構(gòu)造

利用正交的IIR濾波器組對(duì)可能解的結(jié)構(gòu)進(jìn)行全面檢驗(yàn),提出新的設(shè)計(jì),在正交IIR濾波器組與小波聯(lián)系的基礎(chǔ)上,利用這些設(shè)計(jì)得到新的正交小波。Butterworth濾波器是常用的IIR濾波器,具有通帶內(nèi)最大平坦的幅頻特性,且隨著頻率升高呈單調(diào)減的趨勢(shì),而常見的尺度函數(shù)都具有低通的幅頻特性[5]。因此,利用上節(jié)所介紹的內(nèi)容,通過Butterworth濾波器構(gòu)造出具有艦船地震波波形特征的Butterworth小波。本文以5階濾波器為例進(jìn)行Butterworth小波設(shè)計(jì)。

所有正交有理雙通道濾波器組在已知R(z)的情況下都可以表示成以下形式。

(8)

式中,P(z)是有理式;R(z)是因果對(duì)稱的多項(xiàng)式。若R(z)的階次是奇數(shù)(既長(zhǎng)度為偶數(shù))且因果系數(shù)對(duì)稱,則將R(z)作奇偶分解,可表示為

R(z)=RE(z2)+z-1R0(z2)

(9)

式中RE(z2)和z-1R0(z2)分別是偶多項(xiàng)式和奇多項(xiàng)式。在因果且系數(shù)對(duì)稱的多項(xiàng)式中,可將偶次項(xiàng)系數(shù)組成的序列時(shí)序反轉(zhuǎn)再延遲N拍,便得奇次項(xiàng)序列,則可得

R(z)=RE(z2)+z-NRE(z-2)

(10)

將式(10)代入式(8)中可推導(dǎo)出

(11)

從文獻(xiàn)[6]可知

H0(z)=A0(z)H(z)

(12)

H1(z)=z2k-1H0(-z-1)A1(z2)

(13)

式中:H0(z)和H1(z)分別為尺度函數(shù)和小波函數(shù);H(z)是h(n)的Z變換形式;A0(z)和A1(z2)是任意全通系數(shù),只對(duì)所實(shí)現(xiàn)的濾波器的相位有影響。

式(8)中P(z)又可寫成

P(z)=H(z)H(z-1)

(14)

將式(12)代入式(14)可得

(15)

則當(dāng)k=0,A0(z)=A1(z)=1時(shí),由式(11)和式(15)恒等可得

(16)

H1(z)=z-1H0(-z-1)

(17)

根據(jù)正規(guī)性要求,設(shè)計(jì)的濾波器應(yīng)在z=-1處有高階零點(diǎn),則有

R(z)=(1+z-1)N

(18)

當(dāng)N=5時(shí),將式(18)代入到式(16)中,可得

(19)

將式(19)代入式(17)可得

(20)

通過對(duì)式(19)分解可得

同理分解式(20)可得

圖1 Butterworth小波尺度函數(shù)波形圖及頻譜圖

圖2 Butterworth小波小波函數(shù)波形圖及頻譜圖

3 艦船地震波提取實(shí)驗(yàn)

3.1 采集艦船地震波數(shù)據(jù)

利用500斤重4cm厚的鋼板模擬艦船,當(dāng)120斤重的鐵錘敲擊鐵板激發(fā)地震波時(shí),通過連接水下振動(dòng)傳感器的采集系統(tǒng)采集數(shù)據(jù),地震波采集實(shí)驗(yàn)器材如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)器材

當(dāng)幅值的測(cè)量范圍為-5～5v,采樣頻率為2048Hz時(shí),利用上述實(shí)驗(yàn)器材所采集到的原始地震波數(shù)據(jù)波形圖及頻譜圖如圖3所示。

因?yàn)槊娌ǖ闹饕芰考性?0Hz到80Hz之間[2],觀察圖3b可知,本實(shí)驗(yàn)采集的數(shù)據(jù)包含艦船地震波信號(hào),且有效艦船地震波的頻率范圍為0～50Hz。

圖3 原始地震波數(shù)據(jù)波形圖及頻譜圖

3.2 Daubechies系列小波的艦船地震波提取

Daubechies系列小波是緊支撐正交小波,具有較好的正則性,與構(gòu)造的Butterworth小波性質(zhì)比較相似。由于原始地震波數(shù)據(jù)的采樣頻率為2048Hz,且本實(shí)驗(yàn)有效艦船地震波頻率范圍為0～50Hz,為獲得全面且有效的信號(hào),本文選用與所構(gòu)造的Butterworth小波同階的db5小波對(duì)原始地震波數(shù)據(jù)進(jìn)行七層小波分解,db5小波七層濾波低頻部分的結(jié)果如圖4所示。

圖4 db5小波七層濾波低頻部分處理結(jié)果

觀察db5小波七層濾波低頻部分的結(jié)果可知,只有第五層、第六層和第七層的濾波結(jié)果范圍為0～50Hz。對(duì)比圖4f和圖4g可知,隨著分解層數(shù)的增加頻譜分布越雜亂,干擾波與艦船地震波區(qū)分度越低;在圖4e中經(jīng)放大的時(shí)域圖可觀察到艦船地震波波形,且主要頻率集中在14.15Hz處。

3.3 Butterworth小波的艦船地震波提取

從3.2節(jié)分析中可得,本實(shí)驗(yàn)的小波分解層數(shù)應(yīng)為七層,因此本節(jié)利用所構(gòu)造的Butterworth小波對(duì)原始地震波數(shù)據(jù)進(jìn)行七層小波分解,構(gòu)造的Butterworth小波七層濾波低頻部分的結(jié)果如圖5所示。

觀察所構(gòu)造的Butterworth小波七層濾波低頻部分的結(jié)果可知,只有第五層、第六層和第七層頻率為0～50Hz。對(duì)比圖5e和圖5g,可觀察到頻率主要集中在14.15Hz和2.148Hz處,且圖5e中的信號(hào)濾波時(shí)消除高頻干擾效果弱;在圖5f的時(shí)域圖中也可觀察到艦船地震波波形,但頻譜雜亂,干擾波和艦船地震波區(qū)分度低。

圖5 Butterworth小波七層濾波低頻部分處理結(jié)果

4 識(shí)別艦船地震波

為識(shí)別出濾波后信號(hào)中包含的有效艦船地震波信號(hào),建立雷克子波的數(shù)學(xué)模型,雷克子波模擬瞬態(tài)脈沖式震源表達(dá)式為

F1(t)=A[1-2(πf)2(t-t0)2]e-(πf)2(t-t0)2

式中:A是幅值;f是主頻;t是時(shí)間長(zhǎng)度。當(dāng)A=1、f=15Hz、t=100時(shí),雷克子波數(shù)學(xué)模型如圖6所示。

圖6 雷克子波數(shù)學(xué)模型

互相關(guān)表示實(shí)際輸出信號(hào)和理想輸出信號(hào)的相似程度,即描述隨機(jī)信號(hào)x(t)、y(t)在任意兩個(gè)不同時(shí)刻t1、t2之間的相似程度[7]。因此將雷克子波數(shù)學(xué)模型作為x(t),濾波后信號(hào)作為y(t)。對(duì)比3.2節(jié)與3.3節(jié)的處理結(jié)果,可觀察到兩個(gè)小波第五層處理結(jié)果的頻率都主要集中在14.15Hz處,且時(shí)域圖波形特征非常相似。為避免選取的濾波層數(shù)不同對(duì)互相關(guān)運(yùn)算結(jié)果的影響,選用Butterworth小波和db5小波第五層的結(jié)果作為y(t),將x(t)與y(t)做互相關(guān)運(yùn)算,觀察是否有最大值點(diǎn)。

Butterworth小波第五層濾波與雷克子波數(shù)學(xué)模型的互相關(guān)結(jié)果如圖7所示,在第687個(gè)離散點(diǎn)時(shí)有互相關(guān)最大值,說(shuō)明經(jīng)過Butterworth小波處理后的信號(hào)中包含有效的艦船地震波信號(hào)。

圖7 Butterworth小波第五層濾波與雷克子波互相關(guān)結(jié)果

db5小波第五層濾波與雷克子波數(shù)學(xué)模型互相關(guān)的結(jié)果如圖8所示。

圖8 db5小波第五層濾波與雷克子波互相關(guān)結(jié)果

由圖8可以看出,在第691個(gè)離散點(diǎn)處有互相關(guān)最大值,說(shuō)明經(jīng)過db5小波處理后的信號(hào)中也包含有效的艦船地震波信號(hào);但除了第691個(gè)離散點(diǎn)外,還有兩個(gè)與雷克子波數(shù)學(xué)模型存在較高相關(guān)程度的點(diǎn)。

5 結(jié)論

(1)在滿足有效艦船地震波頻率范圍的情況下,所構(gòu)造的Butterworth小波可將原始地震波數(shù)據(jù)分層的頻率范圍降到10Hz以內(nèi),且可清晰觀察到頻率主要集中在2.148Hz處;db5小波只有當(dāng)分層的頻率在35Hz以內(nèi)時(shí),可清晰觀察到頻率主要集中在14.15Hz處,由此可得具有艦船地震波波形特征的Butterworth小波消除高頻干擾能力強(qiáng)。

(2)從雷克子波數(shù)學(xué)模型分別與Daubechies系列小波和所構(gòu)造的Butterworth小波濾波結(jié)果進(jìn)行互相關(guān)后的對(duì)比分析中可知,兩者的濾波結(jié)果中都包含有效艦船地震波信號(hào),但Daubechies系列小波的濾波結(jié)果中存在兩個(gè)與雷克子波數(shù)學(xué)模型具有較高相關(guān)程度的非雷克子波信號(hào),故具有艦船地震波波形特征的Butterworth小波識(shí)別艦船地震波準(zhǔn)確性高。