張思進(jìn)， 王緊業(yè)， 文桂林

(1. 湖南大學(xué) 機(jī)械與運(yùn)載工程學(xué)院，長(zhǎng)沙 410082； 2. 湖南大學(xué) 汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙 410082)

機(jī)械系統(tǒng)中兩組件之間由于各種因素不可避免的存在著間隙和約束，這類(lèi)系統(tǒng)被稱(chēng)為非光滑動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)。這類(lèi)系統(tǒng)的全局分岔和混沌行為是近年來(lái)非光滑動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域重要的研究課題。這方面的工作可以在文獻(xiàn)[1-3]中找到。

早期的研究中，學(xué)者們側(cè)重于局部分析的方法來(lái)研究二自由度碰振系統(tǒng)。Amano等[4]采用Poincaré映射方法分析了兩質(zhì)量塊碰撞周期1運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性；Han[5]著重考慮了由彈簧擺和質(zhì)量-彈簧振子組成的碰振系統(tǒng)，研究了在無(wú)切向摩檫力條件下的周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。對(duì)于二自由度碰振系統(tǒng)，碰撞面往往具有不確定性，Li等[6]將絕對(duì)坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為相對(duì)坐標(biāo)，應(yīng)用改進(jìn)后的李亞譜若夫方法研究了兩自由度碰振系統(tǒng)。

近年來(lái)，不少學(xué)者開(kāi)始應(yīng)用Melnikov方法來(lái)研究低維碰振系統(tǒng)的同宿軌道、亞諧周期運(yùn)動(dòng)以及分岔混沌等動(dòng)力學(xué)特性。Shaw等[7]首先將Melnikov方法用于一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)械系統(tǒng)分析其亞諧運(yùn)動(dòng)和混沌特性；Du等[8]應(yīng)用Melnikov方法分析了非線性碰振振子的同宿分岔；Xu等[9]對(duì)碰振振子的研究也取得了相似的結(jié)果。Liang等[10]研究了一類(lèi)分段光滑系統(tǒng)并給出了廣義雙同宿分岔的條件。有關(guān)更多非線性碰振系統(tǒng)的Melnikov方法參見(jiàn)文獻(xiàn)[11-13]。

本文運(yùn)用攝動(dòng)分析和Poincaré映射方法推導(dǎo)了二自由度準(zhǔn)哈密頓碰振振子系統(tǒng)的局部亞諧Melikov函數(shù)。此函數(shù)用于確定周期運(yùn)動(dòng)和非周期運(yùn)動(dòng)的參數(shù)區(qū)域以及極限環(huán)分岔?xiàng)l件，并通過(guò)數(shù)值模擬驗(yàn)證了該函數(shù)的正確性。

1 模型系統(tǒng)描述

這里考慮一般的兩質(zhì)量塊非線性碰振振子如圖1，當(dāng)x1-x2<δ時(shí)， 兩質(zhì)量塊碰撞前的控制方程表示如下：

(1)

圖1 碰撞振動(dòng)系統(tǒng)模型Fig.1 Schematic diagram of the vibro-impact system

假設(shè)碰撞過(guò)程時(shí)間非常短暫，可以忽略碰撞瞬間兩質(zhì)量塊的位移改變。所以，當(dāng)x1-x2=δ時(shí)兩質(zhì)量塊碰撞，由于碰撞過(guò)程中動(dòng)量及機(jī)械能守恒，有：

(2)

方程式(1)和式(2)可以改寫(xiě)為如下形式：

(3)

當(dāng)ε=0時(shí)，擾動(dòng)方程(3)可以表示為：

(4)

為了研究在外部激勵(lì)和黏性阻尼作用下的雙質(zhì)量塊非線性碰振系統(tǒng)(1)亞諧周期運(yùn)動(dòng)的存在性，我們通過(guò)分析和計(jì)算得到了一階亞諧Melnikov函數(shù)的表達(dá)式。

2 碰振哈密頓系統(tǒng)亞諧共振的Melnikov函數(shù)

對(duì)于方程(4)描述的未擾系統(tǒng)碰撞過(guò)程比較復(fù)雜，這里我們便于分析認(rèn)為兩質(zhì)量塊碰撞面是固定的。引入以下假設(shè)：

(3) 共振關(guān)系應(yīng)該滿(mǎn)足以下條件

(5)

這里Mj和nj(j=1,2)是互質(zhì)整數(shù)。

由于方程(1)中的兩個(gè)表達(dá)式類(lèi)似，這里我們僅分析前一個(gè)方程的擾動(dòng)軌道，可以用相同的方法分析第二個(gè)方程。當(dāng)x1-x2小于δ時(shí)， 擾動(dòng)軌道Xε(t,t0)是光滑的，因此可以將其展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的形式，如下：

Xε(t,t0,ε)=Xα(t-t0)+εX1(t,t0)+O(ε2)

(6)

為了便于分析，定義以下算子：

Δ(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧Xε(t,t0)

(7)

Δ0(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧Xε(t-t0)

(8)

Δ1(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧X1(t-t0)

(9)

光滑條件下，我們可以得到：

Δ1(t,t0)=F(Xα(t-t0))∧H(Xα(t-t0),t)

(10)

這里∧表示楔形算子。

圖2 擾動(dòng)系統(tǒng)的局部次諧軌道示意圖Fig.2 Sketch of a local-subharmonic orbit of the perturbed system

(11)

由文獻(xiàn)[14-15]可知，局部亞諧軌道的一階Melnikov函數(shù)可以定義為：

Mm(t0)=Δ1(t0+mT,t0)-Δ1(t0,t0)

(12)

接下來(lái)，重新整理方程(12)可以得：

(13)

采用和文獻(xiàn)[16]類(lèi)似的方法，將方程(9)對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，得：

dΔ1(t,t0)/dt=DH(Xα(t-t0))×
G(Xα(t-t0),t)

(14)

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)，得

(17)

(18)

(19)

注意到未擾軌道是封閉的，所以

(20)

(21)

(22)

前面分析兩質(zhì)量塊未發(fā)生碰振時(shí)，質(zhì)量塊m1的亞諧運(yùn)動(dòng)軌道(碰撞面左邊部分)，同樣的方法可以得到質(zhì)量塊m2的亞諧運(yùn)動(dòng)，這里就不再詳細(xì)介紹。

下面我們重點(diǎn)介紹兩質(zhì)量塊發(fā)生碰撞時(shí)，一階亞諧Melnikov函數(shù)的推導(dǎo)過(guò)程。此處將質(zhì)量塊m2的軌道考慮在內(nèi)，根據(jù)碰撞法則兩質(zhì)量塊應(yīng)在同一時(shí)刻到達(dá)碰撞面處。因此對(duì)于兩質(zhì)量塊的擾動(dòng)和未擾動(dòng)軌道，下列關(guān)系式顯然成立：

(23)

(24)

(25)

將式(22)～式(25)代入式(21)并結(jié)合式(16)，可知：

(26)

又因?yàn)椋?/p>

(27)

方程式(26)可以重新整理得

(28)

由方程式(13)、式(17)、式(18)和式(28)，可以推導(dǎo)出一階亞諧Melnikov函數(shù)表達(dá)式，如下：

(29)

(30)

變換積分時(shí)間t→t+t0， 那么方程式可以改寫(xiě)為：

(31)

3 亞諧Melnikov函數(shù)的應(yīng)用

3.1 準(zhǔn)哈密頓系統(tǒng)模型

(32)

x1-x2=δ時(shí)發(fā)生碰撞，根據(jù)碰撞定理兩質(zhì)量塊的速度關(guān)系可以表示如下：

(33)

(34)

(35)

3.2 準(zhǔn)哈密頓亞諧軌道分析

本章節(jié)我們分析兩質(zhì)量塊發(fā)生碰撞的情況，那么方程(32)可以寫(xiě)成如下形式：

(36)

(37)

當(dāng)ε=0時(shí)， 未擾系統(tǒng)式(36)和式(37)為Hamilton系統(tǒng)，其哈密頓作用量為：

(38)

(39)

未擾系統(tǒng)式(36)、式(37)周期軌道參數(shù)方程為：

(40)

(41)

式中：dn(·),cn(·),sn(·)均為橢圓函數(shù)。

如果未擾系統(tǒng)沒(méi)有發(fā)生碰撞，那么同宿軌道的周期可以表示為

(42)

式中：k是橢圓模量；K(k)是第一類(lèi)完全橢圓積分。

然而，碰撞會(huì)導(dǎo)致周期軌道破裂，碰撞后的軌道周期為

T(k)=T0(k)-ΔTk

(43)

式中： 2ΔTk是完整軌道在切換面右側(cè)的穿越時(shí)間，它可以由接觸條件來(lái)確定：

(44)

接下來(lái)， 考慮1∶1的內(nèi)共振情況。 假設(shè)ω1=ω2=ω那么m1/n1=1,m2/n2=1， 故可得：

T(k)=T

(45)

將式(42)、(43)代入式(45)，可知：

(46)

將式(40)代入式(29)，得：

M(t0)=-bfcosΩt0-2cr0-dμ1

(47)

根據(jù)亞諧Melnikov理論，如果擾動(dòng)系統(tǒng)式(36)存在亞諧軌道，那么M(t0)存在簡(jiǎn)單零點(diǎn)，因此可得周期為T(mén)的局部亞諧軌道的必要條件：

|b|f-2|c|r0-|d|μ1≥0

(48)

將Ω=1,δ=2,μ1=1代入到式(47)，可得：

1.817 37f-0.8r0-4.690 66≥0

(49)

3.3 數(shù)值仿真

方程式(49)確定的臨界線將參數(shù)(r0,f)分為上下兩個(gè)部分：臨界線上方區(qū)域是周期性的，臨界線以下的區(qū)域呈現(xiàn)出非周期的特性。為了驗(yàn)證前面的理論分析，這里取從點(diǎn)1到點(diǎn)5(如圖3)五個(gè)不同的系統(tǒng)參數(shù)來(lái)模擬二自由度碰振系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)和非周期運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

下面圖4～7是五個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)仿真相圖，細(xì)實(shí)線與粗實(shí)線分別代表質(zhì)量塊m1和質(zhì)量塊m2的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。當(dāng)取值位于臨界線下方時(shí)，系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)混沌狀態(tài)。

圖3 局部亞諧軌道參數(shù)區(qū)域Fig.3 Local subharmonic parametric region

圖4 單碰周期1運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)1取值)Fig.4 The single impact period-1 motion of the vibro-impact system (the value of point 1)

圖5 單碰周期2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖和相圖(點(diǎn)3取值)Fig.5 Phase portrait of the single impact period-2 motions for the vibro-impact system (the value of point 3)

圖6 雙碰周期2運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程圖和相圖(點(diǎn)4取值)Fig.6 Phase portrait of the double impacts period-2 motions for the vibro-impact system (the value of point 4)

圖7 混沌運(yùn)動(dòng)的相圖Fig.7 The phase portrait of chaotic motion of the vibro-impact system

由上面仿真相圖分析可知， 令f=f1=f2=3， 其他參數(shù)κ1=0.1,κ2=0.2,εr=0.5,μ1=0.01,μ2=0.01,ω1=2,ω2=2時(shí)，圖4(點(diǎn)1取值)表明碰撞系統(tǒng)存在單碰周期1運(yùn)動(dòng)； 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)f的值增加到6的過(guò)程中周期運(yùn)動(dòng)消失，隨后出現(xiàn)了混沌運(yùn)動(dòng)的情況相應(yīng)的相圖如圖7(a)(點(diǎn)2取值)所示。然而與圖7(a)相比，保持f=6不變，εr從0.5增加到0.85的過(guò)程中系統(tǒng)又從混沌運(yùn)動(dòng)的狀態(tài)變化為了單碰周期2運(yùn)動(dòng)如圖5(點(diǎn)3取值)。

此外， 當(dāng)f1=f2=6,εr=0.75,ω1=4,ω2=4其余的參數(shù)保持不變時(shí)，圖6(點(diǎn)4取值)表明碰振系統(tǒng)發(fā)生了雙碰周期2運(yùn)動(dòng)。 類(lèi)似地， 當(dāng)參數(shù)f的值從6增加到10時(shí)，雙碰周期2運(yùn)動(dòng)消失混沌運(yùn)動(dòng)狀態(tài)再次出現(xiàn)，相應(yīng)的圖如圖7(b)(點(diǎn)5取值)。這些數(shù)值模擬結(jié)論從而更好的驗(yàn)證了前面一階Melnikov函數(shù)理論分析的正確性。

4 結(jié) 論

本文應(yīng)用改進(jìn)后的局部亞諧Melnikov方法來(lái)研究具有立方項(xiàng)和外部激勵(lì)的二自由度非線性準(zhǔn)哈密頓碰撞系統(tǒng)，此方法可以用于確定非線性碰振系統(tǒng)亞諧軌道的存在性。

(1) 推導(dǎo)得到的亞諧Melnikov函數(shù)將系統(tǒng)的參數(shù)區(qū)域分為周期區(qū)域和非周期區(qū)域兩個(gè)部分。

(2) 系統(tǒng)以頻率ω等為分岔參數(shù)，數(shù)值仿真得到了碰撞系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，由單碰周期1運(yùn)動(dòng)、單碰周期2運(yùn)動(dòng)、雙碰周期2運(yùn)動(dòng)，然后進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)。也驗(yàn)證了Melnikov方法分析二自由度碰振系統(tǒng)亞諧運(yùn)動(dòng)的有效性。

(3) 適當(dāng)控制阻尼系數(shù)μ及力f的取值，盡可能避免系統(tǒng)出現(xiàn)多周期和復(fù)雜的混沌運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，為此類(lèi)碰振系統(tǒng)的研究提供理論依據(jù)。

[ 1 ] DE SOUZA S L T, CALDAS I L. Calculation of Lyapunov exponents in systems with impacts [J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2004, 19(3): 569-579.

[ 2 ] JI J C. Dynamics of a piecewise linear system subjected to a saturation constraint [J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 271(3/4/5): 905-920.

[ 3 ] GRANADOS A, HOGAN S J, SEARA T M. The melnikov method and subharmonic orbits in a piecewise-smooth system [J]. Journal of Applied Dynamical Systems, 2012(11): 801-830.

[ 4 ] AMANO H, ASAHARA H, KOUSAKA T. A stability analysis method for period-1 solution in two-mass impact oscillator [C]//Nonlinear Dynamics of Electronic Systems: 22nd International Conference, NDES 2014, Albena, Bulgaria, July 4-6, 2014. Proceedings. Springer, 2014, 438: 37.

[ 5 ] HAN W, JIN D P, HU H Y. Dynamics of an oblique-impact vibrating system of two degrees of freedom [J]. Journal of Sound and Vibration, 2004, 275(3/4/5): 795-822.

[ 6 ] LI Q, CHEN Y, WEI Y, et al. The analysis of the spectrum of Lyapunov exponents in a two-degree-of-freedom vibro-impact system [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 2011, 46(1): 197-203.

[ 7 ] SHAW S W, RAND R H. The transition to chaos in a simple mechanical system [J]. International Journal of Non-Linear Mechanics, 1989, 24(1): 41-56.

[ 8 ] DU Z, ZHANG W. Melnikov method for homoclinic bifurcation in nonlinear impact oscillators [J]. Comput. Math. Appl., 2009(50): 445-458.

[ 9 ] XU W, FENG J, RONG H. Melnikov’s method for a general nonlinear vibro-impact oscillator [J]. Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 2009, 71(1/2): 418-426.

[10] LIANG F, HAN M. Limit cycles near generalized homoclinic and double homoclinic loops in piecewise smooth systems [J]. Chaos, Solitons & Fractals, 2012, 45(4): 454-464.

[11] 林路嬋,趙曉華.一類(lèi)2個(gè)自由度Hamilton系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)[J]. 浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2011(1): 35-41.

LIN Luchan, ZHAO Xiaohua. Dynamic behaviors for a class of Hamiltonian system with two degree of freedom [J]. Journal of Zhejiang Normal University, 2011(1): 35-41.

[12] 朱錦文. 兩自由度參數(shù)激勵(lì)系統(tǒng)的全局分岔分析[J]. 石家莊鐵道大學(xué)學(xué)報(bào),2013(增刊1): 167-170.

ZHU Jinwen. Analysis of the global bifurcation for parametric excitation systems with two-degree of freedom [J]. Journal of ShiJiazhuang Tiedao University, 2013(Sup1): 167-170.

[13] SUN M, ZHANG W, CHEN J E, et al. Subharmonic Melnikov method of four-dimensional non-autonomous systems and application to a rectangular thin plate [J]. Nonlinear Dynamics, 2015, 82(1/2): 643-662.

[14] 張思進(jìn)，文桂林，王緊業(yè),等. 碰振準(zhǔn)哈密頓系統(tǒng)局部亞諧軌道的Melnikov方法[J]. 振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2016, 29(2): 214-219.

ZHANG Sijin, WEN Guilin, WANG Jinye, et al. The Melnikov’s method for local-subharmonic orbits of a vibro-impact quasi-Hamiltonian system [J]. Journal of Vibration Engineering, 2016,29(2): 214-219.

[15] ZHANG S, JI D, WEN G, et al. Analysis of global subharmonic orbits of a vibro-impact quasi-hamiltonian system with the melnikov’s Method [J]. Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series B: Applications & Algorithms, 2015, 22(1): 69-84.

[16] WIGGINS S. Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos [M]. New York, Spring-Verlag, 1990.