許文捷

摘 要：三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)部分，三角函數(shù)的最值問(wèn)題更是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題?；诖?，筆者從三角函數(shù)的概念入手，分析了三角函數(shù)最值問(wèn)題的解決方法，在具體例題的基礎(chǔ)上，介紹了利用三角函數(shù)單調(diào)性、三角函數(shù)的性質(zhì)、均值定理以及數(shù)形結(jié)合思想解決最值問(wèn)題的方法，希望通過(guò)此次研究提升三角函數(shù)最值問(wèn)題的解題能力并為其他學(xué)生提供借鑒。

關(guān)鍵詞：三角函數(shù)；均值定理；數(shù)形結(jié)合

三角函數(shù)的最值問(wèn)題是綜合性較強(qiáng)的題目，是對(duì)我們關(guān)于三角函數(shù)概念、圖形、性質(zhì)以及相關(guān)公式等內(nèi)容的全方位考察，更會(huì)凸顯出數(shù)學(xué)中的函數(shù)思想。三角函數(shù)最值問(wèn)題在高考中出現(xiàn)的概率也比較高，我們需要認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)的重要性，積極突破三角函數(shù)學(xué)習(xí)的難點(diǎn)，從而在高考中取得較好的數(shù)學(xué)成績(jī)。

一、三角函數(shù)的概念

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，由于三角函數(shù)中涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，因此許多學(xué)生在進(jìn)行三角函數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中耗費(fèi)了大量的時(shí)間，是我們學(xué)習(xí)過(guò)程中的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。三角函數(shù)要求我們具有較強(qiáng)的邏輯思維能力以及知識(shí)的靈活應(yīng)用能力，因此在考試過(guò)程中，三角函數(shù)成為考試的重點(diǎn)考察內(nèi)容。另外，三角函數(shù)表達(dá)的意義較為抽象，因此學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中常常因?yàn)闆](méi)有對(duì)題目進(jìn)行深入理解導(dǎo)致最終的學(xué)習(xí)質(zhì)量下降，針對(duì)這種情況，我們應(yīng)在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中注意總結(jié)方法，在扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，在教師引導(dǎo)下積極進(jìn)行有針對(duì)性的做題訓(xùn)練。在此過(guò)程中，不斷加深對(duì)三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)三角函數(shù)學(xué)習(xí)自信心。通過(guò)采用有效的訓(xùn)練方法，逐步提高三角函數(shù)最值問(wèn)題的解題能力[1]。

二、三角函數(shù)最值問(wèn)題的解決方法

（一）利用三角函數(shù)的單調(diào)性解決最值問(wèn)題

在利用單調(diào)性解決最值問(wèn)題的過(guò)程中，主要通過(guò)以下兩種方式進(jìn)行：第一種為利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，二次函數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)階段的重點(diǎn)內(nèi)容，二次函數(shù)圖形中具有明顯的數(shù)值變化，同時(shí)二次函數(shù)具有最大值、最小值以及明顯的單調(diào)性，加上二次函數(shù)的難度較小，所以我們可以利用二次函數(shù)解決三角函數(shù)中的最值問(wèn)題。例如：函數(shù)中含有兩個(gè)變量，在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，為了保證二次函數(shù)的應(yīng)用質(zhì)量，需要將其中的變量進(jìn)行消除，使其成為一個(gè)變量，最終以一元方程的形式呈現(xiàn)出來(lái)。

第二種為利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解，導(dǎo)數(shù)是人們研究三角函數(shù)中的一項(xiàng)重要工具，導(dǎo)數(shù)能夠利用其特殊性質(zhì)將函數(shù)的單調(diào)性以及變化規(guī)律顯示出來(lái)，在解決三角函數(shù)最值問(wèn)題的過(guò)程中具有較高的應(yīng)用價(jià)值。在應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決三角函數(shù)最值問(wèn)題的過(guò)程中，首先要將題目中具有價(jià)值的信息提取出來(lái)，找到其相對(duì)應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)。其次，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)確定三角函數(shù)的單調(diào)性，并將題目中的數(shù)值進(jìn)行帶入。最后，根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)性的分析結(jié)果對(duì)三角函數(shù)中的最值判斷以及計(jì)算[2]。

（二）利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決最值問(wèn)題

對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行應(yīng)用能夠?qū)θ呛瘮?shù)的最值問(wèn)題進(jìn)行有效解決，例如：正弦函數(shù)是函數(shù)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，正弦函數(shù)具有一定的界限性以及明顯的單調(diào)性，能夠?qū)θ呛瘮?shù)中的數(shù)值進(jìn)行明確的區(qū)域劃分，降低三角函數(shù)最值問(wèn)題的解決難度。例如：在應(yīng)用正弦函數(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程中，由于正弦函數(shù)具有一定的界限性，所以函數(shù)中的變量必須要在正弦函數(shù)變量的范圍之內(nèi)，利用sin2α+cos2α=1這一規(guī)律解決三角函數(shù)的最值問(wèn)題。在選擇正弦函數(shù)解決問(wèn)題的過(guò)程中，必須注意以下問(wèn)題，第一、將原變量向三角函數(shù)進(jìn)行轉(zhuǎn)化；第二、對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行整理和變形；第三、利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最值的數(shù)值。

（三）利用均值定理解決最值問(wèn)題

均值定理能夠通過(guò)建立積與和之間不等關(guān)系的方式解決三角函數(shù)的最值問(wèn)題，其中“和定求積”以及“積定求和”是其主要的應(yīng)用原理，由此可以看出均值定理的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。在利用均值定理解決問(wèn)題的過(guò)程中需要注意以下問(wèn)題：第一、三角函數(shù)中的變量必須為正數(shù)；第二、三角函數(shù)各個(gè)變量之間必須要滿足一定的定量關(guān)系，在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中必須要滿足以上兩個(gè)條件才能應(yīng)用均值定理解決問(wèn)題。如果在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中忽略了以上兩點(diǎn)，不僅會(huì)增加解題難度，同時(shí)還會(huì)影響最終的解題質(zhì)量。

（四）利用數(shù)形結(jié)合解決最值問(wèn)題

作為高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容，數(shù)形結(jié)合主要是利用“以形助數(shù)”的思想，應(yīng)用數(shù)學(xué)圖形的直觀性解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決三角函數(shù)最值問(wèn)題，可以根據(jù)目標(biāo)函數(shù)具備的幾何意義，使三角函數(shù)更為具體化與直觀化，從而使我們更為簡(jiǎn)單地找到三角函數(shù)最值。比如下面一道例題：求y=的最大值和最小值。y=可以看做是定點(diǎn)（2，2）和動(dòng)點(diǎn)（sinx，cosx）連線的斜率，已知?jiǎng)狱c(diǎn)（sinx，cosx）在單位圓sinn2α+cos2α=1上，所以可將三角函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)槎c(diǎn)（2，2）和單位圓上某點(diǎn)之間連線斜率的最值問(wèn)題。根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想可知，直線和圓相切的時(shí)候即可得出最值。所以，三角函數(shù)y=的最大值ymax=；最小值ymin=。由此可以看出，在解答三角函數(shù)最值問(wèn)題的時(shí)候，我們可以根據(jù)函數(shù)的特點(diǎn)，將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)閳D形問(wèn)題，通過(guò)圖形的幾何意義解答最值問(wèn)題。

綜上所述，三角函數(shù)的最值問(wèn)題綜合性較強(qiáng)，對(duì)我們邏輯思維能力和知識(shí)應(yīng)用能力提出了一定的要求。通過(guò)對(duì)三角函數(shù)最值問(wèn)題的分析可知，我們?cè)诮獯鹑呛瘮?shù)最值問(wèn)題時(shí)，要熟練運(yùn)用各種解題方法，全面地掌握各種解題方法的適用性和使用條件，從而提高三角函數(shù)最值問(wèn)題解題效率和準(zhǔn)確率，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成績(jī)。本文的探究仍舊存在不足之處，僅供參考。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹廣明，劉成.三角函數(shù)中的最值問(wèn)題求解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2017（11）：48-50.

[2]楊竣皓.求解三角函數(shù)最值問(wèn)題的常見(jiàn)方法[J].語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí)（高中版中旬），2017（03）：42.endprint