尤晶晶 符周舟 吳洪濤 李成剛 周 為

(1.南京林業(yè)大學(xué)機(jī)械電子工程學(xué)院， 南京 210037； 2.南京林業(yè)大學(xué)汽車與交通工程學(xué)院， 南京 210037；3.南京航空航天大學(xué)機(jī)電學(xué)院， 南京 210016； 4.江蘇省精密與微細(xì)制造技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210016)

引言

1965年，英國工程師STEWART[1]在進(jìn)行飛行模擬器的研究中首次提出一種含6條相同支鏈的并聯(lián)機(jī)構(gòu)。與串聯(lián)機(jī)構(gòu)相比，并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)緊湊、輸出精度高、動(dòng)態(tài)特性好、承載能力強(qiáng)等特點(diǎn)[2]，這些優(yōu)點(diǎn)使其能夠適用于光學(xué)望遠(yuǎn)鏡中主鏡和副鏡的位姿調(diào)整[3]、主從遙操作中手控器的驅(qū)動(dòng)[4]、精密儀器中六維振動(dòng)的傳感[5]及隔離[6]等場(chǎng)合。然而，在實(shí)際應(yīng)用中，六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的實(shí)時(shí)反饋控制一般很難實(shí)現(xiàn)，這限制了執(zhí)行器的工作精度和效率，嚴(yán)重影響了進(jìn)一步的推廣應(yīng)用。究其原因，由于多輸入、多輸出量的強(qiáng)耦合性，六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問題[7]最終歸結(jié)為多元非線性方程組的求解，這個(gè)過程極其復(fù)雜，是繼空間6R串聯(lián)機(jī)器人位移分析完成后的又一機(jī)構(gòu)學(xué)難題。

Stewart機(jī)構(gòu)是六自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)中最基本的構(gòu)型[8]，主要包括平臺(tái)型和臺(tái)體型兩大類，它們的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)問題引起了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注。從研究方法上看，主要有數(shù)值法和解析法兩種。數(shù)值法的優(yōu)點(diǎn)是省去了對(duì)約束方程的繁瑣的消元處理過程，直接運(yùn)用Newton-Raphson等數(shù)值逼近的思路[9-11]求解非線性方程組；然而，這種方法不能得到全部解，且初值選取及搜索算法對(duì)收斂性、效率、精度的影響較大，同時(shí)不利于速度、加速度的分析。因此，目前以解析法為主。文獻(xiàn)[12]針對(duì)6-6平臺(tái)型Stewart機(jī)構(gòu)，運(yùn)用分次字典序Groebner基法消元，得到一元20次方程；文獻(xiàn)[13]針對(duì)6-3平臺(tái)型Stewart機(jī)構(gòu)，運(yùn)用正交補(bǔ)法消元并舍棄系數(shù)較小的高次項(xiàng)，得到一元8次方程；文獻(xiàn)[14]針對(duì)6-6臺(tái)體型Stewart機(jī)構(gòu)，運(yùn)用共形幾何代數(shù)建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，并運(yùn)用Grobner基法消元，得到一元40次方程；文獻(xiàn)[15]針對(duì)6-4臺(tái)體型Stewart機(jī)構(gòu)，構(gòu)造10階Sylvester結(jié)式，得到一元32次方程；文獻(xiàn)[16]針對(duì)5-5臺(tái)體型Stewart機(jī)構(gòu)，構(gòu)造8階Dixon結(jié)式，得到一元40次方程。以上算法的基本思路是一致的，即通過各種消元法，將多元非線性方程組轉(zhuǎn)換成僅含單變量的一元高次方程。然而，獲得的高次方程仍需要通過數(shù)值法求解，并沒有實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的全解析化，依然存在計(jì)算耗時(shí)及失根等問題。

文獻(xiàn)[17]研究發(fā)現(xiàn)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解難易性與機(jī)構(gòu)的耦合度指標(biāo)有關(guān)，并指出，耦合度越低則正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的解算越簡(jiǎn)單，且通過綜合低耦合度的拓?fù)錁?gòu)型可能會(huì)得到其全解析解。文獻(xiàn)[18]設(shè)計(jì)了一種零耦合度的9-3臺(tái)體型Stewart冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，運(yùn)用“三點(diǎn)法”推導(dǎo)出了正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的全解析解。然而，該機(jī)構(gòu)中存在3個(gè)三重復(fù)合球面副，故面臨制造、裝配等難題。本文在此基礎(chǔ)上，提出一種不含三重復(fù)合球面副的12-6臺(tái)體型Stewart冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)，首先，運(yùn)用方位特征集理論計(jì)算基本運(yùn)動(dòng)鏈(Basic kinematic chain, BKC)及機(jī)構(gòu)的耦合度；接著，在慣性系內(nèi)推導(dǎo)并聯(lián)機(jī)構(gòu)正向運(yùn)動(dòng)學(xué)的全解析解，并對(duì)機(jī)構(gòu)位姿求解的相容性條件以及角速度求解時(shí)可能出現(xiàn)的特殊情況進(jìn)行分析；最后，通過虛擬實(shí)驗(yàn)對(duì)正解算法的正確性和實(shí)時(shí)性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 拓?fù)錁?gòu)型分析

圖2 12-6臺(tái)體型Stewart冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)拓?fù)錁?gòu)型Fig.2 Topological configuration of general 12-6 Stewart redundant parallel mechanism

12-6臺(tái)體型Stewart冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)模型及拓?fù)錁?gòu)型分別如圖1、2所示。該機(jī)構(gòu)由1個(gè)動(dòng)平臺(tái)、1個(gè)靜平臺(tái)以及6個(gè)完全相同的混合單開鏈支路(記為HSOC支路)構(gòu)成。其中，HSOC支路是在傳統(tǒng)“3S-2P”[19]空間五桿回路的頂端球面副上再串聯(lián)連接1個(gè)同心的球面副形成的，6個(gè)二重復(fù)合球面副分別固結(jié)在立方體狀動(dòng)平臺(tái)的6條棱邊的中點(diǎn)。初始狀態(tài)下，所有支鏈的長度相等，動(dòng)平臺(tái)位于靜平臺(tái)的幾何中心處，其6個(gè)面分別與靜平臺(tái)的6個(gè)面平行。圖2中，實(shí)心圓圈Bi、空心圓圈bi、“U型”連接件pi分別代表第i個(gè)二重復(fù)合球面副、一般球面副和移動(dòng)副。

圖1 12-6臺(tái)體型Stewart冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)模型Fig.1 Structure model of general 12-6 Stewart redundant parallel mechanism1.球面副 2.移動(dòng)副 3.動(dòng)平臺(tái) 4.靜平臺(tái)

以支路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基本類型來劃分[17]，該機(jī)構(gòu)本質(zhì)上屬于6-HSOC{-(R(3S-2P)-P(3S-2P)-P(3S-2P))-S-}型。因此，動(dòng)平臺(tái)的方位特征集就是6個(gè)HSOC支路末端構(gòu)件的方位特征集的交集，即

(1)

式中Mp——?jiǎng)悠脚_(tái)的方位特征集

Mi——第i個(gè)HSOC支路的方位特征集

t3、r3——相對(duì)于慣性參考系，構(gòu)件存在的三維獨(dú)立移動(dòng)和三維獨(dú)立轉(zhuǎn)動(dòng)

機(jī)構(gòu)自由度為

D=dim.(Mp)=6

(2)

式中 dim.——方位特征集的維數(shù)

根據(jù)單開鏈(記為SOC)單元的機(jī)構(gòu)組成原理[20]，11個(gè)獨(dú)立回路的獨(dú)立位移方程數(shù)為

ξi=6 (i=1,2,…,11)

(3)

式中ξi——第i個(gè)獨(dú)立回路的位移方程數(shù)

根據(jù)機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的分解算法[20]，確定SOC分解路線。首先，取SOC1{-b1-p1-B1-p2-b2-},并結(jié)合式(3)，計(jì)算約束度為

(4)

式中m1——SOC1的運(yùn)動(dòng)副數(shù)

fi——第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度(不包含局部自由度)

I1——SOC1的驅(qū)動(dòng)副數(shù)

根據(jù)基本運(yùn)動(dòng)鏈的判定方法[20]，SOC1滿足約束度的“最小劃分”條件，對(duì)應(yīng)于第1個(gè)BKC，可以計(jì)算其耦合度為

(5)

然后，取SOC2{-b3-p3-B2-p4-b4-}、SOC3{-b5-p5-B3- p6-b6-}，對(duì)應(yīng)于第2、3個(gè)BKC，同理可得

k2=k3=0

(6)

分別將b1、b2連線和b3、b4連線的轉(zhuǎn)軸記為R(b1-b2)、R(b3-b4)。取SOC4{-R(b1-b2)-B1-B2-R(b3-b4)-}, 其約束度為

(7)

取SOC5{-R(B1-B2)-B3-R(b5-b6)-},其約束度為

(8)

第4個(gè)BKC的耦合度為

(9)

進(jìn)一步地，取SOC6{-b7-p7-B4-}、SOC7{-b8-p8- B4-}、SOC8{-b9-p9-B5-}、SOC9{-b10-p10-B5-}、SOC10{- b11-p11-B6-}、SOC11{-b12-p12-B6-},它們的約束度以及對(duì)應(yīng)BKC的耦合度為

(10)

(11)

考慮到耦合度是BKC的一種拓?fù)洳蛔兞縖21]，故在機(jī)構(gòu)的工作空間中，10個(gè)BKC的耦合度均保持不變。這樣，整個(gè)機(jī)構(gòu)的耦合度k也是恒定值，即

k=max(k1,k2,…,k10)=1

(12)

式(12)顯示，新型拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的耦合特性表現(xiàn)為弱耦合，表明每個(gè)回路的變量不能獨(dú)立求出，需要將多個(gè)回路方程聯(lián)立求解，這為構(gòu)建并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型指明了方向。

2 正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

并聯(lián)機(jī)構(gòu)的“正向運(yùn)動(dòng)學(xué)”指的是：已知支鏈的輸入驅(qū)動(dòng)量，求解動(dòng)平臺(tái)的輸出運(yùn)動(dòng)參數(shù)，包括位姿、速度等信息。

2.1 位姿正解

在靜平臺(tái)上固連慣性系{X-Y-Z}，如圖2所示，坐標(biāo)原點(diǎn)位于初始狀態(tài)下的動(dòng)平臺(tái)中心處。這樣，靜平臺(tái)上12個(gè)一般球面副的坐標(biāo)可以統(tǒng)一成矩陣形式

(13)

式中b1～b12——同名點(diǎn)的幾何中心在慣性系內(nèi)的笛卡爾坐標(biāo)

n——?jiǎng)悠脚_(tái)半邊長

L——支鏈初始長度

將動(dòng)平臺(tái)的中心記作M，由機(jī)構(gòu)的拓?fù)錁?gòu)型可知，M與B1～B6之間滿足一定的幾何關(guān)系，如圖3所示。

圖3 動(dòng)平臺(tái)中心與復(fù)合球面副中心之間的幾何關(guān)系Fig.3 Geometric relations between centers of moving platform and compound spherical pairs

運(yùn)用立體幾何知識(shí)容易證明出，3條線段B1B4、B2B5、B3B6的中點(diǎn)重合于點(diǎn)M；4個(gè)點(diǎn)B1、B2、M、B3位于同一平面上，且構(gòu)成一個(gè)菱形。因此，這7個(gè)特征點(diǎn)的坐標(biāo)之間滿足

B1+B4=B2+B5=B3+B6=2M

(14)

B1+M=B2+B3

(15)

(16)

式中B1～B6、M——同名點(diǎn)的幾何中心在慣性系內(nèi)的笛卡爾坐標(biāo)

|·|——矢量的模

動(dòng)平臺(tái)的位姿可以用B1、B2、B3、M點(diǎn)的坐標(biāo)來描述，將它們視為待求量

(17)

根據(jù)12條支鏈的長度約束關(guān)系結(jié)合式(13)～(17)，建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸入、輸出量集合中的位姿映射方程組

(18)

(19)

(20)

(21)

(x1-x0)2+(y1-y0)2+(z1-z0)2=2n2

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(x2-x0)2+(y2-y0)2+(z2-z0)2=2n2

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(x3-x0)2+(y3-y0)2+(z3-z0)2=2n2

(32)

式中l(wèi)i——第i條支鏈的長度，在正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型中為已知量

由式(18)～(32)可知，15個(gè)二次相容方程中存在若干對(duì)同構(gòu)關(guān)系[22]；進(jìn)一步分析后發(fā)現(xiàn)，同構(gòu)方程兩兩相減，能夠消去二次項(xiàng)，得到四組線性封閉方程

(33)

(34)

(35)

(36)

其中

再結(jié)合式(15)，得到剩余3個(gè)未知量的解析式

x1=x2+x3-x0

(37)

z2=z1-z3+z0

(38)

y3=y1-y2+y0

(39)

至此，解決了新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位姿正解問題，具體算法流程如圖4所示。其中，虛線框中的變量為已知量，實(shí)線框中的變量為待求量。

圖4 位姿正解的算法流程Fig.4 Algorithm flow chart of forward displacement analysis

由圖4可知：

(1)盡管本機(jī)構(gòu)在結(jié)構(gòu)上弱耦合，但由于其拓?fù)錁?gòu)型的冗余性和對(duì)稱性，仍然存在確定的、唯一的、全解析形式的位姿正解，這為后續(xù)的實(shí)時(shí)反饋控制提供了有利條件。

(2)本機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)位姿信息中，每一個(gè)特征量均與所有支鏈的長度有關(guān)，且關(guān)聯(lián)程度高，表現(xiàn)為輸入-輸出運(yùn)動(dòng)的強(qiáng)耦合特性，故對(duì)驅(qū)動(dòng)輸入精度的要求較高。關(guān)于輸出量對(duì)輸入量的誤差敏感度及誤差傳遞模型，將另文推導(dǎo)。

2.2 桿長協(xié)調(diào)方程

將動(dòng)平臺(tái)視作剛性結(jié)構(gòu)，運(yùn)動(dòng)過程中特征點(diǎn)之間的相對(duì)距離保持不變。因此，2.1小節(jié)中求解了的12個(gè)未知量之間除了滿足式(22)、(27)、(32)的3個(gè)關(guān)系之外，還滿足如下3個(gè)約束方程

(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2=2n2

(40)

(x2-x3)2+(y2-y3)2+(z2-z3)2=6n2

(41)

(x1-x3)2+(y1-y3)2+(z1-z3)2=2n2

(42)

將式(33)～(39)的解析結(jié)果代入式(22)、(27)、(32)、(40)～(42)中并展開，得到12-6臺(tái)體型Stewart冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的桿長協(xié)調(diào)方程。一般情況下，協(xié)調(diào)方程的結(jié)構(gòu)較為冗長，限于篇幅，這里不列出具體展開式。特殊地，當(dāng)所有支鏈均采用微幅驅(qū)動(dòng)時(shí)，桿長變化量的二次項(xiàng)可以忽略，此時(shí)，桿長協(xié)調(diào)方程可以近似展開成

(43)

可見，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的12條桿長(輸入量)之間并不是完全獨(dú)立的；任意給定N(6≤N≤11)條桿長，可通過解析或數(shù)值的方法計(jì)算出其他(12-N)條桿長。

容易證明出，當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的12條桿長同時(shí)滿足6個(gè)桿長協(xié)調(diào)方程時(shí)，其正向運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組滿足相容性條件。此時(shí)，方程組的解的個(gè)數(shù)至少為1，因此，按照?qǐng)D4算法得到的正解中一定沒有增根。另一方面，四組線性封閉方程(33)～(36)是通過將15個(gè)二次相容方程(18)～(32)兩兩相減(求交集)獲得的，即前者的解一定包含了后者的解，因此，上述正解中也一定不會(huì)出現(xiàn)失根的情況。

2.3 速度正解

將式(33)等號(hào)兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，得到動(dòng)平臺(tái)中心線速度v的解析式(唯一解)

(44)

分別將式(34)～(36)的等號(hào)兩邊對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)，整理后提取出其中的3個(gè)變量解析式

(45)

(46)

(47)

根據(jù)速度基點(diǎn)法，聯(lián)列4個(gè)特征點(diǎn)速度之間的矢量關(guān)系

(48)

其中

qj=M-Bj(j=1,2,3)

式中ω——?jiǎng)悠脚_(tái)角速度

上標(biāo)“^”表示矢量的反對(duì)稱矩陣。

分別提取式(48)中3個(gè)矢量方程的第3行、第1行和第1行，構(gòu)成一組新的獨(dú)立方程

(49)

其中

式中 (·)k——矢量的第k個(gè)元素

綜合式(17)、(44)～(47)、(49)，得到動(dòng)平臺(tái)角速度的解析解

(50)

值得一提的是，當(dāng)矩陣Jω奇異時(shí)，式(50)不成立；此時(shí)，機(jī)構(gòu)處于奇異位形，在下節(jié)中詳細(xì)討論。至此，解決了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度正解問題。直接對(duì)速度正解中的v和ω求導(dǎo)，即得到加速度正解，這里不再贅述。

2.4 奇異曲面方程

由式(44)、(49)得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)速度與特征點(diǎn)速度之間的線性映射關(guān)系

(51)

其中

式中Jv,ω——正向雅可比矩陣

E3——三階單位矩陣

O3——三階零矩陣

由式(44)～(47)可得特征點(diǎn)速度與支鏈速度之間的線性映射關(guān)系

(52)

式中JL——逆向雅可比矩陣

由式(51)、(52)，得到并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)速度與支鏈速度之間的解析映射關(guān)系

(53)

當(dāng)鎖定動(dòng)平臺(tái)的輸出時(shí)，式(53)轉(zhuǎn)換為

(54)

進(jìn)一步地，結(jié)合矩陣?yán)碚摚玫叫滦筒⒙?lián)機(jī)構(gòu)的第1類奇異曲面方程

(55)

特殊地，當(dāng)所有支鏈均采用微幅驅(qū)動(dòng)時(shí)，式(55)可以展開成

L2+2Ln+2n2=0

(56)

由于n、L均為正數(shù)，式(56)一定不成立，第1類奇異曲面方程無解，故機(jī)構(gòu)不存在第1類奇異位形。

當(dāng)鎖定驅(qū)動(dòng)支鏈的輸入時(shí)，式(53)轉(zhuǎn)換為

(57)

結(jié)合桿長協(xié)調(diào)方程可知，若rank(Jv，ω)<6，則v、ω的解不唯一，即存在非零解，機(jī)構(gòu)學(xué)上表現(xiàn)為此時(shí)動(dòng)平臺(tái)出現(xiàn)了瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)，這種現(xiàn)象對(duì)應(yīng)于機(jī)構(gòu)的第2類奇異[23]。

再結(jié)合矩陣?yán)碚?，得到新型并?lián)機(jī)構(gòu)的第2類奇異曲面方程

det(Jω)=0

(58)

特殊地，當(dāng)所有支鏈均采用微幅驅(qū)動(dòng)時(shí)，式(58)可以展開成

3L2+Ln+2n2=0

(59)

同樣，式(59)一定不成立，第2類奇異曲面方程無解，故機(jī)構(gòu)也不存在第2類奇異位形。

機(jī)構(gòu)的第3類奇異[23]是指同時(shí)滿足1、2類奇異的情況，故新型并聯(lián)機(jī)構(gòu)奇異曲面方程是式(55)、(58)的組合。

綜上所述，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)上的特征點(diǎn)坐標(biāo)滿足任意一組奇異曲面方程時(shí)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不可控，對(duì)應(yīng)的速度正解模型失效。

3 基于虛擬實(shí)驗(yàn)的算例驗(yàn)證

為驗(yàn)證正向運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及其求解算法的正確性，在ADAMS虛擬實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上構(gòu)建12-6臺(tái)體型Stewart冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)，如圖5所示。其中，動(dòng)平臺(tái)的邊長和支鏈的初始長度分別設(shè)定為30、25 mm。

圖5 12-6臺(tái)體型Stewart冗余并聯(lián)機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)Fig.5 Virtual prototype of general 12-6 Stewart redundant parallel mechanism

虛擬實(shí)驗(yàn)中，將動(dòng)平臺(tái)設(shè)定為剛體，另外，不考慮球面副、移動(dòng)副的摩擦和間隙。在View模塊下，對(duì)動(dòng)平臺(tái)同時(shí)施加線性、旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)方程分別為

(60)

式中t——時(shí)間，s

sx、sy、sz——3個(gè)正交方向的線位移，mm

θx、θy、θz——3個(gè)正交方向的角位移，rad

將時(shí)間和步長分別設(shè)定為60、0.001 s，虛擬實(shí)驗(yàn)結(jié)束后，測(cè)量并導(dǎo)出12條桿長數(shù)據(jù)以及動(dòng)平臺(tái)上特征點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。將桿長數(shù)據(jù)及樣機(jī)參數(shù)代入位姿正解模型中，計(jì)算6個(gè)獨(dú)立未知量，并將其與測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比。經(jīng)核查，所有采樣節(jié)點(diǎn)處均未出現(xiàn)增根或失根的情況。列出2種典型構(gòu)型下的特征項(xiàng)對(duì)比值，如表1所示。結(jié)果顯示，位姿正解的計(jì)算值與測(cè)量值完全一致。

表1 位姿正解的精度驗(yàn)證Tab.1 Validation of precision of forwarddisplacement analysis mm

進(jìn)一步地，將桿長數(shù)據(jù)代入速度正解模型中，并運(yùn)用數(shù)值微分算法中的“三點(diǎn)公式”，計(jì)算動(dòng)平臺(tái)的線速度和角速度。同樣地，將計(jì)算值與測(cè)量值進(jìn)行對(duì)比，其綜合誤差[5]如圖6所示。結(jié)果表明，兩者基本吻合，且最大相對(duì)誤差僅為0.08%，主要來源于數(shù)值微分中的截?cái)嗾`差。

圖6 速度正解的綜合相對(duì)誤差Fig.6 Composite relative error of forward velocities analysis

為驗(yàn)證正解算法的計(jì)算效率，參照文獻(xiàn)[5]中的定義，運(yùn)用Matlab中的“tic-toc”指令獲得1 min內(nèi)位姿正解、速度正解的效率指標(biāo)值(解算時(shí)間與采樣時(shí)間之比)，并將其與同一構(gòu)型、同一參數(shù)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)在ADAMS內(nèi)核算法中的指標(biāo)值作對(duì)比，如表2所示。其中，解算時(shí)間包括數(shù)據(jù)讀取、計(jì)算、保存的時(shí)間。結(jié)果顯示，本文的計(jì)算效率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于ADAMS內(nèi)核，其指標(biāo)值小于1，故滿足實(shí)時(shí)性要求。

表2 運(yùn)動(dòng)學(xué)正解的效率驗(yàn)證Tab.2 Validation of efficiency of forward kinematics

4 結(jié)論

(1) 提出了一種變體的六自由度Stewart平臺(tái)，構(gòu)型冗余且對(duì)稱。機(jī)構(gòu)中含有6個(gè)HSOC支路，但不含三重復(fù)合鉸鏈，故便于制造和裝配；10個(gè)BKC的最大耦合度為1，故結(jié)構(gòu)上表現(xiàn)為弱耦合。

(2)基于若干對(duì)同構(gòu)關(guān)系，15個(gè)2次約束相容方程可以轉(zhuǎn)換成只關(guān)于動(dòng)平臺(tái)上特征點(diǎn)坐標(biāo)的1次多項(xiàng)式，實(shí)現(xiàn)了并聯(lián)機(jī)構(gòu)位姿正解的全解析化，結(jié)果唯一確定且無增根和失根。該方法同樣適用于動(dòng)平臺(tái)上含3個(gè)以上二重復(fù)合球面副且耦合度小于2的臺(tái)體型并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。

(3)以特征點(diǎn)的速度為中間量，運(yùn)用基點(diǎn)法和微分法直接得到速度正解的全解析式，形式簡(jiǎn)潔、便于程式化。結(jié)果表明，動(dòng)平臺(tái)線速度的解一定唯一，角速度的解在機(jī)構(gòu)的非奇異位形下也唯一。

(4)虛擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，位姿正解算法零誤差，效率指標(biāo)值為0.21；速度正解最大相對(duì)誤差為0.08%，效率指標(biāo)值為0.32。這表明，該類型并聯(lián)機(jī)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)正解算法能夠適用于實(shí)時(shí)反饋控制的場(chǎng)合。

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