魏凡偉+高溪遠(yuǎn)+喬霂源+易禹妍

【摘要】本文針對當(dāng)代大學(xué)生關(guān)心的考試成績問題，利用校內(nèi)考試成績資料及B-S期權(quán)定價模型量化地給出了具有絕對免賠額形式下的考試分?jǐn)?shù)保險的保費(fèi)厘定方法，并進(jìn)一步利用蝶式差價構(gòu)建了針對不同考試分?jǐn)?shù)的對應(yīng)賠償方案，以期在校園保險等小險種費(fèi)率厘定的探索中做出一定的嘗試.最后，我們結(jié)合考生歷年期末成績，對該保險的保費(fèi)進(jìn)行了模擬.

【關(guān)鍵詞】考試分?jǐn)?shù)保險；費(fèi)率厘定；B-S期權(quán)模型；蝶式差價

一、引 言

（一）研究背景

保險（Insurance），本意是穩(wěn)妥可靠，后延伸成一種保障機(jī)制，是用來規(guī)劃人生財務(wù)的一種工具.縱然當(dāng)前我國保險市場發(fā)展迅速，但在針對校內(nèi)意外事件開發(fā)險種方面，國內(nèi)市場卻幾乎一直處于空白狀態(tài).這主要由于可保風(fēng)險一般為純粹風(fēng)險，滿足不可抗拒原則和補(bǔ)償原則，且應(yīng)能有效防止逆向選擇[1]，而考試未通過不屬于純粹風(fēng)險且若給予承保，亦難以規(guī)避逆向選擇.

當(dāng)前，保險定價常用的模型包括損失期望理論、期望效用理論、資本資產(chǎn)定價模型（CAPM）等.本文希望使用期權(quán)定價中的B-S模型對保險費(fèi)率厘定進(jìn)行探討.

二、費(fèi)率計算理論

在對大學(xué)生的走訪中，我們發(fā)現(xiàn)大學(xué)生群體普遍最為關(guān)注的風(fēng)險是可能發(fā)生的考試不及格及其對自身長期發(fā)展帶來的負(fù)面影響.進(jìn)一步討論中，我們發(fā)現(xiàn)針對考試分?jǐn)?shù)設(shè)計保險產(chǎn)品相較于其他校園意外事件具有覆蓋范圍廣、受關(guān)注程度高、易量化分析等天然優(yōu)勢.故本文以基于考試分?jǐn)?shù)的保險為對象，應(yīng)用數(shù)理方法對該保險產(chǎn)品的開發(fā)進(jìn)行費(fèi)率厘定和數(shù)值分析方面的嘗試.

我們認(rèn)為該保險費(fèi)率的厘定應(yīng)以損失概率為基礎(chǔ)，即先通過對保額損失率和均方差的計算求出純費(fèi)率，之后計算附加費(fèi)率并將兩者加和得到毛保險費(fèi)率.

在本掛科險中，我們假定本校考試未通過后補(bǔ)考費(fèi)用為每學(xué)分50元，以實變函數(shù)（4學(xué)分）課程為例，則考試未通過帶來的經(jīng)濟(jì)損失為200元.在衡量精神損失時，我們將由掛科所產(chǎn)生的精神損失費(fèi)設(shè)為每學(xué)分補(bǔ)考費(fèi)的8%，6%，4%，2%，具體百分比p可由投保人自行決定，并將反映在最終的保費(fèi)厘定中.綜上，該掛科險最高賠付金額應(yīng)為200（1+p）元.

四、應(yīng)用實例

為了驗證本文方法的實用性，我們收集了本校數(shù)學(xué)學(xué)院2014級全體本科生的數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、實變函數(shù)等10門專業(yè)課成績作為樣本，計算出各樣本總體的數(shù)字特征，并針對實變函數(shù)科目進(jìn)行考試分?jǐn)?shù)保險產(chǎn)品的模擬投放和數(shù)據(jù)分析.以實變函數(shù)成績?yōu)槔瑯颖緮?shù)量共計276個.

首先假定投保人在投保后至考試這段時間內(nèi)，在任意時刻t+Δt的成績St+Δt隨時間變化且服從對數(shù)正態(tài)分布.在計算投保費(fèi)用c時，我們需要預(yù)確定投保人投保時學(xué)習(xí)狀態(tài)St，常用的方法主要有下述兩種：我們既可以安排投保人進(jìn)行一次該科目的水平測試，以其當(dāng)次測試成績作為投保人初始學(xué)習(xí)狀態(tài)St；也可以根據(jù)該投保人歷年期末考試成績，合理推斷其當(dāng)前學(xué)習(xí)狀態(tài).第一種方法手續(xù)較為復(fù)雜，但能在更大程度上反應(yīng)投保人投保時刻的真實水平；第二種方法則可看作第一種方法的簡化手段.由于第二種方法操作過程明確，我們在此主要討論以其歷年成績代替St的方法.

我們統(tǒng)計了本學(xué)院2014級本科生含實變函數(shù)在內(nèi)的十門專業(yè)課的年級均分和兩名樣本個體的成績，匯總?cè)缦卤硭?endprint