孫雨琴 朱哲

【摘 要】 ?數(shù)學(xué)史的融入方式直接影響著數(shù)學(xué)教學(xué)的質(zhì)量.文章以“順應(yīng)——重構(gòu)”疊加模式將數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中，以“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”為例設(shè)計(jì)一則教學(xué)案例，再?gòu)摹罢硎妨?、?wèn)題驅(qū)動(dòng)、重構(gòu)再現(xiàn)、反思升華”四個(gè)模塊進(jìn)行分析，從而得到一些啟示，以期為數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)起到些許借鑒作用.

【關(guān)鍵詞】 ?疊加模式;數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)教學(xué);導(dǎo)數(shù)的幾何意義;教學(xué)設(shè)計(jì)

以HPM視角融入到教材設(shè)計(jì)和課堂教學(xué)，日益受到一線教育工作者的關(guān)注.2016年在德國(guó)漢堡大學(xué)舉行的第十三屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)中第25個(gè)研究專題強(qiáng)調(diào)，要認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)課堂和教學(xué)中的作用 [1].

根據(jù)汪曉勤教授的劃分，數(shù)學(xué)史融入到數(shù)學(xué)教學(xué)的模式可分為以下四種：分別是附加式、復(fù)制式、順應(yīng)式和重構(gòu)式.其中重構(gòu)式指借鑒或重構(gòu)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的歷史，濃縮概念發(fā)展的過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過(guò)程，其教學(xué)目的主要為加深對(duì)概念的縱向與橫向的理解.其更注重的是將數(shù)學(xué)史知識(shí)融入在認(rèn)知方面的作用.而順應(yīng)式主要指改編歷史上的數(shù)學(xué)問(wèn)題、方法，提煉其背后的數(shù)學(xué)思想，其教學(xué)目的主要是在教學(xué)過(guò)程中滲透重要的數(shù)學(xué)思想.兩者雖各有所長(zhǎng)，但彼此也都存在一些缺陷.比如，重構(gòu)式難度較大，缺少直觀性，易使課堂枯燥;而順應(yīng)式較淺顯，不易挖掘出知識(shí)的內(nèi)涵.現(xiàn)今，我國(guó)中學(xué)數(shù)學(xué)教材對(duì)于數(shù)學(xué)史的融入大都以單獨(dú)的方式，如若將它們結(jié)合起來(lái)，在“順應(yīng)式”中融入“重構(gòu)式”，顯然會(huì)使教學(xué)更優(yōu)化.因此，筆者將以“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”教學(xué)設(shè)計(jì)及分析為例來(lái)探討“順應(yīng)——重構(gòu)”疊加模式的運(yùn)用.

1 切線概念的發(fā)展歷史

通過(guò)數(shù)學(xué)史的簡(jiǎn)單介紹，筆者了解到切線概念的形成過(guò)程，是經(jīng)歷了由靜態(tài)到動(dòng)態(tài)的一個(gè)發(fā)展過(guò)程.古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得最早定義了圓的切線，接著阿波羅與阿基米德用歐幾里得的方法定義了圓錐曲線與螺線曲線，而那時(shí)在古代數(shù)學(xué)中，切線的定義還局限于靜態(tài)的定義——與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)且位于曲線一側(cè)（或“不穿過(guò)”曲線）的直線.

直到17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家相繼發(fā)現(xiàn)和研究了一般曲線的不同構(gòu)造法.其中，巴羅利用“特征三角形”的概念——實(shí)質(zhì)上把切線看作是割線的極限位置.而直到17世紀(jì)下葉，切線為割線之極限位置的思想才成為數(shù)學(xué)家的共識(shí).德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨將曲線的切線定義為“連接曲線上無(wú)限接近兩點(diǎn)的直線”，或“曲線的內(nèi)接無(wú)窮多邊形的一條連續(xù)邊” [2].法國(guó)數(shù)學(xué)家洛必達(dá)在其《無(wú)窮小分析》中亦將曲線的切線定義為曲線的內(nèi)接“無(wú)窮多邊形”一邊的延長(zhǎng)線 [3].

可見(jiàn)，切線定義從靜態(tài)走向動(dòng)態(tài)跨越了數(shù)千年的歲月，而了解切線的發(fā)展歷史，有利于教師把握學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，也為教學(xué)設(shè)計(jì)打開(kāi)了新的視野.

2 學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)

學(xué)生對(duì)切線的認(rèn)知起點(diǎn)是圓的切線，因而教師首先可以從圓出發(fā)，讓學(xué)生回顧圓的切線的定義.圓的切線主要有3種定義方式，分別為：與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線;過(guò)圓上一點(diǎn)且垂直于該點(diǎn)與圓心連線的直線;到圓心的距離等于圓的半徑的直線.其次，讓學(xué)生反思，上述定義是否適用于圓錐曲線呢？顯然不適用，以拋物線為例，對(duì)稱軸與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，但不是切線.學(xué)生很自然會(huì)對(duì)定義添加約束條件，得到“與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)且不穿過(guò)曲線的直線”.這就是古希臘數(shù)學(xué)家給出的適用于圓錐曲線的切線定義，但是適用于更為一般的曲線嗎？反之，直線與三角函數(shù)y=sinx的圖象有不止一個(gè)交點(diǎn)，它是曲線的切線嗎？所以，切線概念的教學(xué)必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到“是否只有一個(gè)公共點(diǎn)”也不是切線的判別標(biāo)準(zhǔn)，激發(fā)學(xué)生尋求新的切線定義，為形成“切線是割線的極限位置”這一切線的動(dòng)態(tài)定義埋下伏筆.

導(dǎo)數(shù)教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要構(gòu)成內(nèi)容，而其中導(dǎo)數(shù)的幾何意義是刻畫函數(shù)單調(diào)性的重要工具，也是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁.但在實(shí)際的教學(xué)中，忽視了研究曲線的切線的數(shù)學(xué)背景，沒(méi)有對(duì)曲線的切線做明確定義，因此很多學(xué)生對(duì)通過(guò)割線來(lái)引入切線產(chǎn)生了困惑，以及導(dǎo)致學(xué)生容易將其和其他概念相混淆，從而缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性.所以，筆者希望通過(guò)以下這個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)可以更深刻地讓學(xué)生理解切線的定義.

3 教學(xué)設(shè)計(jì)

通過(guò)對(duì)切線概念的歷史發(fā)展過(guò)程以及學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)的分析，筆者將從五個(gè)環(huán)節(jié)對(duì)“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”進(jìn)行教學(xué).

3.1 回顧舊知，引入新課

師：在物理課上，我們學(xué)過(guò)平面鏡光的反射，那么要是在凹凸鏡上，光是如何反射的呢？

若已知一小球做平拋運(yùn)動(dòng)，我們又如何確定它的速度方向呢？

我們很容易確定斜坡的坡度，但拱橋的坡度又如何確定呢？

師：用我們現(xiàn)有知識(shí)，以上幾個(gè)問(wèn)題能解決嘛？

生：不能.

師：是的，但我們今天所學(xué)的內(nèi)容就可以解決以上問(wèn)題.進(jìn)入新課之前，我們先來(lái)回顧下初中學(xué)過(guò)的一個(gè)知識(shí).

師：在初中，同學(xué)們接觸過(guò)圓的切線概念 ，那么“圓的切線”有哪幾種定義呢？

生1：與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線稱為圓的切線.

生2：與圓心的距離等于半徑長(zhǎng)的直線稱為圓的切線.

生3：過(guò)圓半徑的外端，且垂直于半徑的直線稱為圓的切線.

師：對(duì)的，那圓的切線定義是否適用于圓錐曲 線呢？

生：不適用.

師：那什么定義能適用于圓錐曲線的切線？

生：與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)且不穿過(guò)曲線的 直線.

師：同學(xué)們剛剛所說(shuō)的定義就是古希臘數(shù)學(xué)家給出的適用于圓錐曲線的切線定義，但是適用于更為一般的曲線嗎？例如，曲線y=x3的切線.

生：不適用.

師：結(jié)合以上問(wèn)題，今天我們就一起來(lái)探索新的切線定義.

3.2 引導(dǎo)探究，獲得新知

師：在中國(guó)古代有一位著名的數(shù)學(xué)家劉徽，他用割圓術(shù)探求圓心到其多邊形一邊所在直線的距離.他這樣寫道：“以六觚之一面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪.若又割之，次以十二觚之一面乘半徑，因而六之，則得二十四觚之冪.割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣.”

師：下面，我們用幾何畫板動(dòng)畫模擬割圓術(shù)的變化過(guò)程.

師：通過(guò)這個(gè)動(dòng)畫演示，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生1：圓內(nèi)接多邊形逐漸與圓合并一起.

生2：圓的切線是圓內(nèi)接無(wú)窮多邊形一邊所在的直線.

師：很好，那同學(xué)們根據(jù)自己的觀察，能否概括出一般曲線的切線的定義嗎？

生：曲線上B點(diǎn)無(wú)限逼近A點(diǎn)，割線AB趨近于確定的位置AD，這個(gè)確定位置上的直線AD稱為點(diǎn)A處的切線，如圖1.

師：對(duì)的，也就是說(shuō)，圓的切線是割線的極限位置.且這個(gè)結(jié)論適用于所有曲線.

3.3 分層解析，鞏固理解

師：由切線的定義，接下來(lái)我們重點(diǎn)探索切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

（1）分層解析

題型1：已知過(guò)曲線上一點(diǎn)，求切線方程.

過(guò)曲線上一點(diǎn)的切線，該點(diǎn)未必是切點(diǎn)，故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn)，再求切點(diǎn)，即用待定切點(diǎn)法.

例1 如圖2，求曲線C：y=2x3在點(diǎn)（1，2）處的切線方程.

題型2：已知某曲線，求該曲線在某處的導(dǎo)數(shù).

例2 f（x）= 9-x2 ，求f′（2）.

（2）思考小結(jié)

切線的斜率與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)表達(dá)的是同一對(duì)象的兩個(gè)不同側(cè)面，在解決問(wèn)題過(guò)程中要注重它們之間的相互轉(zhuǎn)化.

3.4 思考探究，深化理解

例3 已知f（x）= 1 2? 9-x2 ，求f′（1）.思考：函數(shù)f（x）= 1 2? 9-x2 的圖像是什么曲線？

師：光照射在橢圓上點(diǎn)A處的反射效果與光照射在橢圓在點(diǎn)A處的切線上的反射效果相同，為什么？

師：若將橢圓放大一百倍（圖4），我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)什么？

生：橢圓在點(diǎn)A附近的曲線段與橢圓在點(diǎn)A處的切線段重合.

師、生：光照射在曲線段上與切線段上的效果 一致.

師：這就是微積分中重要的以直代曲的數(shù)學(xué) 思想.

師：在劉徽的割圓術(shù)中同樣也包含著重要的微積分思想，同學(xué)們知道是什么思想嗎？

生：以直代曲思想.

師：對(duì)的，“割之彌細(xì)，所失彌少.割之又割，以至于不可割，則與圓合體，而無(wú)所失矣”這段話表達(dá)的就是以直代曲思想.

3.5 歸納總結(jié)，深化認(rèn)識(shí)

（1）知識(shí)：

①切線的定義;

②函數(shù)f（x）在x=x 0處的導(dǎo)數(shù)f′（x 0）的幾何 意義.

（2）思想：體會(huì)極限、以直代曲等思想方法.

（3）應(yīng)用：①“切點(diǎn)—斜率—切線”知一求二;②學(xué)生歸納出求切線的一般步驟.

4 疊加模式解析

數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教學(xué)的融入是個(gè)綜合的過(guò)程，首先需要對(duì)數(shù)學(xué)史料進(jìn)行深入的挖掘以及提煉，其次將其融入教材，最后再由教師進(jìn)行加工運(yùn)用到教學(xué)中.教師運(yùn)用和加工現(xiàn)有的史料和教材，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)普遍的教學(xué)設(shè)計(jì)步驟（圖5）.

下面筆者將基于本文的教學(xué)設(shè)計(jì)就如何挖掘史料，如何將數(shù)學(xué)史融入教材，從四個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行具體的解析，分別是：整理史料→問(wèn)題驅(qū)動(dòng)→重構(gòu)再現(xiàn)→反思升華.

整理史料：在對(duì)某一個(gè)知識(shí)的講解希望加入數(shù)學(xué)史時(shí)，你不能僅僅滿足教材上提供的一些歷史資料，而需要大量搜索與該知識(shí)有關(guān)的歷史資料.因此，在材料的選取上需要做到以下幾點(diǎn)：（1）思考你需要設(shè)置什么樣的情境，哪些材料具有代表性適合放入情境中;（2）在相關(guān)歷史材料中，提煉出符合要求的歷史材料，從而為情境設(shè)置做準(zhǔn)備;（3）厘清知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，并整理出一條主“脈絡(luò)”，為重構(gòu)做準(zhǔn)備.

問(wèn)題驅(qū)動(dòng)：從問(wèn)題出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，從而呈現(xiàn)給學(xué)生刺激性數(shù)學(xué)歷史，引起學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激起學(xué)生的好奇心、發(fā)現(xiàn)欲，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，誘發(fā)質(zhì)疑猜想，喚醒強(qiáng)烈的問(wèn)題意識(shí)，從而使其發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題，解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.利用已整理好的史料，根據(jù)課程需要達(dá)到的效果，直接引用或適當(dāng)改編史料，設(shè)置一個(gè)有歷史，有故事，有啟發(fā)的情境為重構(gòu)做準(zhǔn)備.故事情境是為了文化的顯性表現(xiàn)，重構(gòu)則是為了文化的隱性再創(chuàng)造.

重構(gòu)再現(xiàn)：根據(jù)情境中產(chǎn)生的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生按照整理史料環(huán)節(jié)所制定知識(shí)的歷史“脈絡(luò)”（引導(dǎo)的方法可多樣化，可通過(guò)啟發(fā)、游戲、實(shí)踐等方式）重構(gòu)對(duì)于這部分知識(shí)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程.上述教學(xué)設(shè)計(jì)中，以通過(guò)對(duì)光的反射問(wèn)題、速度方向問(wèn)題以及曲線夾角問(wèn)題的重構(gòu)，激發(fā)學(xué)生的求知欲，再通過(guò)教師的巧妙引導(dǎo)，讓學(xué)生探究求解過(guò)程，實(shí)現(xiàn)重構(gòu).

反思升華：在學(xué)生經(jīng)過(guò)親身體驗(yàn)、深刻領(lǐng)悟后，引導(dǎo)學(xué)生回顧該知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程、發(fā)明歷史，并讓學(xué)生自己總結(jié)在這一過(guò)程中發(fā)現(xiàn)了什么，怎么發(fā)現(xiàn)的，有什么啟發(fā).從而挖掘出其中的數(shù)學(xué)思想，體味數(shù)學(xué)的文化，鞏固新建構(gòu)的認(rèn)識(shí).

5 反思總結(jié)

本節(jié)課主要通過(guò)順應(yīng)——重構(gòu)的疊加模式將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué).整體上看，先回顧已有圓的切線概念，接著用幾何畫板演示劉徽的割圓術(shù)，以探索新的切線的定義;然后通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)探索切線與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用幾何畫板探索以直代曲的數(shù)學(xué)思想;最后歸納總結(jié)整個(gè)過(guò)程，再現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)幾何意義的歷史發(fā)展過(guò)程，屬于重構(gòu)式.從局部看，重構(gòu)歷史上的數(shù)學(xué)問(wèn)題，提煉其背后的數(shù)學(xué)思想，使歷史上的數(shù)學(xué)問(wèn)題符合學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活的背景與認(rèn)知能力，屬于順應(yīng)式.歷史故事作為情境，可以讓學(xué)生再次回到歷史創(chuàng)造環(huán)境氛圍中去，仿佛身臨其境.而后為了解決情境中的問(wèn)題，教師通過(guò)設(shè)疑，提示，引導(dǎo)學(xué)生重回歷史發(fā)展之路，探索重構(gòu)導(dǎo)數(shù)的幾何意義.數(shù)學(xué)史中包含著豐富的教學(xué)素材和思想養(yǎng)料，包含著不同時(shí)代，各個(gè)數(shù)學(xué)家的探索精神和創(chuàng)新思維.如果全然拋棄這些歷史素材，數(shù)學(xué)課堂就變成了一個(gè)“模仿作坊”，學(xué)生學(xué)習(xí)到的只是單調(diào)的定理，公式，學(xué)到的只是一具數(shù)學(xué)的軀殼，沒(méi)有靈魂的數(shù)學(xué).自然，學(xué)生無(wú)法體會(huì)到歷史中數(shù)學(xué)家的思維之妙，也不能感受多元文化.“重構(gòu)——順應(yīng)”疊加式融入數(shù)學(xué)史，這一模式，既有“重構(gòu)”讓學(xué)生再創(chuàng)造式的探索發(fā)現(xiàn)知識(shí)，又有“順應(yīng)”讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)的歷史、文化，體會(huì)到數(shù)學(xué)家們精妙的思想，感受數(shù)學(xué)的魅力.在這樣模式下，數(shù)學(xué)史能更真正有效地服務(wù)于教學(xué)，HPM也能越走越遠(yuǎn).

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