張勇，楊雪玲，舒永錄(.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 河南 南陽 47000； .河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車工程學(xué)院，河南 南陽 47000； .重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 40)

一類大氣混沌模型的動力學(xué)分析及數(shù)值仿真

張勇1，楊雪玲2，舒永錄3
(1.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部， 河南 南陽 473000； 2.河南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院 汽車工程學(xué)院，河南 南陽 473000； 3.重慶大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 重慶 401331)

基于已有文獻(xiàn)以及微分方程與動力系統(tǒng)的基本理論與方法，采用解析方法推導(dǎo)了一類大氣混沌模型的全局吸引域和最終界，并對此模型進(jìn)行了仿真.數(shù)值仿真表明了理論分析結(jié)果的正確性.研究結(jié)果可為該混沌系統(tǒng)的工程應(yīng)用和電路設(shè)計(jì)提供一定的理論依據(jù).

大氣混沌模型；全局吸引性；有界性; 數(shù)值模擬

0 引 言

1963年,美國氣象學(xué)家LORENZ[1]提出了大氣熱對流過程的動力學(xué)模型,即著名的Lorenz系統(tǒng)，并且發(fā)現(xiàn)了著名的蝴蝶效應(yīng).隨后，眾多學(xué)者對Lorenz系統(tǒng)的各種動力學(xué)行為展開了深入研究,揭示了Lorenz系統(tǒng)復(fù)雜動力學(xué)行為的演化過程及混沌的產(chǎn)生機(jī)制[2-14]，并將Lorenz系統(tǒng)應(yīng)用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域.

著名學(xué)者STENFLO在研究大氣的熱對流運(yùn)動時，給出了大氣熱對流運(yùn)動的四維混沌模型[15-16]：

(1)

其中α,β,γ,c為系統(tǒng)(1)的正參數(shù)，變量w用于描述氣流的旋轉(zhuǎn),參數(shù)γ(>0)是與w相對應(yīng)的旋轉(zhuǎn)數(shù)(rotation number),α(>0)表示普朗特數(shù)(Prandtl number),c(>0)表示瑞利數(shù)(Rayleigh number)，β(>0)為幾何參數(shù)( geometric parameter).當(dāng)c=26,β=0.7,γ=1.5,α=1時，系統(tǒng)(1)的混沌吸引子如圖1所示，在平面yoz上的吸引子如圖2所示.

圖1 系統(tǒng)(1)在3D空間中軌線的吸引子Fig.1 Chaotic attractor of system in 3D space

圖2 系統(tǒng)(1)在yoz平面上軌線的吸引子Fig.2 Chaotic attractor of system in yoz plane

1 主要結(jié)果及證明

系統(tǒng)(1)的一些動力學(xué)行為： 模型的推導(dǎo)、混沌行為產(chǎn)生的機(jī)理等，文獻(xiàn)[12]已有研究.下文主要研究系統(tǒng)(1)的最終界和全局吸引性.

引理1定義集合

令

則有

證明由多元函數(shù)求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法即可證得.

引理2對任意的λ>0,m>0,α>0,β>0,γ>0,c>0,令

λγw2, ?λ>0,m>0,

則有

證明令

則有

V(x,y,z,w)=λx2+my2+

由引理1即可得到結(jié)論.

引理3定義

令

(z1-2c)2, (y1,z1)∈∑,

則有

證明由多元函數(shù)求條件極值的拉格朗日乘數(shù)法便可證得.

定理1對任意的λ>0,m>0,α>0,β>0,γ>0,c>0，

(2)

為系統(tǒng)(1)正半軌線的一個最終界和正向不變集.其中，

證明定義廣義李雅普諾夫函數(shù)

V(x,y,z,w)=λx2+my2+

對上述函數(shù)求導(dǎo)有

2λx(αy-αx+γw)+2my(cx-xz-y)+

2λγw(-x-αw)=-2λαx2-2my2-

2mβz2+2β(λα+mc)z-2λγαw2,

由引理2便可得到結(jié)論.

容易證明式(2) 為系統(tǒng)(1)正半軌線的一個最終界和正向不變集.

注1(i)令λ=1,m=1, 則

Ω1,1={(x,y,z,w)|x2+y2+(z-α-c)2+γw2≤l2}

是系統(tǒng)(1)正半軌線的一個最終界和不變集，其中，

當(dāng)c=26,β=0.7,γ=1.5,α=1時，則有

Ω1,1在xoyz空間中的投影如圖3所示.

定理2令(x(t),y(t),z(t),w(t))為系統(tǒng)(1)的任意一個解.則對任意的α>0,β>0,γ>0,c>0，

Φ={(y,z)|y2+(z-c)2≤l2}

(3)

為系統(tǒng)(1)的y(t),z(t)的一個最終界.其中，

圖3 系統(tǒng)(1)xoyz空間中的最終界估計(jì)圖示Fig.3 Bounds of system (1) in xoyz space

證明定義廣義李雅普諾夫函數(shù)

V1(y,z)=y2+(z-c)2,

則有

注2當(dāng)c=26,β=0.7,γ=1.5,α=1時，有

Φ={(y,z)|y2+(z-26)2≤262}.

由Φ可以得到系統(tǒng)(1)正半軌線在yoz平面上的最終界估計(jì)，見圖4.

由從吸引集外的軌線進(jìn)入吸引集的速率估計(jì)，有

定理3令X(t)=(x(t),y(t),z(t),w(t))為系統(tǒng)(1)的任意一個解.則對任意α>0,β>0,γ>0,c>0,

Ω= {(x,y,z,w)|λx2+my2+

圖4 系統(tǒng)(1)yoz平面上的最終界估計(jì)圖示Fig.4 Bounds estimate of system (1) in yoz plane

?λ>0,?m>0}

(4)

為系統(tǒng)(1)的一個全局指數(shù)吸引集.其中，

證明定義廣義李雅普諾夫函數(shù)

λγw2, ?λ>0,m>0，

當(dāng)V(X(t))>L,V(X(t0))>L時,有

2λx(αy-αx+γw)+2my(cx-xz-y)+

-2λαx2-2my2-2mβz2+2β(λα+mc)z-

2λαγw2=-λαx2-my2-mβz2+

2β(λα+mc)z-γλαw2-λαx2-my2-mβz2-

當(dāng)V(X(t))>L,V(X(t0))>L時,有

V(X(t0))e-θ(t-t0)+L(1-e-θ(t-t0)),

從而有

[V(X(t))-L]≤[V(X0)-L]e-θ(t-t0).

令t→+, 對上述不等式兩邊取上極限，有

從而有

λγw2≤L,?λ>0,?m>0}

為系統(tǒng)(1)的一個全局指數(shù)吸引集.

證畢！

注3取λ=1,m=1, 則

Ω={(x,y,z,w)|x2+y2+(z-α-c)2+γw2≤δ}

為系統(tǒng)(1)的一個全局指數(shù)吸引集，其中，

2 結(jié) 論

研究了一類大氣混沌模型的全局吸引性和最終界.本研究方法亦適用于其他混沌系統(tǒng)；研究結(jié)果對于該混沌系統(tǒng)的混沌控制及其應(yīng)用有一定的參考價值.

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ZHANG Yong1,YANG Xueling2,SHU Yonglu3
(1.BasicTeachingDepartmentofHenanPolytechnicInstitute，Nanyang473000,HenanProvince,China; 2.DepartmentofAutomobileEngineering,HenanPolytechnicInstitute,Nanyang473000,HenanProvince,China; 3.CollegeofMathematicsandStatistics,ChongqingUniversity,Chongqing401331,China)

Based on the existed literature, this paper studies the domains of attraction of the atmospheric chaos model by theoretical analysis of the dynamical systems and computer simulation. The analytical expressions of the domains of attraction of the atmospheric chaos model are derived. Numerical simulations confirm the theoretical analysis results. The results have good reference value for the stable operation of this kind of system, and provide theory basis for the application in engineering and circuit design of this system.

atmospheric chaotic model; global attractability; the boundedness; numerical simulation

2016-10-04.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11171360).

張勇(1981—)，ORCID： http： //orcid.org/0000-0001-6973-4529，男，碩士，副教授，主要從事混沌系統(tǒng)理論及其應(yīng)用研究，E-mail： zhangyongzhang2013@163.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2018.01.004

O 241.84

A

1008-9497(2018)01-018-05

Dynamicalbehaviorsofanewatmosphericchaosmodelanditsnumericalsimulation.Journal of Zhejiang University(Science Edition),2018,45(1)： 018-022