劉嘉歆，馮仕猛，雷 剛，顧夢奇，龔小童，鐘曉霞

(1.上海交通大學 物理與天文系,上海 200240； 2.上海空間電源研究所,上海 200245)

空間太陽能電池金屬柵線極限尺寸的理論研究

劉嘉歆1，馮仕猛1，雷 剛2，顧夢奇2，龔小童1，鐘曉霞1

(1.上海交通大學 物理與天文系,上海 200240； 2.上?？臻g電源研究所,上海 200245)

對空間太陽能電池金屬柵線空間尺寸對電子平均自由程和電導率的影響進行了理論研究?？紤]金屬柵線空間尺寸小于100 nm和大于電子自由程兩種情況，建立了柵線空間尺寸對其平均自由程影響的物理模型，推導出柵線中電子平均自由程和電導率計算公式。計算機模擬表明：當柵線空間尺寸較小(小于2倍自由程)時，其對應的電子自由程和電導率隨柵線空間尺寸的增加而快速增大，反之則快速減小；當柵線空間尺寸大于100 nm時，柵線的邊界對電子自由程和電導率有影響，其對應的自由程和電導率隨柵線高度和寬度增加而增大，空間尺寸不同影響程度亦不同；當柵線高度和寬度達到800 nm時，電子自由程和電導率達到最大值。理論上，太陽能電池柵線高度和寬度可做到800 nm，可作為將來太陽能電池柵線制備的一個方向。

空間太陽能電池； 金屬柵線； 空間尺寸； 柵線邊界； 平均自由程； 電導率； 物理模型； 自由電子

0 引言

金屬柵線是太陽能電池的一個重要部分，副柵線引導電流，主柵線收集副柵線電流，起匯總作用。太陽能電池柵線電極包括設(shè)置在電池片上的主柵線，數(shù)量4～10根，寬度0.1～2.5 mm；副柵線數(shù)量100～200根，寬度10～39 μm。柵線有一定的面積，它會減少進入電池的光子數(shù)量，從而降低轉(zhuǎn)換電池的轉(zhuǎn)換效率。但目前太陽能電池柵線的研究主要集中于優(yōu)化設(shè)計和工藝技術(shù)，重點研究銀漿配方、線柵的制備工藝等[1-7]。但減小低柵線空間尺寸、增加電池表面的受光面積、提高太陽能電池的轉(zhuǎn)換效率等，需要相應的理論作支撐。減小低柵線空間尺寸，一般會增加其對應的電阻，但詳細的影響機理有待研究。以前研究柵線的電導率時，常將屬柵線作為塊狀材料，不考慮金屬柵線不同于塊狀材料的表面散射、接觸散射、電子隧道等特性。文獻[8-9]在F-S理論基礎(chǔ)上，考慮表面和晶界的散射，提出了電導率與厚度的關(guān)系式，主要針對薄膜電導率的尺寸效應。另外，金屬電導率與材料中電子自由程有關(guān)，研究電子自由程與空間尺寸的關(guān)系，可給出電導率與空間尺寸的理論表達。早期的Fuchs-Sondheimer理論模型只考慮了邊界散射；Mayadas-Shatzkes 模型雖然考慮了晶界散射，但它同樣是針對超薄膜結(jié)構(gòu)，并有很多假設(shè)[10]。目前，關(guān)于柵線中自由程、電導率與空間尺寸的關(guān)系的文獻很少。

尋找更好的設(shè)計方案和技術(shù)線路，降低柵線面積，增加電池片的受光面積，盡量使更多的光子進入太陽能電池中，是未來太陽能電池線柵研究的一個方向。本文根據(jù)電子自由程的定義，給出柵線空間尺寸對電子自由程影響的物理模型，研究了空間尺寸對電子自由程和電導率的影響，給出空間太陽能電池柵線可能的極限尺寸，可為太陽能電池線柵的研究提供參考。

1 金屬柵線中電子自由程理論模型

1.1 金屬柵線空間尺寸小于100 nm

金屬材料中電子自由程一般40～50 nm。當金屬柵線高度和寬度小于100 nm時，對應的電導率會受二維空間尺寸的影響。金屬電導率取決于電子平均自由程，金屬中電子平均自由程越長，材料電導率越大；反之，電子平均自由程越短，材料電導率越小。

為便于研究，以電子自由程為半徑畫出自由程球，自由程球在線柵中與線柵重疊的部分分為1、2、3區(qū)。其中：1、2區(qū)完全相同；3區(qū)是自由程球與線柵重疊部分并扣除4個球冠后的空間。設(shè)線柵的高度和寬度相同，均為d，不影響理論研究結(jié)果。

柵線尺寸效應如圖1所示。圖1中：柵線的高度和厚度均為d；OA與金屬塊狀材料中電子平均自由程λ相等。以O(shè)A為半徑作一個自由程球，則由點O出發(fā)的自由電子運動到柵線表面會發(fā)生碰撞，碰撞回到柵線中再與其他電子相撞，從而影響電子的自由程。

上述模型中自由程球的體積為

(1)

對圖1中完全相同的1、2區(qū)，即柵線空間和自由程球的重疊區(qū)的體積相當于一個球冠，約等于圖2所示的體積，則對應的體積

(2)

比較圖1、2，可發(fā)現(xiàn)式(2)中對應參數(shù)的表達式為

(3)

將(3)代入式(2)，則得球冠的體積為

(4)

圖1中自由程球與線柵重疊部分并扣除4個球冠后的體積(相當于圖1中的第3區(qū))

則，柵線中能提供給電子自由運動體積為

(5)

由于線柵邊界限制，電子實際自由運動空間變小，則會導致電子自由程減少。根據(jù)電子自由程的定義，本文提出柵線中電子自由程應修正為

(6)

由金屬電導率與自由程的關(guān)系可得金屬柵線電導率

(7)

因塊狀金屬電導率σ0=kλ(此處：k為比例常數(shù))，則式(7)可變?yōu)?/p>

(8)

對應的電阻率公式修正為

(9)

式中：ρ為金屬柵線電阻率。

1.2 金屬柵線空間尺寸大于電子自由程時

當金屬柵線的空間尺寸遠大于電子自由程時，圖2中僅有柵線表面層，或圖3中粗實線圍成的1、2區(qū)的電子才能與邊界發(fā)生相撞，從而影響對應的自由程。為使1、2 區(qū)域中的電子不與邊界發(fā)生相撞，須多出無任何電子的空間，如圖3中點線與柵線表面圍成的3、4區(qū)，這相當于多給出的虛擬空間。若柵線存在這部分虛擬空間，則柵線中1、2 區(qū)的電子不會發(fā)生與邊界發(fā)生相撞。

由此模型，則電子與邊界不發(fā)生相撞所需的體積

V=(d+λ)2l

(10)

式中：l為柵線的長度。電子真正能活動空間的體積

V2=d2l

(11)

因邊界有碰撞，故電子自由程表達式修正為

(12)

將式(12)代入電導率公式中，其柵線的電導率

(13)

式中：σ0為塊狀金屬的電導率。

2 討論

2.1 不同空間尺寸的柵線平均自由程與電阻率

由圖1推導出的式(6)、(9)，若柵線高度和寬度超過2倍的自由程，則式(6)、(9)中的根號內(nèi)為負數(shù)，兩式無意義。因此，式(6)、(9)的使用條件是柵線高度和寬度必須小于2倍的自由程。對柵線高度和寬度小于2倍的自由程時，用式(6)，計算機模擬所得不同自由程的柵線高度和寬度(均相同)如圖4所示，其中金、銀和銅塊體材料對應的電子自由程分別為40，30，20 nm。由圖4可知：柵線高度和寬度小于2倍的自由程時，柵線中電子平均自由程將隨其高度和寬度增加而增大；反之，則變小。當高和寬度都超過2倍的自由程時，若不考慮邊界對電子自由程的影響，則柵線電子平均自由程將達到塊體材料的自由程，其自由程為一常量(如圖4中三條曲線的直線部分)。

由式(9)和金、銀、銅的σ0(分別為0.020 65，0.015 9，0.016 7 Ω·mm2/m)，計算機模擬可得不同空間尺寸的柵線電阻率如圖5所示。由圖5可知：隨著金柵線高度和寬度的增加，電阻率不斷降低，電導率不斷增大。當d超過40 nm時，電阻率是一條趨向于零的直線。

2.2 柵線邊界對平均自由程影響

當柵線空間尺寸遠大于塊體材料平均電子自由程時，用式(12)，計算機模擬出不同柵線厚度的自由程和電導率如圖6所示。其中：圖6(a)是式(12)中的d在100～10 000 nm間的關(guān)系曲線；圖6(b)是式(12)中的d在100～1 000 nm的關(guān)系曲線。由圖6(b)可知：當柵線的高度和寬度為100～300 nm時，高度和寬度對電子自由程有影響，柵線中電子平均自由程隨其對應的高度和寬度增加而增大；當柵線的高度和寬度為300～800 nm時，高度和寬度對電子自由程影響程度逐漸減小，柵線中電子平均自由程將隨其對應的高度和寬度增加而緩慢增大；當柵線高度和寬度大于800 nm時，自由程將達到塊體材料的自由程，如圖6(a)所示。

柵線邊界對其電導率影響的關(guān)系如圖7所示。其中：圖7(a)是式(13)中的d為100～10 000 nm的結(jié)果；圖7(b)是式(13)中的d為100～1 000 nm的結(jié)果。由圖7(b)可知：柵線空間尺寸的大小對其電導率有影響,其影響程度隨空間尺寸不同而各異，當柵線的高度和寬度為100～300 nm時，柵線電導率隨其對應的高度和寬度增加而增大；當柵線的高度和寬度為400～800 nm時，柵線電導率隨其對應的高度和寬度增加而緩慢增大，如圖7(b)所示；當柵線高度和寬度大于800 nm時，電導率將達到塊體材料的電導率，如圖7(a)所示。

綜上所述，理論上太陽能電池柵線高度和寬度可為800 nm?？紤]柵線中存在孔洞、雜質(zhì)等對自由程的影響，其極限寬度最小可為1 000 nm左右，使電池表面收集到更多的光子，以提高其轉(zhuǎn)換效率。

3 結(jié)論

本文給出了柵線尺寸影響柵線中電子平均自由程的物理模型，推導了不同條件下柵線中自由電子平均自由程的計算公式。研究表明：當空間尺寸小于2倍的自由程時，柵線中電子平均自由程隨空間尺寸的增加而快速增大，反之，則快速減小；當柵線高度和寬度尺寸大于100 nm時，柵線中邊界對電子平均自由程和對應的電導率有影響，空間尺寸不同，影響程度不同；當柵線高度和寬度為800 nm時，電導率達到極限值。研究所得的此結(jié)論對空間太陽能電池線柵的研究有一定的參考意義。

[1] 楊樂, 高華. 太陽電池柵線優(yōu)化設(shè)計[J]. 光電技術(shù)應用, 2012, 27(1): 41-44.

[2] 施小忠, 汪樂, 夏冠群. 太陽電池柵線的設(shè)計[J]. 電子學報, 1999, 27(11): 126-127.

[3] 牛源, 卞寶安, 楊健, 等. 網(wǎng)版參數(shù)對單晶硅太陽電池柵線印刷的影響[J]. 半導體技術(shù), 2012(12): 37-41.

[4] 許鴻雁, 張景洋, 李景, 等. 絲網(wǎng)印刷網(wǎng)版對太陽電池片細柵線高度及電池性能的影響研究[J]. 太陽能, 2014(3): 34-36.

[5] 劉翔. 太陽能電池柵線電極的優(yōu)化設(shè)計[J]. 新能源, 1998(5): 9-13.

[6] ZOU J, YIP H L, HAU S K, et al. Metal grid/conducting polymer hybrid transparent electrode for inverted polymer solar cells[J]. Applied Physics Letters, 2010, 96(20): 203301.

[7] LIU W, LI Y, CHEN J, et al. Optimization of grid design for solar cells[J]. Journal of Semiconductors, 2010, 31(1): 42-45.

[8] 范平, 伍瑞鋒, 賴國燕. 連續(xù)金屬柵線的電阻率研究[J]. 真空科學與技術(shù), 1999, 19(6): 445-451.

[9] 范平. 超薄金屬膜的電導特性[J]. 金屬學報, 1999, 19(6): 445-451.

[10] MAYADAS A F, SHATZKES M. Electrical-resistivity model for polycrystalline films: the case of arbitrary reflection at external surfaces[J]. Physical Review B, 1970(1): 1382-1389.

TheoreticalResearchofLimitSizeofMetallicGridinSpaceSolarCell

LIU Jia-xin1， FENG Shi-meng1， LEI Gang2， GU Meng-qi1， GONG Xiao-tong1， ZHONG Xiao-xia1

(1. Department of Physics and Astronomy, Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China;2. Shanghai Institute of Space Power-Source, Shanghai 200245, China)

The influence of space size of metal grid line on the electron mean free path and conductivity were studied theoretically in this paper. The physical models to describe the effect of metal grid line’s space size on the mean free path and conductivity were established with the conditions considered in which the first was the gird line size smaller than 100 nm and the second was the gird line size lager than electronic free path. The formula for calculating the electron mean free path and conductivity in the grid line was derived. Computer simulations show that both the mean free path and the electronic conductivity rapidly increase with the increase of space size of the grid line when the grid size is very small (smaller than 2 times of electronic free path). Inverse, the mean free path and the electronic conductivity will rapidly decrease. The different size has different influence. When the size of the gate line space is more than 100 nm, the boundary of the gate line also has an influence on the electronic free path and conductivity. The corresponding free path and conductivity increase with the increase of the height and width of the gate. When the height and width of the gate line reach 800 nm, the electronic free path and conductivity reach the maximum value. In theory, the height and width of the solar cell can be 800 nm, which is a direction for the preparation of the solar cells.

space solar cell; metal grid line; spactial dimension; grid line boundary; mean free path; electronic conductivity; physical model; free electron

2016-11-14;

2017-05-21

國家自然科學基金資助(11275127)；航天先進技術(shù)聯(lián)合研究中心資助(USVAST2015-28)

劉嘉欣(1995—)，女，碩士生，主要研究方向為材料表面物理。

1006-1630(2017)06-0115-05

TM914.4

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.06.018