王宏偉， 劉玉軍

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 河南 安陽 455000)

帶非局部擾動項的KdV方程的臨界正則性

王宏偉， 劉玉軍

(安陽師范學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 河南 安陽 455000)

雙線性估計; Bourgain空間; 臨界正則性

本文研究如下帶非局部擾動項的KdV方程的Cauchy問題

(1)

其中,u=u(x,t)是未知函數(shù),H表示Hilbert變換

y.

這類帶非局部擾動項的KdV方程是L. A. Ostrovsky等[1]在研究分層剪切流中非線性長波的輻射不穩(wěn)定性問題時提出的數(shù)學模型.

1 解空間和線性估計

A、B是2個正數(shù),用AB表示存在c>0,使得A≤cB;如果c是一個充分小的正數(shù),則用A?B來表示;當ABA時,記為A∽B.對u=u(x,t)∈S′(R2),Fxu或表示對空間變量x的Fourier變換或Fu表示時空Fourier變換.光滑函數(shù)η∈滿足η≥0,suppη?[-2,2],在[-1,1]上η≡1.定義φ(ξ)=η(ξ)-η(2ξ).N、L是二進制變量,即它們的取值是2n,n∈Z.定義算子PN為定義ψL(τ,ξ)=φL(τ-ξ3),即

考慮與方程(1)等價的積分方程

(2)

u(t)=η(t)[W(t)φ-

(3)

與方程(1)相聯(lián)系的一般的Bourgain空間Xs,b范數(shù)的定義是

‖u‖Xs,b=

‖u‖Xs,b,q=

‖u‖X+Y=inf{‖u1‖X+‖u2‖Y:

u1∈X,u2∈Y,u=u1+u2}.

由空間Ss的定義,易知[7]如下引理.

(4)

(5)

利用Bourgain空間的理論,可以證明下面2個線性估計[7].

引理3定義線性算子

Lf(x,t)=

2 非線性估計

(6)

證明由空間S和N的定義,得到：

對u和v進行二進制分解有

(7)

為估計上式的右端,根據(jù)N、N1、N2的相對大小關系,需要分3種情況來計算:(a)N∽N2,N1N;(b)N∽N1,N2N;(c)N∽N1∽N2.根據(jù)對稱性,(a)和(b)的計算是相同的,因此,只須估計(a)和(c).

1) 如果N∽N2,N1N,此時(7)式右端可以改寫為

定理2轉化為證明如下不等式

(8)

對左邊進行二進制分解有

PN?x(PuPNv)=PNQL?x(PN1QL1uPNQL2v).

首先考慮最簡單的情況N11.利用空間的部分和Bernstein不等式,有

當NN11時,根據(jù)L、L1、L2的相對大小,分3種情況來討論.

(i)Lmax=L.此時,有LN2N1,由的定義和估計(4)、(5)式，可以得到

(ii)Lmax=L1.此時,有2種情況L1∽N2N1或L1∽LmedN2N1.如果L1∽N2N1,則

如果L1∽LmedN2N1,則Lmed=L2或Lmed=L,L1∽L∽Lmax∽Lmed的情況在Lmax=L時已經討論過了,因此不妨假定Lmed=L2,此時有

(iii)Lmax=L2.此時,L2∽N2N1,與前面的討論類似,可以得到

2)N?N1∽N2.此時,應用如下二進制分解

PN?N1?x(PN1uPN1v)=

由L1、L2的對稱性,不妨假定L1≥L2.低頻N1的情況容易計算

當N1時,分2種情況來證明結論.

(i)Lmax=L.此時,LN.如果對某個充分小的ε>0,有L1N1N2-ε,那么

當L2N1N2-ε時,與上面的估計相似.以下假定L1、L2N1N2-ε,此時有

最后,當L1∽L2時,得到

3 主要定理的證明

‖u‖Z=

對任何θ>0,存在μ=μ(θ)>0,使得對任何支集在[-T,T]內的光滑函數(shù)f有[7]

(9)

(10)

定義解映射

下面證明Γ(u)是壓縮的.

首先證明存在0

‖L?x(uv)‖Z‖u‖Z‖v‖Z.

(11)

把(11)式的左端分成3部分

‖L?x(uv)‖Z‖

由引理3和定理2可知

由(10)式可以得到

Tμ‖u2‖S 0‖v2‖S 0Tμα-2‖u‖Z‖v‖Z,

Tμα-1‖u‖Z‖v‖Z.

合并以上3個估計有

‖L?x(uv)‖Z

(1+(α-2+α-1)Tμ)‖u‖Z‖v‖Z,

即當T∽α2≤1時(11)式成立.

下面把初值分解為低頻和高頻2部分,即φ=Pφ+P?Nφ.取定β>0,令N充分大,可以得到

由引理1,‖η(·)W(·)P?Nφ‖Zβ.另外,根據(jù)Z的定義有

‖η(·)W(·)P?Nφ‖S 0

α‖Pφ‖L2‖

適當選取充分小的β,使得α‖則Γ(u)是Z上的一個壓縮映射.定理1得到證明.

致謝安陽師范學院科研培育基金(AYNU-KP-B04)對本文給予了資助,謹致謝意.

[1] OSTROVSKY L A, STEPANYAMS Y A, TSIMRING L S. Radiation instability in a stratified shear flow[J]. Int J NonLinear Mech,1984,19(4):151-161.

[2] ALVAREZ B. The Cauchy problem for a nonlocal perturbation of the KdV equation[J]. Diff Integ Eqns,2003,16(10):1249-1280.

[3] CARVAJALD X, SCIALOM M. On the well-posedness for the generalized Ostrovsky, Stepanyams and Tsimring equation[J]. Nonlinear Anal,2005,62(7):1277-1287.

[4] ZHAO X, CUI S. Well-posedness of the Cauchy problem for Ostrovsky, Stepanyams and Tsimring equation with low regularity data[J]. J Math Anal Appl,2008,344(2):778-787.

[5] MOLINET L, RIBAUD F. The Cauchy problem for dissipative Korteweg-de Vries equations in Sobolev spaces of negative order[J]. Indiana Univ Math J,2001,50(4):1745-1776.

[6] MOLINET L, RIBAUD F. The global Cauchy problem in Bourgain's type spaces for a dispersive dissipative semilinear equation[J]. SIAM J Math Anal,2002,33(6):1269-1296.

[7] MOLINET L, RIBAUD F. On the low regularity of the Korteweg-de Vries-Burgers equation[J]. Int Math Res Not,2002,37(6):1979-2005.

[8] KENIG C E, PONCE G, VEGA L. A bilinear estimate with applications to the KdV equation[J]. J Am Math Soc,1996,9(2):573-603.

[9] ZHAO X, CUI S. Local well-posedness of the Ostrovsky, Stepanyams and Tsimring equation in Sobolev spaces of negative indices[J]. Nonlinear Anal,2009,70(10):3483-3501.

[10] CARVAJAL X, PANTHEE M. Panthee, well-posedness of KdV type equations[J]. Electron J Diff Eqns,2012,2012(40):1-15.

[11] CARVAJAL X, PANTHEE M. Well-posedness for for some perturbations of the KdV equation with low regularity data[J]. Electron J Diff Eqns,2008,2008(2):1-18.

[12] PILOD D. Sharp well-posedness results for the Kuramoto-Velarde equation[J]. Commun Pure Appl Anal,2008,7(4):867-881.

[13] 林雪梅,胡勁松,劉倩. 耗散SRLW方程的一個新的守恒差分逼近[J]． 四川師范大學學報(自然科學版),2014,37(1):49-53.

[14] 廖歐,舒級,曾群香. 一類混合KdV方程的精確孤立波解[J]. 四川師范大學學報(自然科學版),2015,38(4):493-496.

[15] ESFAHANI A. Sharp well-posedness of the Ostrovsky, Stepanyams and Tsimring equation[J]. Math Commun,2013,18(2):323-335.

On the Critical Regularity of the KdV Equation with a Nonlocal Perturbation

WANG Hongwei， LIU Yujun

(SchoolofMathematicalandStatistics,AnyangNormalUniversity,Anyang455000,Henan)

bilinear estimate; Bourgain space; critical regularity

2016-03-03

國家自然科學基金(11401460)和河南省教育廳高等學校重點科研項目(14B110028、16A110007)

王宏偉(1977—), 男,副教授,主要從事偏微分方程和調和分析的研究,E-mail:wanghw@aynu.edu.cn

O175.29

A

1001-8395(2017)05-0639-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.013

2010MSC：35Q53; 35Q07

(編輯 陶志寧)