饒 峰， 柯 楓

(1.湖北商貿(mào)學(xué)院 基礎(chǔ)課部， 湖北 武漢 430079; 2.湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 武漢 430062)

拓?fù)銱ausdorff維數(shù)的一種計(jì)算方法及其應(yīng)用

饒 峰1，2， 柯 楓2

(1.湖北商貿(mào)學(xué)院 基礎(chǔ)課部， 湖北 武漢 430079; 2.湖北大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院， 湖北 武漢 430062)

介紹平面上集合的拓?fù)銱ausdorff維數(shù)的一種計(jì)算方法，此方法是根據(jù)集合的幾何特征構(gòu)造它的一個(gè)基，利用基的邊界的Hausdorff維數(shù)獲得該集合的拓?fù)銱ausdorff維數(shù).利用此方法計(jì)算了一類分形方塊的拓?fù)銱ausdorff維數(shù).

Hausdorff維數(shù); 拓?fù)渚S數(shù); 拓?fù)銱ausdorff維數(shù); 分形方塊

1 預(yù)備知識(shí)

在本文中，度量空間X的Hausdorff維數(shù)[1]記為dimHX，拓?fù)渚S數(shù)[2]記為dimtX.dimH?=dimt?=-1.拓?fù)銱ausdorff維數(shù)是最近由R.Balka等[3]提出來的一種新的維數(shù)，它是結(jié)合Hausdorff維數(shù)與拓?fù)渚S數(shù)的概念產(chǎn)生的,具有一些好的性質(zhì)，在分形研究中日益受到關(guān)注.

定義 1.1[3]令dimtH?=-1.非空度量空間X的拓?fù)銱ausdorff維數(shù)為dimtHX=inf{d:X有一個(gè)基U使得對(duì)任意的U∈U都有dimH?U≤d-1}，其中?U表示集合U的邊界.

從定義不難看出一個(gè)非空空間的拓?fù)銱ausdorff維數(shù)是0或至少為1.拓?fù)銱ausdorff維數(shù)具有單調(diào)性;對(duì)閉集具有可數(shù)穩(wěn)定性;是雙Lipschitz不變量[3].下面的2條性質(zhì)將在本文中用到.

性質(zhì) 1.2[3]對(duì)任意的度量空間X，有dimtX≤dimtHX≤dimHX.

由此性質(zhì)可知一個(gè)有限集或可數(shù)集的拓?fù)銱ausdorff維數(shù)為0.

性質(zhì) 1.3[3]X是一個(gè)非空可分度量空間，那么dimtH(X×[0，1])=dimH(X×[0，1])=dimHX+1.

拓?fù)銱ausdorff維數(shù)不是由拓?fù)渚S數(shù)及Hausdorff維數(shù)決定的，即存在2個(gè)緊度量空間X和Y，雖然dimtX=dimtY，dimHX=dimHY，但dimtHX≠dimHY[3]，因此計(jì)算集合的拓?fù)銱ausdorff維數(shù)是有意義的.

2 基的構(gòu)造

維數(shù)的計(jì)算一直是分形幾何研究的熱點(diǎn).本節(jié)介紹一種拓?fù)銱ausdorff維數(shù)的計(jì)算方法.此方法是根據(jù)集合的幾何結(jié)構(gòu)構(gòu)造出它的一個(gè)拓?fù)浠_定基的邊界的Hausdorff維數(shù)，由定義1.1得到該集合的拓?fù)銱ausdorff維數(shù)上界，再由集合的特征確定下界.如果上下界相同，則獲得該集合的拓?fù)銱ausdorff維數(shù).此方法的關(guān)鍵是構(gòu)造集合的基，先給出基的判別定理.

定理 2.1[4]設(shè)U是拓?fù)淇臻g(X，T)的一個(gè)開集族，則U是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)基，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于每一個(gè)x∈X和x的每一個(gè)鄰域Ux，存在Vx∈U使得x∈Vx?Ux.

定理 2.2 設(shè)F是R2中的子空間，開集族U如上所述，則W={U∩F:U∈U}是F的一個(gè)基.

證明 對(duì)任意p∈F和p的任意鄰域Up?F，當(dāng)|m|，n足夠大時(shí)，在{cnm}和{dnm}中分別存在2條折線，這4條折線圍成一個(gè)多邊形區(qū)域V，使p∈V，V∩F?Up，由定理2.1可知定理成立.

3 分形方塊維數(shù)的計(jì)算

分形方塊的形成與三分Cantor集類似:第一步，按照給定的D，將單位正方形[0，1]2等分為n2個(gè)小正方形，留下m個(gè)(留下的小正方形在本文圖中涂黑);第二步，將留下的每個(gè)小正方形按第一步方式再等分成n2個(gè)小正方形后留下m個(gè);如此反復(fù)下去，最后得到的極限集就是由n和D確定的分形方塊F.

本節(jié)主要計(jì)算F3，6中連通分形方塊的拓?fù)銱ausdorff維數(shù)，圖1是F3，6中10個(gè)連通分形方塊，有下面結(jié)論:

定理 3.1 F3，6中連通分形方塊的拓?fù)銱ausdorff維數(shù)都為1.為后面敘述的方便，先介紹符號(hào)空間和編碼等概念.

下面計(jì)算圖1中連通方塊的拓?fù)銱ausdorff維數(shù)，即證明定理3.1.

(a) F1

(b) F2

(c) F3

(d) F4

(e) F5

(f) F6

(g) F7

(h) F8

(i) F9

(j) F10

(a)

(b)

構(gòu)成F1的基.由于折線cnm、dnm與F1只交于有限個(gè)點(diǎn)，所以?(U∩F1)是由有限個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的，dimH?(U∩F1)≤0.由定義1.1知dimtHF1≤1.又因?yàn)镕1包含線段l，由性質(zhì)1.2知dimtHF1≥1.故dimtHF1=1.

從以上過程可以發(fā)現(xiàn)根據(jù)集合的幾何特征構(gòu)造折線段c，d是關(guān)鍵，利用它們就可以構(gòu)造分形方塊的基.在后面先構(gòu)造剩下9個(gè)分形方塊中的折線段c，d，再一起說明它們的拓?fù)銱ausdorff維數(shù)為1.

(a) F2

(b) F3

(c) F4

(d) F5

(e) F6

(f) F7

(g) F8

(h) F9

(i) F10

分形方塊F4的數(shù)字集

D4={d1，d2，d3，d4，d5，d6}=

分形方塊F5的數(shù)字集

D5={d1，d2，d3，d4，d5，d6}=

分形方塊F6的數(shù)字集

D6={d1，d2，d3，d4，d5，d6}=

分形方塊F7的數(shù)字集

D7={d1，d2，d3，d4，d5，d6}=

4 問題及展望

[1] FALCONER K J. Fractal Geometry:Mathematical Foundations and Applications[M]. 2nd. England:John Wiley,2003:31-119.

[2] HUREWICZ W, WALLMAN H. Dimension Theory[M]. Princeton:Princeton Uiversity Press,1948:12-20.

[3] BALKA R, BUCZOLICH Z, ELEKES M. A new fractal dimension:the topological Hausdorff dimension[J]. Adv Math,2015,274(1):881-927.

[4] 熊金城. 點(diǎn)集拓?fù)渲v義[M]. 北京:高等教育出版社,2011:82-83.

[5] BALKA R. Inductive topological Hausdorff dimensions and fibers of generic continuous functions[J]. Monatsh Math,2014,174(1):1-28.

[6] BALKA R, BUCZOLICH Z, ELEKES M. Topological Hausdorff dimension and level sets of generic continuous functions on fractals[J]. Chaos Solitons Fractals,2012,45(12):1579-1589.

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[8] MAULDIN R D, WILLIAMS S C. On the Hausdorff dimension of some graphs[J]. Trans Am Math Soc,1986,298(2):793-803.

[9] HYDE J T, LASCHOS V, OLSEN L, et al. On the box dimensions of graphs of typical continuous functions[J]. J Math Anal Appl,2012,391(2):567-581.

[10] FALCONER K J. On the Hausdorff dimension of distance sets[J]. Mathematika,1985,32(2):206-212.

[11] WHYBURN G T. Topological characterization of the Sierpiński curve[J]. Fund Math,1958,45(6):1090-1099.

2010 MSC: 28A80; 54F45

(編輯 陶志寧)

A Calculation Method of the Topological Hausdorff Dimension and Its Applications

RAO Feng1,2， KE Feng2

(1.FundamentalCourseDepartment,HubeiBusinessCollege,Wuhan430079,Hubei; 2.SchoolofMathematicsandStatistics,HubeiUniversity,Wuhan430062,Hubei)

A calculation method of the topological Hausdorff dimension of a set on a plane is introduced. This method is to construct a basis of the set and then use Hausdorff dimension of the boundary of the basis to obtain the topological Hausdorff dimension of this set. We calculate the topological Hausdorff dimensions of a class of fractal squares by this method.

Hausdorff dimension; topological dimension; topological Hausdorff dimension; fractal square

2016-08-24

湖北省教育廳科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(B2016480)

饒 峰(1977—)，男，講師，主要從事分形幾何的研究，E-mail:601682168@qq.com

O189

A

1001-8395(2017)04-0496-07

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.04.012