易苗,劉揚(yáng)

(1.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢430072)

(2.武漢理工大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430070)

偏微分方程邊值反問(wèn)題的數(shù)值方法研究

易苗1,劉揚(yáng)2

(1.武漢大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北武漢430072)

(2.武漢理工大學(xué)理學(xué)院,湖北武漢430070)

本文研究了奇異積分方程在反邊值問(wèn)題中的應(yīng)用問(wèn)題.利用圓周上的自然積分方程及其反演公式,把Laplace方程的邊值反問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一對(duì)超奇異積分方程和弱奇異積分方程的組合,通過(guò)選取三角插值近似奇異積分的計(jì)算并構(gòu)造相應(yīng)的配置格式,并使用Tikhonov正則化方法求解所得到的線性方程組.數(shù)值實(shí)驗(yàn)表明了該方法的有效性.

邊值反問(wèn)題;奇異積分方程;三角插值;Tikhonov正則化

1 引言

考慮二維平面圓形區(qū)域Ω上的Laplace方程的邊值反問(wèn)題

Laplace方程的邊值反問(wèn)題也稱為Cauchy問(wèn)題,這類問(wèn)題在工程技術(shù)如：地質(zhì)勘探、衛(wèi)星測(cè)量、空間遙感、目標(biāo)識(shí)別以及醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域有著深刻的應(yīng)用背景.根據(jù)已有的關(guān)于解的信息反演初值或邊界條件通常是很困難的,目前理論上還沒有統(tǒng)一的方法,因此偏微分方程的反問(wèn)題研究具有很大的挑戰(zhàn).

問(wèn)題1.1已經(jīng)被證明了是嚴(yán)重不適定問(wèn)題,即初值的任意很小的改變都會(huì)引起解的巨大改變.Belgacem[1]對(duì)Cauchy問(wèn)題的嚴(yán)重不適定性進(jìn)行了理論分析;Calder′on和Engl[2,3]研究了Cauchy問(wèn)題弱解的存在性與唯一性;文獻(xiàn)[4]證明Cauchy問(wèn)題是條件穩(wěn)定的,即在一個(gè)附加的有界條件下,問(wèn)題的解連續(xù)依賴初始數(shù)據(jù).關(guān)于Laplace方程邊值反問(wèn)題的數(shù)值方法目前已經(jīng)有了一些成果[5-7],其中Li[7]利用圓周上Hilbert變換的特殊性質(zhì)構(gòu)造了Laplace方程邊值反問(wèn)題的積分方程解法.本文主要研究奇異積分在偏微分方程邊值反問(wèn)題中的應(yīng)用,構(gòu)造求解這類問(wèn)題的一種新的數(shù)值方法,并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法的有效性.

2 邊值反問(wèn)題的數(shù)值方法

設(shè)u0=u|Γ0和g0=un|Γ0是部分邊界Γ0上的已知函數(shù)Z,u1=u|Γ1和g1=un|Γ1是部分邊界Γ1上的待定函數(shù),u和un分別滿足周期性條件=0和相容性條件.根據(jù)自然邊界歸化原理[8]可知,單位圓內(nèi)區(qū)域Ω上的調(diào)和方程滿足自然積分方程

其反演公式

是一個(gè)弱奇異積分方程.由方程(2.1)和(2.2)可得

2.1 奇異積分的數(shù)值方法

考慮超奇異積分

其中φ(θ)是以2π為周期的函數(shù).對(duì)于任意的周期函數(shù)φ(θ),其n階三角多項(xiàng)式插值可定義為

用φn(θ)分別替換(2.5)和(2.6)式中的φ(θ),得到超奇異和弱奇異積分的計(jì)算公式分別為

其中

當(dāng)φ(θ)足夠光滑時(shí),公式(2.8)和(2.9)是非常精確的,有關(guān)它們的詳細(xì)討論可以參見文獻(xiàn)[9].

2.2 積分方程的配置法

并假設(shè)它滿足相容性條件利用三角插值積分公式(2.8)逼近超奇異積分方程(2.12),取配置點(diǎn)βi(0≤i≤2n)并排列所得到的方程,由此可以得到如下線性方程組

或?qū)懗删仃嚨男问?/p>

并且φi(i=0,1,···,2n)表示函數(shù)φ在配置點(diǎn)βi處的近似值.矩陣A一般是奇異的,為了求解線性方程組(2.13)或(2.14),通常需要選取某種正則化方法去求解.

對(duì)于弱奇異積分方程

利用三角插值積分公式(2.8)逼近超奇異積分方程(2.15),取一系列配置點(diǎn)βi(0≤i≤2n)并排列所得到的方程,由此可以得到如下線性方程組

或?qū)懗删仃嚨男问?/p>

其中

并且φi(i=0,1,···,2n)表示函數(shù)φ在配置點(diǎn)βi處的近似值.矩陣B一般也是奇異的,為了求解它也需要正則化之后才能求解.

2.3 正則化

利用配置法求解(2.3)或(2.4)會(huì)得到兩個(gè)線性方程組,其矩陣形式為

其中u是方程(2.3)或(2.4)中未知量近似值的列向量,F是由方程(2.3)或(2.4)右端表達(dá)式計(jì)算的邊界Γ0上的已知值.方程(2.18)通常是一個(gè)嚴(yán)重的病態(tài)方程組,假如邊界Γ0上沒有足夠多的信息或方程的右端項(xiàng)含有一定的噪聲,無(wú)法用方程(2.18)求解另一部分邊界Γ1上所需要的信息.

為了求解方程(2.18),采用Tiknonov正則化方法.令

其中α＞0是正則化參數(shù),L是離散的一階線性微分算子.上式的解可以寫成矩陣的形式如下

求解這個(gè)方程即可得到邊值反問(wèn)題的近似解.這里關(guān)于最優(yōu)正則化參數(shù)α的選取可以參考文獻(xiàn)[10].

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

下面給出兩個(gè)數(shù)值算例來(lái)驗(yàn)證上節(jié)中提出的邊值反問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算方法.

數(shù)值算例1考慮邊值反問(wèn)題(1.1),其中u0=3cos2x+4sin2x,un=6cos2x+8sin2x,分別計(jì)算了Γ0=[0,π],Γ0=[0,π/2]和Γ0=[0,π/4]三種情況,其結(jié)果見圖1-3.

圖1：當(dāng)Γ0=[0,π]時(shí)邊值反問(wèn)題的數(shù)值解與精確解：(a)u0(s)的圖像,(b)un(x)的圖像.

圖2：當(dāng)Γ0=[0,π/2]時(shí)邊值反問(wèn)題的數(shù)值解與精確解：(c)u0(s)的圖像,(d)un(x)的圖像.

圖3：當(dāng)Γ0=[0,π/4]時(shí)邊值反問(wèn)題的數(shù)值解與精確解：(e)u0(s)的圖像,(f)un(x)的圖像.

圖4：當(dāng)Γ0=[0,π/4]時(shí)邊值反問(wèn)題的數(shù)值解與精確解：(g)u0(s)的圖像,(h)un(x)的圖像.

圖5：當(dāng)Γ0=[0,π/4]時(shí)邊值反問(wèn)題的數(shù)值解與精確解：(i)u0(s)的圖像,(j)un(x)的圖像.

從圖1可以看出,當(dāng)Γ0=[0,π],即已知邊界占整個(gè)邊界一半時(shí),由超奇異積分方程和弱奇異積分方程配置法復(fù)原得到的未知邊界上的信息與其理論值高度一致,這說(shuō)明本文所提出的算法是有效的.從圖2和圖3的結(jié)果可以看出,當(dāng)已知邊界小于一半時(shí),由配置法復(fù)原得到的未知邊界上的值與理論值有一定的出入,但近似計(jì)算結(jié)果仍然復(fù)原了原邊界曲線上的波動(dòng)特征.

在實(shí)際工程中,通常測(cè)量數(shù)據(jù)都會(huì)有一定的誤差,即Γ0上的已知值會(huì)含有一定的噪聲.由于邊值反問(wèn)題已經(jīng)被證明是一個(gè)嚴(yán)重的病態(tài)問(wèn)題,任何微小的擾動(dòng)都會(huì)引起解的巨大改變.下面給出一個(gè)算例測(cè)試噪聲對(duì)數(shù)值解得影響.

數(shù)值算例2考慮例1中的邊值反問(wèn)題.分別計(jì)算了Γ0=[0,π/2]和Γ0=[0,π/4]兩種情況,同時(shí)對(duì)Γ0上的已知信息u0和g0加入2%的隨機(jī)誤差,其結(jié)果見圖4-5.

從圖4和圖5的結(jié)果可以看出,由積分方程配置法復(fù)原的數(shù)值解與精確解匹配還是非常好.同時(shí)把圖4和圖5的結(jié)果與沒有添加噪聲的復(fù)原結(jié)果相比,其變化并不太大.這也從側(cè)面印證了算法的有效性和可行性.

[1]Belgacem F B.Why is the Cauchy problem severely ill-posed[J].Inv.Prob.,2007,23(2)：823-826.

[2]Calder′on A P.Uniqueness in the Cauchy problem for partial dif f erential equations[J].Amer.J. Math.,1958,80(1)：16-36.

[3]Engl H W,Leitao A.A Mann iterative regularization method for elliptic Cauchy problems[J].Numer. Funct.Anal.Optim.,2001,22：861-864.

[4]Alessandrini G,Rondi L,Rosset E,Vessella S.The stability for the Cauchy problem for elliptic equations[J].Inv.Prob.,2009,25：123-134.

[5]Cao H,Pereverzev S V.The balancing principle for the regularization of elliptic Cauchy problems[J]. Inv.Prob.,2007,23(5)：1943.

[6]Chapko R,Johansson T.An iterative method based on boundary integrals for elliptic Cauchy problems in semi-inf i nite domains[J].J.Publ.Date.,2009,7(1)：1-12.

[7]Li H J,Feng X S,Xiang J,et al.New approach for solving the inverse boundary value problem of Laplace’s equation on a circle：Technique renovation of the Grad-Shafranov(GS)reconstruction[J]. J.Geophy.Res.：Space Phys.,2013,118(6)：2876-2881.

[8]Yu D.Natural boundary integral method and its applications[M].Holland：Springer Science& Business Media,2002.

[9]Belotserkovsky S M,Lifanov I K.Method of discrete vortices[M].Russian：CRC Press,1992.

[10]Ramm A G.Dynamical systems method for solving operator equations[J].Commun.Nonl.Sci. Numer.Simul.,2004,9(4)：383-402.

[11]孫萍,馮曉莉.一種求解修正的Helmholtz方程Cauchy問(wèn)題的數(shù)值方法[J].數(shù)學(xué)雜志,2011,31(4)：756-762.

NUMERICAL METHODS FOR SOLVING INVERSE BOUNDARY VALUE PROBLEM OF PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION

YI Miao1,LIU Yang2
(1.School of Mathematics and Statistics,Wuhan University,Wuhan 430072,China) (2.School of Science,Wuhan University of Technology,Wuhan 430070,China)

In this paper,we study the application problem of singular integral equation in the inverse boundary value problem.Using the natural integral equation and its inversion formula on a circle,we transformed the Laplace equation inverse boundary value problem into a combination of a hypersingular integral equation and a weakly singular integral equation,then construct the corresponding collocation scheme based on the trigonometric interpolation,and use the Tikhonov regularization to solve the resulting linear equations.Numerical experiments show the ef f ectiveness of the method.

inverse boundary value problem;singular integral equation;trigonometric interpolation;Tikhonov regularization

O241.83

A

0255-7797(2017)05-1040-07

2016-01-09接收日期：2016-04-15

國(guó)家自然科學(xué)基金(11201358);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助(2015IA007).

易苗(1990-),女,湖北宜昌,碩士,主要研究方向：偏微分方程數(shù)值解.

2010 MR Subject Classif i cation：65D30;65N21