趙顯貴，張國庭

（惠州學院 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院, 廣東 惠州 516007）

交換環(huán)上保持矩陣k冪等的映射1

趙顯貴2，張國庭

（惠州學院 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院, 廣東 惠州 516007）

域上的矩陣保持問題是矩陣代數(shù)中一個活躍的研究領域, 并取得豐碩的成果.本文研究交換環(huán)上的矩陣保持問題, 刻畫了交換環(huán)上的全矩陣空間和上三角矩陣空間中保持矩陣 k冪等的映射.我們的結果推廣了已有的若干結論.

矩陣保持問題; k冪等矩陣; 全矩陣空間; 上三角矩陣空間

1 引言

矩陣論是代數(shù)學分支中的一個重要研究方向.在矩陣理論中, 矩陣保持問題是一個活躍的研究領域,取得了豐碩的研究成果[1-10].矩陣保持問題主要研究保持矩陣某種特性的映射.例如, 保持行列式的映射[1],保持冪等的映射[2-6], 保持對合的映射[4]等等.根據(jù)研究的矩陣空間, 保持問題可分為: 全矩陣空間的保持問題[1], 上三角矩陣空間的保持問題[2], 對稱矩陣空間的保持問題, Hermitian矩陣空間的保持問題等.根據(jù)研究的映射的性質, 保持問題可分為: 加法保持問題,線性保持問題[4-5]等.根據(jù)矩陣空間的基礎域, 保持問題可分為: 域上的矩陣保持問題[1-3,6,10],環(huán)上的矩陣保持問題[5,9], 半環(huán)上的矩陣保持問題[8]等.

目前, 對于域上的矩陣保持問題已取得了大量的研究成果[1-3,6,10].特別地,文獻[3]刻畫了域上全矩陣空間的保持k 冪等映射的形式.本文將研究交換環(huán)上的全矩陣空間和上三角矩陣空間的保持k 冪等映射的形式,從而推廣文獻[3]的結論.由于在一般的交換環(huán)中, 不能像在域中一樣可求任意非零元的逆元, 本文的結論及其證明與文獻[3]中對應的定理有所不同.

2 預備知識

3 保持k冪等的映射

上述推論推廣了文獻[3]中的定理2.3.

3.2 上三角矩陣空間上保持冪等的映射

類似推論2, 我們有下面的推論.

[1] 樊玉環(huán), 魏喆, 修濤.域上特殊矩陣空間的保持行列式的函數(shù)[J].齊齊哈爾大學學報：自然科學版, 2016(2):81-83.

[2] 樊玉環(huán), 王佩臣.域上上三角矩陣空間的保持冪等的函數(shù)[J].河北科技大學學報, 2013 (3):200-203.

[3] 關麗杰.域上矩陣冪零及冪等性保持函數(shù)[D].哈爾濱： 黑龍江大學, 2012.

[4] 趙青.保冪等算子的線性映射[D].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學, 2013.

[5] 曹重光.除環(huán)上矩陣保冪等的線性算子[J].科學通報, 1993(4):302-304.

[6] 曹重光, 張顯, 劉國桐.保特征2的域上冪等矩陣的線性算子[J].數(shù)學研究與評論, 1996 (1):147-149.

[7] 張顯, 曹重光.交換整環(huán)上的上三角矩陣保對合的線性算子[J].數(shù)學雜志, 1995(3):297-300.

[8] 任苗苗.幾類保持半環(huán)上矩陣不變量的線性算子[D].西安：西北大學, 2012.

[9] 楊巍.交換整環(huán)上三角矩陣的線性保持算子[D].哈爾濱：黑龍江大學, 2007.

[10] 曹重光, 陳濤.保域上立方冪等矩陣的線性映射[J].數(shù)學研究, 2004(3):299-303.

[11] BROWN W C. Matrices over commutative rings [M], Marcel Dekker Inc., 1993.

【責任編輯：吳躍新】

Mappings Preserving k Idempotence of Matrices over Commutative Rings

ZHAO Xiangui，ZHANG Guoting
(School of Mathematics and Big Data Science, Huizhou University, Huizhou 516007, Guangdong, China)

Preserving problems of matrices over fields are actively studied.In this paper，we investigate preserving problems of matrices over a commutative ring.We characterize mappings preserving k idempotence of matrices in the full matrix space and upper triangular matrix space over a commutative ring.Our results extend an existing theorem.

preserving problem of matrices; k idempotent matrix; full matrix space; upper triangular matrix space

A

1671 - 5934 (2017)03 - 0019 - 06

2017 - 05 - 20

廣東省自然科學基金 (2016A030310099); 惠州學院教博科研啟動基金(2015JB021)

趙顯貴（1984 - ）, 男, 四川達州人, 講師, 博士, 研究方向為代數(shù)學, Email: zhaoxg@hzu.edu.cn