張永軍

（合肥學(xué)院 學(xué)報編輯部，安徽 合肥 230601）

[數(shù)學(xué)與統(tǒng)計]

一類二階三點邊值問題的正解

張永軍

（合肥學(xué)院 學(xué)報編輯部，安徽 合肥 230601）

利用錐上拉伸與壓縮不動點定理，研究了一類二階三點非線性邊值問題以及該系統(tǒng)正解的存在性，得到了存在正解的幾個充分條件。

不動點定理；三點邊值問題；錐

0 引 言

微分方程中一個重要研究方向，即常微分方程的邊值問題，目前，數(shù)學(xué)和物理學(xué)中的許多研究成果已經(jīng)出現(xiàn)了許多二階非線性微分方程的多點邊值問題。因此，近年來二階三點邊值問題成為許多學(xué)者與專家研究的熱點，且得到了許多有意義的 結(jié) 果 ， 可 參 閱 文 獻[1-8]。 文 獻[7]利 用 錐 上 的 不 動 點定理，在滿足次線性或超線性條件下，討論了如下系統(tǒng)

的 正 解 性 質(zhì) 。 文 獻[8]針 對 一 類 二 階 非 線 性 常 微 分 方程三點邊值問題。

給 出 了 該 系 統(tǒng) 平 凡 解 的 存 在 性 結(jié) 論 ， 受 文 獻[7-8]的啟發(fā)，本文研究了如下一類非線性二階三點邊值問題的正解的存在性，其中 f∶[0.1]×[0，+∞）→R 連續(xù)，0＜ η＜1，α＞0 均為常數(shù)。 最終給出系統(tǒng)（1）（2）正解存在性的充分條件。

1 預(yù)備知識

首先給出幾個引理。

引理 1[7]：設(shè)，α≠1 則對 σ∈C[0，1]，邊值問 題有唯一解

唯一解滿足：

引 理 2[7]： 設(shè) ，α≠1， 則 對 σ∈C[0，1]，σ≥0 則 邊值問題（3）（2）的

為了討論邊值問題（1）（2）的正解的存在性，我們主要利用下面的范數(shù)形式的錐拉伸與錐壓縮不動點定理。

引 理 3[9]：設(shè) E 是一個 Banach 空間 ，K 是 E 中 的一個錐，Ω1，Ω2是 E 中的有界開集，0∈?Ω2，又 A∶K∩→K 是一個全連續(xù)算子。 如果滿足條件

2 主要結(jié)果

記 E=C[0，1]，則 E 是 一 個 Banach 空 間 ，定 義其范數(shù)為，則 K 是 E 中的一個錐。

定義算子 A∶E→E 如下：

由引理 1 知，若算子 A 在 E 中存在不動點，則邊值問題（1）（2）在 E 中必存在正解。

定理 1： 假設(shè) f （t，u）∶[0，1]×[0，+∞]→[0，+∞]連續(xù)。若條件成立 ，則 邊值 問 題（1）（2）在 E 中 至 少 存 在 一 個正解。

證明：由引理 2，AK?K，由算子 A 的定義 g（t，u） 的連續(xù)性不難證明算子 A是E中的一個全連續(xù)算子。

假設(shè)條件（H1）成立，故可選取 ε1＞0，使得 ε1＜2（1-α），則 由等式知，存在 r1＞0 使得對任意的 0≤u≤r1≤有 f（t，u）≤ε1u

記 Ω1={u∈E∶||u||＜r1}，則對?u∈K∩?Ω1，有 0≤u（t）≤||u||=r1，從而

從而，當(dāng) u∈K∩?Ω1時有||Au||≤||u||

另一方面，選取 ρ1＞0，使得，則由等式知，存在 R1＞0（R1＞r1），使得對任意的 u≥R1有 f（t，u）≥ρ1u

于是，當(dāng) u∈K∩?Ω2時有||Au||≥||u||。 故由引理3 知， 算子 A 存在一個不動點 u0∈K∩（Ω2Ω1），也即邊值問題（1）（2）至少存在一個正解。

假設(shè)條件（H2）成立。

首 先 ， 選 取 ρ2＞0， 使 得，則由知，存在 r3＞0，使得 當(dāng) 0＜u＜r3時 f（t，u）≥ρ2u。

記 Ω3={x∈E ∶||x||＜r3）， 則 當(dāng) u ∈K ∩?Ω3時 有0≤u（t）≤||u||=r3，t∈[0，1]，從而有

另一方面，選取 ε2＞0，使得則由等知 ， 存 在 R2＞0（R2＞r3） 使 得 對 任意的 u＞R2有 f（t，u）≤ε2u。

故由引理 3 知，算子 A 存在一個不動點 u0∈K∩，也即邊值問題（1）（2）至少存在一個正解。

[1]Li Ren-gui,Liu Li-shan.Positive solutions of Boundary Value Problems for Second-order Singular Nonlinear Differential Equations[J].Applied Mathematics and Mechanics，2001，22(4):495-500.

[2]楊 海 艷 ，陳 海 波.二 階 三 點 邊 值 問 題 正 解 的 存 在 性[J].數(shù) 學(xué)理論與應(yīng)用，2008，28（3）：97-102.

[3]Liu J，F(xiàn)eng H Y.Positive solutions for a second-order threepoint boundary value problem[J].Journal of Natural Science of Heilongjiang Universsity June，2015，32(3):325-329.

[4]李淑紅.二階三 點邊值問題 正解的存在 性[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報，2007，22（4）：441-446.

[5]馬巧珍.非線性 三點邊值問 題正解的存 在 性[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2001，3（2）：178-182.

[6]許也平，李淑 紅.一類次 線 性三點邊 值 問題正解 的 存在性[J].麗水學(xué)院學(xué)報，2006，28（5）：1-4.

[7]馬巧珍.非線性 三點邊值問 題正解的存 在 性[J].應(yīng)用泛函分析學(xué)報，2001，3(2):178-182.

[8]李淑紅.一類二 階非線性方 程三點邊值 問 題 解 的 存 在 性[J].麗水學(xué)院學(xué)報，2005，27（2）：1-3.

[9]郭 大 均.非 線 性 泛 函 分 析[M].濟 南 ：山 東 科 學(xué) 技 術(shù) 出 版 社 ，2001.

責(zé)任編輯：胡德明

A Study on a Kind of Second-order Three-point Boundary Value Problem's Positive Solutions

Zhang Yongjun
(Editorial Department of School Journal,Hefei University,Hefei 230601,China)

By utilizing a fixed point theorem on a cone in Banach space,the existence of positive solutions for a kind of nonlinear second-order three-point boundary value problem is studied in this paper, and obtained some sufficient conditions for the existence of positive solufive solutions.

fixed point theorem;three-point boundary value problem;cone

O175

：A

：1672-447X（2017）03-0001-03

2017-04-21

張永軍（1975-），安徽合肥人，合肥學(xué)院學(xué)報編輯部副編審。