朱 一 文

初唐的數(shù)學(xué)與禮學(xué)*
——以諸家對《禮記·投壺》的注疏為例

朱 一 文

傳世文獻中有兩條線索刻畫了中國古代禮與數(shù)學(xué)的密切關(guān)系：一條線索是《周禮》所述“六藝”之一為“九數(shù)”(即數(shù)學(xué))，由此被后世學(xué)者逐漸擴展為數(shù)學(xué)是禮學(xué)或儒學(xué)的一部分；另一條線索是《左傳》所云“王命諸侯，名位不同，禮亦異數(shù)”，由此被理解為禮數(shù)與政治等級相關(guān)，并進而以數(shù)學(xué)安排之。從孔穎達與甄鸞、李淳風等對《禮記·投壺》的注疏看，兩方對同一經(jīng)文及鄭玄注運用了不盡相同的數(shù)理解釋。具體來說，有計算方式與結(jié)果、注疏體例與目的等方面的不同；尤其是前者通過書寫計算，而后者使用算籌。基于其他文獻中也有類似的情形，兩方的差異具有一般性。因此，《周禮》所述更多反映了周代數(shù)學(xué)與禮學(xué)的關(guān)系，而后世的發(fā)展導(dǎo)致算經(jīng)數(shù)學(xué)與儒經(jīng)數(shù)學(xué)各自逐漸成為相對獨立的體系，并且后者與禮學(xué)的關(guān)系更為密切；《左傳》所云側(cè)重關(guān)于政治等級的禮數(shù)，而未述其關(guān)于禮器尺寸的一面。漢代以降，投壺由禮儀向游戲漸變，出土實物與傳世繪畫印證了其形制的變化；諸家對相關(guān)經(jīng)文的解釋就逐漸偏離了實際，而轉(zhuǎn)為相對純粹的文本學(xué)術(shù)探討。在初唐恢復(fù)古禮、注疏儒家、算家經(jīng)典的歷史背景下，數(shù)學(xué)與禮學(xué)的關(guān)系實際處于文本與現(xiàn)實的多重張力之中。

數(shù)學(xué)； 禮學(xué)； 投壺；《禮記》； 《五經(jīng)筭術(shù)》

一、引言：關(guān)于數(shù)學(xué)與禮學(xué)的兩條線索

中國古代，禮與數(shù)學(xué)有密切的關(guān)系。傳世經(jīng)典中有兩條線索可以用來識別兩者的聯(lián)系：一方面，傳本《周禮·地官司徒·保氏》記載“九數(shù)”是六藝之一，漢代鄭玄注表明此九數(shù)就是與當時數(shù)學(xué)相關(guān)的九部分*《周禮》云：“保氏掌諫王惡，而養(yǎng)國子以道，乃教之六藝。一曰五禮，二曰六樂，三曰五射，四曰五馭，五曰六書，六曰九數(shù)?！编嵭ⅲ骸熬艛?shù)，方田、粟米、差分、少廣、商功、均輸、方程、贏不足、旁要。今有重差、夕桀、句股也?！?[漢]鄭玄注、[唐]賈公彥疏：《周禮注疏》，[清]阮元?？蹋骸妒?jīng)注疏》上冊，北京：中華書局，1980年，第731頁)鄭玄注的“九數(shù)”，其具體內(nèi)容已不可考，但學(xué)術(shù)界一般認為它們與漢代成書的《九章筭術(shù)》密切相關(guān)(參見郭書春匯校：《匯?！淳耪鹿g術(shù)〉增補版》，沈陽：遼寧教育出版社、臺北：臺灣九章出版社，2004年，第480—481頁)。。三國時，魏國劉徽注《九章筭術(shù)》云：“按周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流，則《九章》是矣?！?郭書春匯校：《匯校〈九章筭術(shù)〉增補版》，第1頁。據(jù)此，學(xué)界一般認為數(shù)學(xué)是周代禮制的一部分，進而亦是儒學(xué)的一部分*這一觀點在學(xué)術(shù)界有很深的淵源，幾乎成為今天的共識。典型的說法來自錢寶琮：“我們以為《九章算術(shù)》和許慎《說文解字》相仿，是東漢初年儒學(xué)的一部分，與儒家的傳統(tǒng)思想有密切關(guān)系?！?氏著：《〈九章算術(shù)〉及其劉徽注與哲學(xué)思想的關(guān)系》，李儼、錢寶琮：《李儼錢寶琮科學(xué)史全集》第9卷，沈陽：遼寧教育出版社，1998年，第688頁)。。另一方面，傳本《左傳·莊公十八年》云：“王命諸侯，名位不同，禮亦異數(shù)?！?[晉]杜預(yù)注、[唐]孔穎達等疏：《春秋左傳正義》，[清]阮元?？蹋骸妒?jīng)注疏》下冊，北京：中華書局，1980年，第1773頁。這就是一般認為的“禮數(shù)”。近來，閻步克先生認為：“中國禮制自初就顯示出了一個重要特征：濃厚的‘數(shù)字化’傾向，大量采用數(shù)列手段來區(qū)分尊卑貴賤，是所謂‘禮數(shù)’……禮制的‘數(shù)字化’，首先可能跟‘神秘數(shù)字’或‘數(shù)術(shù)’有關(guān)……‘數(shù)字化’還有一種行政與管理的意義，為精密安排身份、地位、禮遇及其變動，提供了重大便利?！?閻步克：《服周之冕——〈周禮〉六冕禮制的興衰變異》，北京：中華書局，2009年，第113—114頁。筆者同意閻先生的看法，認為禮數(shù)與數(shù)學(xué)的緊密聯(lián)系是肯定的，但我們必須拓展“中國古代數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵，從而進一步分析兩者的復(fù)雜關(guān)系。閻先生進而論證經(jīng)學(xué)家注釋經(jīng)典之時，為了安排禮數(shù)需解“不定方程”，即用到數(shù)學(xué)。

二、諸家對于《禮記·投壺》的不同注解

投壺是中國古代的一種禮儀與游戲，至遲在春秋時代便已產(chǎn)生，為射禮轉(zhuǎn)變而來*《左傳·昭公十二年》：“晉侯以齊侯宴，中行穆子相，投壺?！笨追f達等疏：“凡宴不射，即為投壺?！?[晉]杜預(yù)注、[唐]孔穎達等疏：《春秋左傳正義》，前揭書，第2062頁)鄭玄注《禮記》云：“投壺，射之類也。”([漢]鄭玄注、[唐]孔穎達等疏：《禮記正義》，前揭書，第1665頁)。從時代背景看，投壺的產(chǎn)生反映出春秋時期禮崩樂壞與文武分途的趨勢*參見揣靜：《中國古代投壺游戲研究》，陜西師范大學(xué)碩士學(xué)位論文，2010年，第5—8頁。。大體而言，早期投壺禮儀成分更多，越往后則其游戲性越高。傳本《禮記》第四十與《大戴禮記》第七十八都是專門的《投壺》篇章。《禮記》經(jīng)文對于投壺的形制與尺寸有一段論述，即：“壺頸修七寸，腹修五寸，口徑二寸半，容斗五升……”*[漢]鄭玄注、[唐]孔穎達等疏：《禮記正義》，前揭書，第1666頁?！洞蟠鞫Y記》則云：“壺脰修七寸，口徑二寸半，壺高尺二寸，受斗五升，壺腹修五寸?！迸c《禮記》基本一致。([清]王聘珍撰、王文錦點校：《大戴禮記解詁》，北京：中華書局，1983年，第244頁)這即說壺的形狀分成上下兩個圓柱體：上部分壺頸高7寸，直徑2.5寸(二寸半)；下部分壺腹高5寸，容積1斗5升(見圖1)?！抖Y記》經(jīng)文實際沒有直接給出壺腹的直徑。因此，漢代大儒鄭玄(127—200)注云：

修，長也。腹容斗五升，三分益一，則為二斗，得圜囷之象，積三百二十四寸也。以腹修五寸約之，所得。求其圜周，圜周二尺七寸有奇。是為腹徑九寸有余也……*[漢]鄭玄注、[唐]孔穎達等疏：《禮記正義》，前揭書，第1666頁。

圖1 投壺示意圖

圖2 圓與外接方圖

(一) 孔穎達等注疏

在初唐注疏《五經(jīng)》的活動中，《禮記》名列其中*初唐的《五經(jīng)》指《毛詩》《尚書》《禮記》《周易》《春秋左傳》五部儒家經(jīng)典。?？追f達等在《禮記正義》中對此段鄭玄注給出了詳盡的解釋，筆者按其內(nèi)容分成六段，開頭以甲、乙、丙、丁、戊、己標識，逐一說明*下面的六段引文，據(jù)[漢]鄭玄注、[唐]孔穎達等疏：《禮記正義》，前揭書，第1666—1667頁；并參考李學(xué)勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，北京：北京大學(xué)出版社，1999年，第1574頁。：

甲)正義曰：“腹容斗五升，三分益一，則為二斗”者，既稱“腹容斗五升”，又云“三分益一”者，以斗五升其數(shù)難計，故加三分益一為二斗，從整數(shù)計之。

甲段孔穎達等注疏鄭玄“三分益一”。孔氏等以1斗5升難以計算，故而加上1/3，得到整數(shù)2斗。

乙)云“得圜囷之象，積三百二十四寸也”者，以筭法方一寸，高十六寸二分為一升，則一斗之積方一寸，高一百六十二寸也。二斗之積為三百二十四寸也。于此壺之圜囷之中，凡有三百二十四寸也。

丙)云“以腹修五寸約之，所得”者，腹之上下高五寸，共有三百二十四寸。今且以壺底一寸約之，即于三百二十四寸之中，五分之一，得六十四寸八分也。是腹修五寸約之所得之數(shù)也。

丙段中，孔穎達等通過壺腹的體積324(立方)寸、高5寸來求壺底圓的直徑。孔氏等認為以324(立方)寸除以5寸，得到64寸8分。實際上，這個值既可以看作底面積，即64.8(平方)寸；也可以看作是高1寸、底64.8(平方)寸的圓柱體體積(即1/5的壺腹體積)，即64.8(立方)寸。在孔氏等之后的注疏中，我們可以看到：在計算面積時，此數(shù)值取面積的意義；在計算體積時，此數(shù)值取體積的意義。

丁)云“求其圜周，圜周二尺七寸有奇”者，壺底一重既有六十四寸八分，以圜求方，須三分加一。六十四寸八分，分為三分，則一分有二十一寸六分。并前六十四寸八分*依據(jù)計算及上下文，阮元刻本誤“六十四寸八分”為“六十六寸八分”，李學(xué)勤主編《禮記正義》簡體標點本從阮元之誤，今正之。參見李學(xué)勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，第1574頁。，得八十六寸四分也*依據(jù)計算及上下文，阮元刻本誤“八十六寸四分”為“八十六寸八分”，李學(xué)勤主編《禮記正義》簡體標點本正之，今從之。參見李學(xué)勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，第1574頁。。即是壺底一重方積之數(shù)也。今將八十六寸開方積之，九九八十一，則為方九寸強也。一面有九寸強，四面凡有三十六寸強。今以方求圜，四分去一，有二十七寸強，是壺圜周二尺七寸有強。故云“圜周二尺七寸有奇”也。

丁段，孔穎達等求解圓周2尺7寸有奇。孔氏等先求壺底圓的外接正方形面積，按照3:4的關(guān)系(取π=3，則圓面積：方面積=3:4，見圖2)，需要把圓面積加上其1/3。這樣64寸8分+1/3×64寸8分=86寸4分，即是外接正方形面積。開方之后得到9寸強，是外接正方形邊長*實際上，這同時是壺底圓的直徑，由此可以直接得到圓周2尺7寸強?？追f達等并未沿此路線計算。。4倍之后，得到36寸強是外接正方形的周長。圓周與方周的比也是3:4(同樣取π=3，則圓周長：方周長=3:4，見圖2)，則方周減1/4為圓周。這樣36寸強-1/4×36寸強=27寸強=2尺7寸強，即圓周。

戊)鄭之此計，據(jù)二斗之數(shù)*“二斗之數(shù)”，阮元刻本誤為“一斗之數(shù)”，李學(xué)勤主編《禮記正義》簡體標點本正之，今從之。參見李學(xué)勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，第1574頁。。必知然者，壺徑九寸，以圜求方，以方九寸計之，凡九九八十一，壺底一重有八十一寸，五重則有五個八十一寸，總為四百五寸。今以方求圜，四分去一，去其一百一寸四分寸之一，余三百三寸四分寸之三。于二斗之積三百二十四寸之內(nèi)，但容三百三寸四分寸之三*依據(jù)計算及上下文，阮元刻本誤“三百三寸四分寸之三”為“三百二寸四分寸之三”，李學(xué)勤主編《禮記正義》簡體標點本從阮元之誤，今正之。參見李學(xué)勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，第1574頁。，余有二十寸四分寸之一，不盡。故云“圜周二尺七寸有奇”*按鄭玄注，當為“圜周二尺七寸有奇”，阮元刻本誤“圜周二十七寸有奇”，李學(xué)勤主編《禮記正義》簡體標點本正之，今從之。參見李學(xué)勤主編：《十三經(jīng)注疏·禮記正義》第3冊，第1574頁。，乃得盡也。

戊段中，孔穎達等通過反推的辦法驗證：鄭玄1斗5升取整得2斗，是與壺腹直徑9寸多相容的?？资系认燃僭O(shè)壺腹的直徑是9寸，這樣壺底圓的外接正方形面積是9寸×9寸=81(平方)寸。這個數(shù)值也可以理解成高1寸、底面81(平方)寸的長方體體積(即1/5的壺腹外接長方體)，即81(立方)寸。這樣壺腹的外接長方體體積等于5×81(立方)寸=405(立方)寸。取π=3，圓柱體(壺腹)與外接長方體的體積之比等于3:4，后者體積減1/4為前者體積。于是，405(立方)寸-1/4×405(立方)寸=303.75(立方)寸，為壺腹體積。這個數(shù)值小于鄭玄給出的324(立方)寸。兩者之差為324(立方)寸-303.75(立方)寸=20.25(立方)寸。因此，壺腹直徑應(yīng)該比9寸多，壺腹圓周則應(yīng)該比2尺7寸多。

己)若以斗五升計之，計一十五升之積，有二百四十三寸，則壺之所徑唯八寸余也，得容此數(shù)。必知然者，凡方八寸開方計之，八八六十四，得六十四寸。壺高五重，則五個六十四寸，總為三百二十寸。以方求圜，四分去一，去八十寸，余有二百四十寸。于一斗五升之積，余有三寸，不盡。是壺徑八寸有余，乃得盡也。今檢鄭之文注之意，以二斗整數(shù)計之，不取經(jīng)文斗五升之義。故云：“圜周二尺七寸有奇。”今筭者以其二尺七寸之圜，必受斗五升之物，數(shù)不相會也。云壺體腹之上下各漸減殺，茍欲望合，恐非鄭意。

在最后一段——己段中，孔穎達等驗證：如果按照《禮記》經(jīng)文取壺的容積1斗5升計算，其體積相當于243(立方)寸，則其直徑只有8寸多，不合鄭玄注的圓周2尺7寸有奇。為此，孔氏等采取與戊段中一樣的反推辦法。先8寸×8寸=64(平方)寸，求得壺底外接正方形面積，此數(shù)值也可以視作高1寸、底面積64(平方寸)的長方形體積(即1/5的壺腹外接長方體)。5×64(立方)寸=320(立方)寸，為壺腹外接長方體體積。同樣按照3：4的關(guān)系，320(立方)寸-1/4×320(立方)寸=240(立方)寸，為壺腹體積。此值比243(立方)寸小3寸。因此，壺腹直徑為8寸多?？资系茸詈笳摰溃寒敃r有人想調(diào)和2尺7寸和1斗5升，只能說壺腹的尺寸由上至下的尺寸是不同的，不符合鄭玄之意。此段孔穎達等實際表明《禮記》經(jīng)文所載的壺容積1斗5升，與鄭玄注給出的壺腹周長2尺7寸是不可調(diào)和的，但孔氏等站在鄭玄一邊。

(二) 甄鸞、李淳風等注釋

北周甄鸞編寫的《五經(jīng)筭術(shù)》是一部用傳統(tǒng)籌算解釋經(jīng)典的數(shù)學(xué)著作。初唐李淳風等注釋十部算經(jīng)的時候，該書也列入其中*初唐的十部算經(jīng)指《周髀筭經(jīng)》《九章筭術(shù)》《海島筭經(jīng)》《綴術(shù)》《孫子筭經(jīng)》《張丘建筭經(jīng)》《夏侯陽筭經(jīng)》《五經(jīng)筭術(shù)》《五曹筭經(jīng)》《輯古筭經(jīng)》十部數(shù)學(xué)著作。北宋元豐年間，《綴術(shù)》《夏侯陽筭經(jīng)》丟失，用《數(shù)術(shù)記遺》及另一部數(shù)學(xué)著作(唐人韓延著，被誤為《夏侯陽筭經(jīng)》)替代。。傳本《五經(jīng)筭術(shù)》卷下也討論了《禮記·投壺》的問題。在陳述完經(jīng)文和鄭玄注之后，甄鸞和李淳風等依次給出注解*郭書春校點：《五經(jīng)算術(shù)》，郭書春、劉鈍校點：《算經(jīng)十書》第2冊，沈陽：遼寧教育出版社，1998年，第398—399頁。：

甄鸞按：斛法一尺六寸二分，上十之，得一千六百二十寸，為一斛。積寸下退一等，得一百六十二寸，為一斗。積寸倍之，得三百二十四寸，為二斗。積寸以腹修五寸約之，得六十四寸八分。乃以十二乘之，得積七百七十七寸六分。又以開方除之，得圓周二十七寸，余四十八寸六分。倍二十七，從方法得五十四。下法一亦從方法，得五十五。以三除二十七寸，得九寸。又以三除不盡四十八寸六分，得一十六寸二分。與法俱上十之，是為壺腹徑九寸五百五十分寸之一百六十二。母與子亦可俱半之，為二百七十五分寸之八十一。

臣淳風等謹按：其問宜云：今有壺腹修五寸，容斗五升。三分益一則為二斗，得圓囷之象。問積寸之與周徑各幾何？曰：積三百二十四寸。周二尺七寸二百七十五分寸之二百四十三。徑九寸二百七十五分寸之八十一。

術(shù)宜云：置二斗，以斗法乘之，得積寸。以腹修五寸除之。所得，以十二乘之。開方除之，得周數(shù)。三約之，即得徑數(shù)。

李淳風等的注釋首先把《禮記》及鄭玄注重構(gòu)為一個數(shù)學(xué)問題(有“問”有“答”)，接著按照傳統(tǒng)數(shù)學(xué)著作的寫法給出算法(即“術(shù)”)。雖然李氏等沒有給出計算細節(jié)，但其“術(shù)”與甄鸞的算法一樣，并且亦是籌算方法。

三、對《周禮》與《左傳》的回應(yīng)

就此例而言，孔穎達等與甄鸞、李淳風等對于《禮記》及鄭玄注的注疏差別很大，反映出兩方所運用的數(shù)學(xué)知識不盡相同。兩方相同之處主要在于：都未挑戰(zhàn)鄭氏將《禮記》經(jīng)文壺腹容積1斗5升取整為2斗的做法*宋代大儒朱熹曾批評鄭玄、孔穎達等人取2斗做計算的做法([宋]朱熹：《儀禮經(jīng)傳通解》，朱杰人、嚴佐之、劉永翔主編：《朱子全集》第2冊，上海：上海古籍出版社、合肥：安徽教育出版社，2002，第255頁)，這表明宋代數(shù)學(xué)、禮學(xué)的關(guān)系與唐代不盡相同。朱熹的數(shù)學(xué)知識不是本文的研究重點，因此不做展開，筆者有另文專論之。。這符合唐代“寧道周孔誤，諱言服鄭非”的學(xué)術(shù)風氣。

兩方差別主要體現(xiàn)在：1.計算方式與結(jié)果?？追f達等利用圓方3:4的關(guān)系進行圓方之間周長、面積、體積的換算，進而進行簡單的估算開方，所得結(jié)果為約數(shù)*根據(jù)筆者先前的研究，初唐學(xué)者賈公彥有一種幾何開方術(shù)，可以取得更精確的數(shù)值(參見朱一文：Different cultures of computation in seventh century China from the viewpoint of square root extraction，前揭刊，第 6—18頁)。因此，盡管我們知道賈公彥參與了《禮記正義》，但此處他應(yīng)并未發(fā)揮更大的作用(參見[宋]歐陽修、宋祁等：《新唐書》第5冊，北京：中華書局，1975年，第1433頁)。。甄鸞、李淳風等則直接運用《九章筭術(shù)》圓面積公式，并使用籌算開方術(shù)得到更精確的數(shù)值。2.注疏體例與目的。孔穎達等注疏的主要目的是為了表明鄭玄注的正確性，并在戊、己兩段中用反推的方法證明鄭玄取2斗的正確性：如果取2斗，則壺腹周長2尺7寸多；如果取1.5斗，則壺腹圓直徑為8寸多。甄鸞利用籌算開方術(shù)得出比鄭玄更精確的數(shù)值，李淳風等更是重構(gòu)經(jīng)文以作為數(shù)學(xué)問題。因此可以說，與孔穎達等相比，甄、李等人的注釋都沒有完全遵循鄭玄注，而以展現(xiàn)傳統(tǒng)籌算數(shù)學(xué)方法為目的*基于筆者先前的研究，兩者的差別還有注疏和算法的結(jié)構(gòu)、對數(shù)的認識、對圖形的認識、推理的方式等方面。。如果我們考慮到孔穎達與李淳風是互相熟悉，并且作為前輩孔穎達還幫助過李淳風，那么上述差別就更值得重視*貞觀十四年(640)，諸儒論歷，孔穎達請從李淳風(參見[宋]歐陽修、宋祁等：《新唐書》第2冊，第536頁)。。兩方產(chǎn)生差別的主要原因是：孔穎達等是在做經(jīng)學(xué)研究，而李淳風等是在做算學(xué)研究，并且雙方的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)本就有所不同，因此盡管問題相同，但是用到數(shù)學(xué)自然有別*本文的匿名審稿專家認為：諸家算法不同，還受到經(jīng)學(xué)傳統(tǒng)、注疏者知識結(jié)構(gòu)及著作性質(zhì)的影響。筆者在此表示感謝，并接受建議，認為孔穎達與李淳風熟識，因此他們之間的不同更多是受知識結(jié)構(gòu)與著作性質(zhì)的影響。。

基于諸家對于《禮記·投壺》的不同注疏，我們可以回應(yīng)《周禮》與《左傳》的記述。一方面，《周禮》記述的九數(shù)為其一部分，被鄭玄確認為早期數(shù)學(xué)的九個部分，及劉徽總結(jié)這一發(fā)展的結(jié)果就是《九章筭術(shù)》?；谌褰?jīng)與算經(jīng)反映的數(shù)學(xué)知識之差異，《周禮》之后這一禮學(xué)與數(shù)學(xué)關(guān)系的脈絡(luò)具有一定的建構(gòu)成分。至少在唐初的時候，儒家經(jīng)典尤其是《禮記》《周禮》《儀禮》所反映的數(shù)學(xué)是禮學(xué)及儒學(xué)的一部分，而包括《五經(jīng)筭術(shù)》在內(nèi)的十部算經(jīng)所反映的數(shù)學(xué)與禮學(xué)及儒學(xué)只有微弱的聯(lián)系*實際上，甄鸞、李淳風等試圖通過《五經(jīng)筭術(shù)》重建《周禮》所建構(gòu)的數(shù)學(xué)與禮學(xué)或儒學(xué)的緊密聯(lián)系。。換言之，儒經(jīng)數(shù)學(xué)與禮學(xué)的聯(lián)系更緊密，算經(jīng)數(shù)學(xué)則是相對獨立的知識體系。

另一方面，《左傳》所述主要是講與政治相關(guān)的禮數(shù)，并被閻步克先生等學(xué)者衍生到禮數(shù)與數(shù)學(xué)的關(guān)系。從投壺的例子我們可以看到，實際上禮數(shù)的種類多樣，除了與政治、身份等級相關(guān)的禮數(shù)之外，至少還有禮器尺寸這一禮數(shù)。由《五經(jīng)筭術(shù)》而論，該書共38個標題，其中21個標題與天文歷法計算有關(guān)*《五經(jīng)筭術(shù)》分上下兩卷，卷上16問，卷下22問，總計38問。關(guān)于天文歷法計算的21個標題分別是：1.《尚書》定閏法(卷上第1問)；2. 推日月合宿法(卷上第2問)；3. 求一年定閏法(卷上第3問)；4. 求十九年七閏法(卷上第4問)；5. 推《春秋》魯僖公五年正月辛亥朔法(卷下第6問)；6. 推積日法(卷下第7問)；7. 求次月朔法(卷下第8問)；8. 推僖公五年正月辛亥朔旦冬至法(卷下第9問)；9. 求次氣法(卷下第10問)；10. 推文公元年歲在乙未，閏當在十月下而失在三月法(卷下第11問)； 11. 推文公六年歲在庚子，是歲無閏而置閏法(卷下第12問)；12. 推襄公二十七年歲在乙卯再失閏法(卷下第13問)；13. 推絳縣老人生經(jīng)四百四十五甲子法(卷下第14問)；14. 推文公十一年歲在乙巳，夏正月甲子朔絳縣老人生月法(卷下第15問)；15. 推昭公十九年閏十二月后而以閏月為正月，故以正月為二月法(卷下第16問)；16. 推昭公十九年歲在戊寅閏在十二月下法(卷下第17問)；17. 推昭公十九年歲在戊寅月朔法(卷下第18問)；18. 推昭公二十年歲在己卯，月朔法(卷下第19問)；19. 推昭公二十年歲在己卯，正月己丑朔旦冬至，而失云王二月己丑冬至法(卷下第20問)；20. 推哀公十二年歲在戊午應(yīng)置閏而不置，故書十二月有螽法(卷下第21問)；21. 求十二年閏月法(卷下第22問)。、3個與記數(shù)系統(tǒng)有關(guān)*這三問分別是：1. 《尚書》《孝經(jīng)》“兆名”注數(shù)越次法(卷上第5問)；2. 《詩·伐檀》毛、鄭注不同法(卷上第6問)；3. 《詩·豐年》毛注數(shù)越次法(卷上第7問)。、4個與音律有關(guān)*這四問分別是：1. 《禮記·月令》黃鐘律管法(卷下第1問)；2. 《禮記·禮運》注“始于黃鐘、終于南呂”法(卷下第2問)；3. 《禮運》一本注“始于黃鐘、終于南事”法(卷下第3問)；4. 《漢書》終于南事算之法(卷下第4問)。、1個來自《周易》*此即卷上第8問“《周易》策數(shù)法”。，余下9個可以歸為禮數(shù)。這9個問題中8個取自《周禮》《禮記》《儀禮》三本著作，1個取自《論語》；其中有2問是關(guān)于周代封國領(lǐng)土*即卷上第9問“《論語》千乘之國法”，與卷上第13問“《禮記·王制》國及地法”。、3問是關(guān)于度量衡系統(tǒng)*即卷上第14問“求經(jīng)云‘古者百里當今一百二十里六十步四尺二寸二分’法”，第15問“求鄭氏注云‘古者百畝當今一百五十六畝二十五步’依鄭計之法”，以及第16問“求鄭注云‘古者百里當今一百二十五里’法”。、2問是關(guān)于喪禮制度*即卷上第11問“《儀禮·喪服》绖帶法”，與第12問“《喪服》制食米溢數(shù)法”。、1問是關(guān)于車蓋尺寸*即卷上第10問“周官車蓋法”。、1問關(guān)于投壺尺寸(卷下第5問“《禮記》投壺法”，亦即本文所分析)。顯而易見，我們必須考慮不同的禮數(shù)，以及它們與數(shù)學(xué)可能的不同關(guān)系。這有待將來進一步研究。

四、結(jié)語：文本與現(xiàn)實

我們已經(jīng)從文本的角度分析了孔穎達、甄鸞、李淳風等注疏《禮記·投壺》所展現(xiàn)的不盡相同的數(shù)學(xué)知識、不同于行政等級的器物尺寸的禮數(shù)，并進而以《五經(jīng)筭術(shù)》對禮數(shù)進行分類，由此可以初步回應(yīng)《周禮》《左傳》的記述。為了對經(jīng)典文本所反映出的禮學(xué)與數(shù)學(xué)的復(fù)雜關(guān)系獲得進一步的深入理解，我們必須考察文本產(chǎn)生的歷史語境，及其與歷史現(xiàn)實的關(guān)系。為此，我們將從投壺的歷史、初唐注經(jīng)的語境兩方面來分析。

對于投壺的歷史，揣靜的碩士學(xué)位論文《中國古代投壺游戲研究》做過專題研究。筆者概括之并加以闡發(fā)?！抖Y記》記載的投壺是一種禮儀，通常認為是由射禮之一的燕射轉(zhuǎn)化而來*依據(jù)《儀禮》，射禮有鄉(xiāng)射、燕射、大射三種。鄭玄云：“投壺，射之細也。射謂燕射。”([漢]鄭玄注、[唐]孔穎達等疏：《禮記正義》，前揭書，第1667頁)。在空間、人數(shù)等受限或賓主不擅射箭的情況下，投壺便可替代燕射。投壺禮大致有下面八個步驟*揣靜：《中國古代投壺游戲研究》，第10—13頁。：1. 主人邀請賓客投壺，賓客遵從；2. 主人引導(dǎo)賓客就投壺之宴，并授矢；3. 司射設(shè)置壺、中、筭等器物；4. 司射宣布規(guī)則，并命令樂工奏《貍首》等樂曲；5. 游戲開始，賓主依次投壺，共投四矢，投中者以筭記分；6. 計算筭籌，多者勝；7. 負者喝罰酒；8. 重復(fù)步驟5到7，即進行三局兩勝，為勝者慶祝。漢代畫像石投壺生動地描述了當時賓主投壺的場景(圖3)。

圖3 漢代畫像石：投壺*中國畫像石全集編輯委員會編：《中國畫像石全集》第6冊，鄭州：河南美術(shù)出版社，2000年，第86頁。

投壺之禮兼具禮儀與游戲的性質(zhì)，隨著時代的變遷，其器物、規(guī)則都有所改變?！抖Y記》所規(guī)定的壺尺寸：壺頸長7寸，按周代1寸=2.31cm，約為16.17cm; 壺腹高5寸，約為11.55cm; 口徑2.5寸，約為5.78cm; 壺總高12寸，約為27.72cm。鄭玄注壺腹直徑9寸多，按甄鸞計算約9.29寸，相當于21.47cm。于是壺高與腹徑之比約為12:9.29=1.29:1。如果根據(jù)《禮記》經(jīng)文給出的容積1斗5升，按孔穎達等計算(己段)得8寸多，約為18.48cm強。如此壺總高與壺腹徑比約為12:8.48=1.41:1，略大于鄭玄注。筆者以1.29:1(《禮記》)、1.41:1(鄭玄注)兩個比例來考察經(jīng)典及其注疏所載與考古出土實際用壺之間的差異。

1975年山東省莒南縣大店莒國殉人墓出土一只春秋時期的陶壺，殘高26cm，腹徑19.8cm，底徑17cm(圖4甲)。此壺口沿已殘，實際高度應(yīng)略高于26cm。腹徑長度，及壺高與腹徑之比(1.31∶1)介于《禮記》與鄭玄注之間。1977年河北省平山縣三汲寸戰(zhàn)國中山王墓出土一只戰(zhàn)國時期的銅壺，高58.8 cm，口徑24.5 cm(圖4乙)。該壺為圓柱體，與《禮記》不符。壺高與直徑比(2.4∶1)也遠大于《禮記》及鄭玄注。由此可見，《禮記》及鄭玄注可以部分反映春秋戰(zhàn)國時期投壺尺寸情況*據(jù)此，在假定《禮記·投壺》能夠完全反映現(xiàn)實的前提下，我們可以推斷其對應(yīng)的時代不晚于春秋。。

1969年河南省濟源縣泗澗溝曾出土一只西漢陶壺，高26.6 cm，頸高13 cm，口徑4 cm(圖4丙)。其總高與腹徑比(目視約為1.8∶1)大于《禮記》及鄭玄注。2002年東龍山東漢墓出土了一只綠釉陶投壺，口徑4.5 cm，高24 cm(圖4丁)，形制接近《禮記》所載。實際上，如果考慮到漢代1尺長度有時比周代短，將厘米轉(zhuǎn)換回漢代尺寸(按1寸=2.135 cm)，那么這兩例投壺尺寸很接近《禮記》所載。此外，如果我們考察漢代畫像石(圖3)中間投壺總高與腹徑之比，約在1.2至1.3之間，基本符合《禮記》或鄭玄注。因此，我們認為《禮記》經(jīng)文與鄭玄注大致符合漢代投壺的實際情況。

甲：春秋*④⑤ 崔樂泉：《中國古代體育文物圖錄》，北京：中華書局，2000年，第195,195,195頁。乙：戰(zhàn)國④丙：西漢⑤丁：東漢*⑦ 轉(zhuǎn)引自王建玲：《投壺——古代寓教于樂的博戲》，《文博》2008年第3期，第77頁。戊：初唐⑦

圖4 出土投壺

1972年陜西禮泉縣唐越王李貞(627—688)幕出土了一件三彩投壺(圖4戊)，高35 cm，頸部兩側(cè)有雙耳。按唐代1寸=3.07 cm換算，此壺高度約為11.4寸，近于《禮記》所載。但是此壺高與腹徑比明顯過大(目視約為1.8∶1)，而且雙耳的出現(xiàn)說明其規(guī)則也有所改變，即矢可以投入壺耳*晉代虞檀的《投壺變》與宋代司馬光的《投壺新格》均對投壺規(guī)則的變化有所論述。。唐代詩人韓愈(768—824)說：“公與賓客朋游飲酒，必極醉，投壺博弈，窮日夜，若樂而不厭者?！?[唐]韓愈：《韓昌黎全集》第2冊，北京：燕山出版社，1996年，第754頁。這說明投壺作為一種純粹游戲的角色已經(jīng)出現(xiàn)。因此，我們可以說孔穎達、甄鸞、李淳風等對于投壺尺寸的注疏、注釋是一種文本探討或曰經(jīng)學(xué)、算學(xué)研究，與實際的投壺尺寸、形制只有松散的關(guān)系。

閻步克先生從冕服角度論述了其歷史發(fā)展處于“宗經(jīng)與復(fù)古”和“宗君與實用”的張力之中，并認為唐初有恢復(fù)周禮的復(fù)古運動*參見閻步克《服周之冕——〈周禮〉六冕禮制的興衰變異》序言及第10章。。實際上，初唐不僅有孔穎達、長孫無忌等領(lǐng)銜的注解儒經(jīng)的活動，即《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋左傳》五部經(jīng)典的注疏*貞觀七年(633)，顏師古考訂《五經(jīng)》([后晉]劉昫等：《舊唐書》第8冊，北京：中華書局，1975年，第2594頁)。先由孔穎達(574—648)領(lǐng)銜諸儒注疏《五經(jīng)》，貞觀十六年(642)完成(孔穎達在五部經(jīng)典的序言中都提到貞觀十六年完成注疏)?？追f達去世后，諸儒對注疏仍有爭議和討論，故高宗于顯慶元年(651)啟動《五經(jīng)》的再注疏，其結(jié)果就是《五經(jīng)正義》，并于顯慶三年(653)頒于天下([后晉]劉昫等：《舊唐書》第1冊，第71頁；[宋]王溥：《唐會要》第3冊，北京：中華書局，1955年，第1405頁；[宋]王欽若：《冊府元龜》第8冊，北京：中華書局，1960年，第7303頁)。，而且賈公彥也獨立注解《周禮》《儀禮》《禮記》《孝經(jīng)》《論語》等著作，還有徐彥、楊士勛等人的注經(jīng)工作；另一方面，唐廷也讓李淳風領(lǐng)銜注釋十部算經(jīng)*完成于顯慶元年(656)([后晉]劉昫等：《舊唐書》，第2719頁)。，《五經(jīng)筭術(shù)》也在其列。因此，我們可以說，這場禮制的復(fù)古運動不僅有孔穎達等儒家積極參與，李淳風等算家亦是參與者。故而，就其中展現(xiàn)的初唐禮學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系而言，不僅處于文本與現(xiàn)實的張力之間，而且處于不同學(xué)者群體的張力之間，至于其背后存在的利益、權(quán)力等因素則是需要另文深入探討的議題。

[本文構(gòu)思直接受到歐盟第七科研框架計劃下設(shè)歐洲學(xué)術(shù)委員會支持的大型科研項目“古代世界的數(shù)學(xué)科學(xué)”(Mathematical Sciences in Ancient World，簡稱SAW，ERC項目號269804)的影響。筆者2016年6月8日在法國巴黎第七大學(xué)SAW項目會議、11月19日在中山大學(xué)哲學(xué)系“經(jīng)典與解釋”講習會曾報告本文，兩次報告的點評人BéatriceL'Haridon、劉偉先生及與會專家的提問與交流，對完善本文的幫助非常大。匿名審稿專家也對本文提出了建設(shè)性意見。在此一并表示感謝！]

【責任編輯：楊海文；責任校對：楊海文，趙洪艷】

2016—11—01

國家社會科學(xué)基金青年項目“儒家經(jīng)典注疏中天算文獻的整理與研究”(16CZS012)

朱一文，中山大學(xué)哲學(xué)系暨邏輯與認知研究所(廣州510275)。

10.13471/j.cnki.jsysusse.2017.02.015