曹晨曦,王向東，吳 京

( 河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京210098)

I-II-III復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子與能量釋放率的關(guān)系

曹晨曦,王向東，吳 京

( 河海大學(xué) 力學(xué)與材料學(xué)院，江蘇 南京210098)

基于斷裂力學(xué)理論，應(yīng)用復(fù)合型斷裂判據(jù)中的最大周向應(yīng)力判據(jù)和最大拉應(yīng)變判據(jù)，以單一型裂縫應(yīng)力強度因子K與能量釋放率G的關(guān)系為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出I-II-III復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子KI、KII、KIII與能量釋放率GI-II-III關(guān)系公式；并應(yīng)用有限元軟件進(jìn)行I-II-III復(fù)合型裂縫的有限元模擬，模擬值與理論值之間相差為1.14%，擬合良好，分析驗證了復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子KI、KII、KIII與能量釋放率GI-II-III關(guān)系公式的合理性。

I-II-III復(fù)合型裂縫；應(yīng)力強度因子；能量釋放率；有限元模擬

斷裂力學(xué)是研究帶裂紋結(jié)構(gòu)的強度以及裂紋擴(kuò)展規(guī)律的一門學(xué)科。很多混凝土結(jié)構(gòu)不可避免的會帶縫工作，因此在對帶縫混凝土結(jié)構(gòu)的安全分析中，較重要的任務(wù)就是研究裂縫的穩(wěn)定性，而對混凝土結(jié)構(gòu)裂縫安全性分析主要是基于線彈性斷裂力學(xué)中的K判據(jù)與G判據(jù)，即分為兩種不同的方法：應(yīng)力強度因子法和能量釋放率法。在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力強度因子K與能量釋放率G，是斷裂力學(xué)中的兩個重要斷裂參數(shù)。因此不僅應(yīng)該研究它們的計算方法，而且還應(yīng)該研究二者之間的關(guān)系。目前，對單一型裂縫的強度因子K與能量釋放率G的關(guān)系已有完善的研究和相應(yīng)的理論公式[1]，但在實際工程中，純單一型裂縫很少，大多數(shù)結(jié)構(gòu)所受的荷載都是多向復(fù)雜型的，裂縫也是復(fù)合型的，因此對于復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子K與能量釋放率G關(guān)系的研究是有必要的。本文以帶穿透縫的無限大平面板為模型，基于最大應(yīng)力準(zhǔn)則和最大主應(yīng)變準(zhǔn)則，從斷裂力學(xué)理論入手，并以單一型裂縫以及吳京等[2-6]推導(dǎo)出的 I-II復(fù)合型裂縫﹑I-III復(fù)合型裂縫和II-III復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子K與能量釋放率G的關(guān)系的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)出I-II-III復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子KI、KII、KIII與能量釋放率GI-II-III的關(guān)系公式，并利用有限元軟件對其進(jìn)行分析驗證。

1 I-II-III復(fù)合型裂縫KI、KII、KIII與GI-II-III的關(guān)系

根據(jù)線彈性斷裂力學(xué)理論，I-II-III復(fù)合型裂縫可以分解為四種情況：I-II復(fù)合型裂縫與III型裂縫疊加；II-III復(fù)合型裂縫與I型裂縫疊加；I-III復(fù)合型裂縫與II型裂縫疊加；I型裂縫、II型裂縫與III型裂縫疊加。由于I型和II型斷裂問題屬于平面問題，III型斷裂問題屬于空間問題，本文采用I-II復(fù)合型裂縫與III型裂縫疊加的方法來計算I-II-III復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子KI-II-III與能量釋放率GI-II-III的關(guān)系。其應(yīng)力場以及位移場公式由疊加原理得：

應(yīng)力場：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

位移場：

(6)

(7)

(8)

由功的疊加原理可得I -II-III復(fù)合型裂縫擴(kuò)展所做的功等于I-II復(fù)合型裂縫擴(kuò)展所做的功、III型裂縫擴(kuò)展所做的功及I-II復(fù)合型裂縫在III型裂縫擴(kuò)展方向所做的功和III型裂縫在I-II復(fù)合型裂縫擴(kuò)展方向所做的功之和。

如圖1所示，I-II復(fù)合型裂縫在其擴(kuò)展方向上擴(kuò)展的長度為Δm，θ為I-II復(fù)合型裂縫的開裂角；純III型裂縫在其擴(kuò)展方向上擴(kuò)展的長度為Δc，其開裂角θ等于0。則裂縫開裂時所需要的能量為：

(9)

其中，

(10)

(11)

其中，

(12)

ci為與擴(kuò)展角θ有關(guān)的函數(shù)，i=1、2、3、4，具體算式如下：

(13)

其中β=-θ+π。

式(11)即為I-II-III復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子KI、KII、KIII與能量釋放率GI-II-III的關(guān)系式。

2 I-II-III復(fù)合型裂縫KI、KII、KIII與GI-II-III關(guān)系的驗證

2.1 公式的退化分析驗證

當(dāng)KII=0,θ=0，KIII=0，且取平面應(yīng)力狀態(tài)時，則I-II-III復(fù)合型裂縫退化為純I型裂縫，公式(1-11)可以簡化為：

當(dāng)KI=0,KIII=0，且取平面應(yīng)力狀態(tài)時，則I-II-III復(fù)合型裂縫退化為純II型裂縫，公式(11)可以簡化為：

當(dāng)KI=0,KII=0，且取平面應(yīng)力狀態(tài)時，則I-II-III復(fù)合型裂縫退化為純III型裂縫，公式(11)可以簡化為：

2.2 有限元分析驗證

以帶有中心穿透裂縫的結(jié)構(gòu)作為研究對象，應(yīng)用有限元分析軟件ANSYS建立I-II-III復(fù)合型裂縫計算模型。有限大板的長度為10 m，寬度為4 m，中心穿透裂縫長為0.5 m，厚度為1 m，面上的拉應(yīng)力為1 MPa，面內(nèi)的剪應(yīng)力以及面外的剪應(yīng)力都為1 MPa，其荷載和約束情況如圖1所示。泊松比為0.167，彈性模量取21 GPa，裂縫尖端設(shè)置了24個奇異點，裂縫尖端局部區(qū)域網(wǎng)格見圖2。

經(jīng)過有限元軟件計算后，得到了I-II-III復(fù)合型裂縫的應(yīng)力圖以及應(yīng)力強度因子K和能量釋放率G的數(shù)值，圖3裂縫尖端區(qū)域處應(yīng)力圖。

3 工程實例

在某壓力容器筒體上有一長為2a=0.2 m的穿透性長裂紋，與筒體周線的傾角為β=45°，筒體壁厚為t=0.1 m，半徑為R=5 m，壓力p=0.02 MPa。如圖4所示，取裂縫周圍一有限大板進(jìn)行受力分析。

根據(jù)材料力學(xué)的應(yīng)力狀態(tài)理論，

可以求得垂直于裂紋線的正應(yīng)力為

相應(yīng)的剪應(yīng)力為

且有

KIII=0

由最大周向應(yīng)力理論可得，開裂角θ0=-31.37°[8]。

取參數(shù)ν=0.25，E=2.1×104MPa，將KI=0.42 MPa·m1/2，KII=0.14 MPa·m1/2,KIII=0 代入式(11)得GI-II-III= 7.6 N/m ，查閱文獻(xiàn)[9]得KIc=0.5 MPa·m1/2，KIIc=0.35 MPa·m1/2同上代入式(11)得混凝土的臨界能量釋放率Gc= 18.2 N/m。顯然，GI-II-III

4 結(jié)論

[1]王 鐸.斷裂力學(xué)[M].哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)出版社,1989．

[2]吳 京.復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子和能量釋放率的關(guān)系[J].濟(jì)南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,28(6): 425-428.

[3]劉夢和.Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂縫應(yīng)力強度因子和應(yīng)變能釋放率的關(guān)系[J].水利水電科技進(jìn)展,2012, 32(6): 31-33.

[4]邵 兵.空間復(fù)合型裂縫的性能參數(shù)[J]. 水利水電科技進(jìn)展, 2012, 32(5): 52-55.

[5]KAPLANM.F.Crackpropagationandthefractureofconcrete[J].JournaloftheAmericanConcreteInstitute, 1961, 58(5): 591-610.

[6]RICEJ.R.Limitationstothesmallscaleyieldingapproximationforcracktipplasticity[J].JournaloftheMechanicsandPhysicsofSolids, 1974, 22(1): 17-26.

[7]趙建生.斷裂力學(xué)及斷裂物理[M]. 武漢: 華中科技大學(xué)出版社, 2003.

[8]洪啟超.工程斷裂力學(xué)基礎(chǔ)[M]. 上海: 上海交通大學(xué)出版社, 1987.

[9]吳智敏.混凝土斷裂韌度及臨界裂縫尖端張開位移——基于虛擬裂縫模型的分析[J]. 三峽大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版, 2002,24(1):29-34.

(責(zé)任編輯 李軍)

Relationship between stress intensity factor and strain energy releaserate of I-II-III mixed mode cracks

CAO Chenxi,WANG Xiangdong,WU Jing

( College of Mechanics and Materials, Hohai University, Jiangsu Nanjing 210098, China)

Based on the theory of fracture mechanics，the maximum stress criterion and the maximum principal strain criterion，the relationship between stress intensity factor and strain energy release rate of I － II － III mixed mode cracks was studied． And the I － II － III mixed mode fracture cracks were simulated by using the finite element software． And the relative error between the simulated value and the theoretical value is ，which is within the tolerance range． It is shown that the formula of the relationship between stress intensity factor and strain energy release rate of I － II － III mixed mode cracks is reasonable．

I-II-III mixed mode cracks; stress intensity factor; strain energy release rate; finite element simulation

1673-9469(2016)04-0010-04

10.3969/j.issn.1673-9469.2016.04.003

2016-09-12

國家自然科學(xué)基金資助項目(50878077) ; “十一五”國家科技支撐計劃( 2008BAB29B03)

曹晨曦( 1993-) ，女，江蘇泰興人，碩士，主要研究方向為工程斷裂與損傷。

TV313

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