張漢宇

坐標(biāo)系與參數(shù)方程是解析幾何初步，平面向量、三角函數(shù)等內(nèi)容的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步深化.它是代數(shù)與幾何相結(jié)合的橋梁.《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱（新課標(biāo)版）》對(duì)坐標(biāo)系與參數(shù)方程的要求：①理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況；② 了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化；③能在極坐標(biāo)中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程；④了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義；⑤能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.

坐標(biāo)系與參數(shù)方程是近幾年高考的選做題之一.主要以填空題，解答題的形式出現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)以選擇題的形式出現(xiàn).筆者以研究高考試題來(lái)認(rèn)識(shí)教學(xué)內(nèi)容，把握重點(diǎn)和教學(xué)要求是一線教師提高教學(xué)水平的關(guān)鍵.本文對(duì)高考坐標(biāo)系與參數(shù)方程的常見題型進(jìn)行分類，并對(duì)各類試題的解法進(jìn)行總結(jié)，為現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考.

題型1參數(shù)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化

例1（2011年江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過(guò)橢圓x=5cosφ，

y=3sinφ （φ為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線x=4-2t，

y=3-t （t為參數(shù)）平行的直線的普通方程.

解析由題設(shè)知，橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a=5，短半軸長(zhǎng)b=3，從而c=a2-b2=4，所以右焦點(diǎn)為（4，0）.將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程：x-2y+2=0.故所求直線的斜率為12，因此其方程為y=12（x-4），即x-2y-4=0.

點(diǎn)評(píng)此題為獨(dú)立的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程的試題，消去參數(shù)方程中的參數(shù)即可，但應(yīng)注意直角坐標(biāo)方程中變量x，y，t的取值范圍應(yīng)結(jié)合參數(shù)方程的特點(diǎn)來(lái)考慮.消去參數(shù)的方法有：①代入消去法，由其中一個(gè)方程解出t，代入另一個(gè)方程；②由兩個(gè)方程相加減（平方加或減）或乘除消去參數(shù)t；③換元法，通過(guò)三角或代數(shù)換元消去t.

題型2極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的相互轉(zhuǎn)化

例2（2011年北京）在極坐標(biāo)系中，圓ρ=-2sinθ的圓心的極坐標(biāo)是

A.（1，π2）B.（1，-π2）C.（1，0）D.（1，π）

解析把圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2+2y=0，得圓心的直角坐標(biāo)為（0，-1），故極坐標(biāo)為（1，-π2）.

點(diǎn)評(píng)極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化，首先應(yīng)掌握互化的條件：極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x軸正方向重合；其次是掌握互化公式；最后，應(yīng)該熟悉簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程.

題型3動(dòng)點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程

例3（2013年課標(biāo)全國(guó)Ⅱ）已知?jiǎng)狱c(diǎn)P、Q都在曲線x=2cost，

y=2sint （t為參數(shù)）上，對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t=α與t=2α（0<α<2π），M為PQ的中點(diǎn).

（1）求M的軌跡的參數(shù)方程；

（2）將M到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d表示為α的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

解析（1）依題意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα+cos2α，sinα+sin2α）.M的軌跡的參數(shù)方程為x=cosα+cos2α，

y=sinα+sin2α （α為參數(shù)，0<α<2π）.

（2）M點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離d=x2+y2=2+2cosα （0<α<2π）.當(dāng)α=π時(shí)，d=0，故M的軌跡過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn).

點(diǎn)評(píng)解決這類問(wèn)題可以利用以下幾種方法，方法一，按照動(dòng)點(diǎn)軌跡的一般步驟建系設(shè)點(diǎn)，列出幾何等式，坐標(biāo)代換，化簡(jiǎn)整理；若動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足某種曲線的定義，則可利用曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；方法三，若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）依賴于已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)P而運(yùn)動(dòng)，則可將轉(zhuǎn)化后的動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)代入已知曲線方程式滿足的幾何條件，進(jìn)而求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.

題型4根據(jù)軌跡的參數(shù)方程求坐標(biāo)

例4（2011年廣東）已知兩曲線參數(shù)方程分別為x=5cosθ，

y=sinθ （0≤θ<π）和x=54t2，

y=t （t∈R），它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

解析消去參數(shù)θ得曲線方程x25+y2=1 （0≤y≤1），表示橢圓的一部分.消去參數(shù)t得曲線方程y2=45x，表示拋物線，可得兩曲線有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立兩方程，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，255）.

點(diǎn)評(píng)根據(jù)軌跡的參數(shù)方程求點(diǎn)的坐標(biāo)問(wèn)題，可以分為兩種方法，方法一，將參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，在直角坐標(biāo)系下描繪圖形，最終得到點(diǎn)的坐標(biāo)；方法二，將軌跡的參數(shù)方程在極坐標(biāo)系上表示出來(lái)，然后就能得到點(diǎn)的坐標(biāo).

題型5由極坐標(biāo)方程或參數(shù)方程求兩點(diǎn)的距離

例5（2013年北京）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，π6）到直線ρsinθ=2的距離等于.

解析由極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的互化關(guān)系可知，在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2，π6）對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)為（3，1），直線ρsinθ=2對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)方程為y=2，所以點(diǎn)到直線的距離為1.

點(diǎn)評(píng)此題的方法是將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，確定點(diǎn)的直角坐標(biāo)后即可求兩點(diǎn)間的距離.在極坐標(biāo)方程中求兩點(diǎn)間距離的方法，通常還采用余弦定理，相當(dāng)于知道三角形兩邊的長(zhǎng)度和其所夾的角，求第三邊.

題型6求未知參數(shù)

例6（2013年湖南）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：x=t，

y=t-a （t為參數(shù)）過(guò)橢圓C：x=3cosφ，

y=2sinφ （t為參數(shù)）的

求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法